Ανακοινώσεις μαθήματος Άλγεβρα Α Τάξης

Εκφωνήσεις και λύσεις θεμάτων Β και Δ (Προαγωγικές εξετάσεις 2025 - 2026)

Fri, 22 May 2026 20:52:35 +0300

Γεια σας παιδιά,

Σας επισυνάπτω τις εκφωνήσεις και τις λύσεις των θεμάτων Β και Δ, που επιλέχθηκαν - ύστερα από τη σημερινή κλήρωση - από την τράπεζα θεμάτων. Οι λύσεις που θα δείτε είναι ενδεικτικές. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να υπάρχουν κι άλλες εξίσου σωστές λύσεις.

Μην απογοητευτείτε αν η σημερινή εξέταση δεν πήγε τόσο καλά όσο θα θέλατε. Αυτά συμβαίνουν ειδικά όταν δεν υπάρχει επαρκής χρόνος στο σχολείο να γίνει μια καλή επανάληψη. Από εκεί και πέρα να δείτε κι εσείς σε ποια σημεία χρειάζεται περισσότερη προσπάθεια και βελτίωση ...

Υπάρχουν αναλυτικές λύσεις στα επισυναπτόμενα pdf αρχεία.

Χαιρετώ σας!

Διαγώνισμα Β΄ Τετραμήνου 2025 - 2026

Sun, 26 Apr 2026 18:28:50 +0300

Γεια σας παιδιά,

Σας ενημερώνω ότι, όπως είπαμε και στο μάθημα, την Τρίτη 28 Απριλίου θα γράψουμε το Διαγώνισμα Β΄ Τετραμήνου στην παράγραφο 6.1 και σε ορισμένες υποενότητες από την παράγραφο 6.2 του σχολικού βιβλίου.

Αναλυτικότερα, θα πρέπει να επαναλάβετε τα παρακάτω:

Θεωρία:

Παράγραφος 6.1: Να διαβάσετε τις σελίδες 145 - 148. Συγκεκριμένα, να δώσετε ιδιαίτερη βαρύτητα στους ορισμούς, στις ισότητες και στις έννοιες με τα έντονα μαύρα γράμματα, από τις σελίδες αυτές, γιατί μπορεί να τεθούν ερωτήματα Σωστού - Λάθους πάνω σε αυτά. Επίσης, να προσέξετε τα λυμένα παραδείγματα 1 και 2, που θα βρείτε στις σελίδες 146-148.
Παράγραφος 6.2: Να διαβάσετε τις σελίδες 152 - 153 για να θυμηθείτε τις έννοιες των συντεταγμένων (τετμημένη - τεταγμένη) και πως προκύπτουν οι συντεταγμένες των διάφορων τύπων συμμετρικών σημείων. (Π.χ. σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα \(x'x\), σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα \(y'y\), σημεία συμμετρικά ως προς το κέντρο \(O\) κ.ά. ... )

Ασκήσεις:

Σχολικό βιβλίο, παράγραφος 6.1, στις σελίδες 150-151 : Άσκηση 1 (i,ii,iii), Άσκηση 2 (i,ii,iii), Άσκηση 5 (i,ii,iii).
Σχολικό βιβλίο, παράγραφος 6.2, στις σελίδες 157-158 : Άσκηση 3 (i,ii,iii,iv), Άσκηση 7 (i), Άσκηση 8 (i,ii,iv).

Να λάβετε υπόψη ότι η ύλη του διαγωνίσματος συνδυάζεται με έννοιες και διαδικασίες από προηγούμενες ενότητες, όπως επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων α΄ και β΄ βαθμού οι οποίες, όπως καταλαβαίνετε, θεωρούνται γνωστές.

( Για παράδειγμα, για να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, \(f(x)=\sqrt{-x^2+4x-3}\), θα χρειαστεί να επιλύσουμε την ανίσωση, \(-x^2+4x-3\geq 0 \). Αρχικά, θα βρούμε, τις ρίζες - αν υπάρχουν - του τριωνύμου \(-x^2+4x-3\). Εδώ, με τη βοήθεια των γνωστών τύπων \(\Delta=\beta^2-4\cdot \alpha\cdot\gamma\) και \(x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot\alpha}\), προκύπτουν \(x_1=1\) και \(x_2=3\).

Το πρόσημο του τριωνύμου \(-x^2+4x-3\), δίνεται από τον παρακάτω πίνακα:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
x & -\infty & 1 & & 3 & +\infty \\
\hline
-x^2 + 4x - 3 & - & 0 & + & 0 & - \\
\end{array}
\]

Το τριώνυμο, εντός των ριζών του, είναι ετερόσημο του \(\alpha=-1\), ενώ, εκτός των ριζών του, είναι ομόσημο του \(\alpha=-1\).

Έτσι, το τριώνυμο είναι μη αρνητικό όταν \(1 \leq x \leq 3\), δηλαδή όταν \(x\in[1,3]\).

Τελικά, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το διάστημα \(A=[1,3]\).)

Τέλος, σας παραθέτω ορισμένα διαδραστικά τεστ (κάποια σας είχα στείλει ξανά μετά τις διακοπές του Πάσχα) μήπως σας βοηθήσουν να ελέγξετε καλύτερα τις γνώσεις σας στη συγκεκριμένη ενότητα:

(Φυσικά, δεν είναι ανάγκη να ασχοληθείτε με όλες τις ερωτήσεις των διαδραστικών τεστ ... Όμως, μπορείτε να αφιερώσετε λίγο χρόνο σε ό,τι κινήσει το ενδιαφέρον σας ... )

Σας χαιρετώ!

Καλό διάβασμα! 😊

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός Θαλής

Tue, 04 Nov 2025 14:25:41 +0300

Γεια σας παιδιά,

Την ερχόμενη Παρασκευή (07/11) θα διεξαχθεί, στο σχολείο, από τις 12:00 ως τις 14:00, ο πανελλήνιος μαθηματικός διαγωνισμός "Θαλής". Ο διαγωνισμός διοργανώνεται από την ελληνική μαθηματική εταιρία (Ε.Μ.Ε.).

Σας επισυνάτπω, για όποιους ενδιαφέρονται, τα θέματα δύο προηγούμενων ετών:

2022

2024

Έτσι, μπορείτε να δείτε το ύφος των θεμάτων της τάξης σας και να εξοικειωθείτε κάπως με το πνεύμα του διαγωνισμού.

Αν ασχοληθείτε με τα θέματα αυτά και αν συναντήσετε δυσκολίες μπορείτε να με ρωτήσετε στο σχολείο.

Σας χαιρετώ!

Διαδραστικό υλικό στις ιδιότητες της διάταξης και στα διαστήματα της πραγματικής ευθείας

Tue, 21 Oct 2025 23:24:49 +0300

Γεια σας παιδιά,

Θα ήθελα να σας προτρέψω να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας με τις ακόλουθες ερωτήσεις πάνω στις ιδιότητες της διάταξης, στην έννοια του διαστήματος και σε ορισμένες εφαρμογές τους, από εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1418502 .

Φυσικά, δε θα πρέπει να δώσετε σημασία στον τελικό βαθμό ο οποίος είναι καθαρά ενδεικτικός και ενδεχομένως, σε αρκετές περιπτώσεις, να αδικεί την προσπάθειά σας ...

Καλό θα ήταν να δείτε τις υποδείξεις και τα σχόλια κατά την υποβολή των ερωτήσεων για να βοηθηθείτε στην καλύτερη κατανόηση και εμπέδωση των εννοιών που έχετε διδαχθεί.

Τέλος, από εδώ, μπορείτε να ασχοληθείτε με μια διαδραστική εφαρμογή που διαπραγματεύεται την έννοια του διαστήματος.

Θα τα πούμε και στο μάθημα …

Σας χαιρετώ!

Ενημέρωση για την εξεταστέα ύλη 2025 - 2026

Wed, 06 May 2026 20:06:40 +0300

Γεια σας παιδιά,

Τη μεθεπόμενη εβδομάδα ξεκινούν οι προαγωγικές εξετάσεις. 😟

Έτσι, θα ήθελα να σας ενημερώσω σχετικά με την εξεταστέα ύλη και για τη δομή των θεμάτων.

Η ύλη που καθορίζεται, πλέον, από το υπουργείο - και όχι από τους διδάσκοντες - είναι η παρακάτω:

Θα εξεταστείτε σε τέσσερα θέματα: Θέμα Α, Θέμα Β, Θέμα Γ και Θέμα Δ από την παραπάνω ύλη.

Το Θέμα Α θα είναι θέμα θεωρίας και επιλέγεται από τον διδάσκοντα / διδάσκοντες.

Στο 1ο σκέλος του Θέματος Α (ερωτήσεις κλειστού τύπου), θα υπάρχουν πέντε (5) ερωτήσεις Σωστού – Λάθους όπου θα εξεταστείτε στα κύρια σημεία (βασικοί τύποι και συμπεράσματα) της θεωρίας όλων των παραπάνω ενοτήτων.

Παραδείγματα ερωτήσεων Σ - Λ :

Αν \(\alpha>\beta\) και \(\beta>\gamma\), τότε, \(\alpha=\gamma\).

(Λάθος! Το σωστό είναι \(\alpha>\gamma\).)
Αν στην ευθεία των αριθμών ο αριθμός \(\alpha\) βρίσκεται δεξιότερα από τον αριθμό \(\beta\), τότε, η διαφορά \(\alpha-\beta\) είναι θετικός αριθμός.

(Σωστό! Πραγματικά, είναι \(\alpha>\beta\), άρα \(\alpha-\beta>0\).)
Για κάθε αριθμό \(\alpha\), ισχύει, \(|\alpha|=|-\alpha|\).

(Σωστό! Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές.)
Για τον αριθμητικό μέσο, \(\beta\), των \(\alpha\) και \(\gamma\), ισχύει, \(\beta=\frac{\alpha\cdot\gamma}{2}\).

(Λάθος! Το σωστό είναι, \(\beta=\frac{\alpha+\gamma}{2}\).)
Αν για τη διακρίνουσα, \(\Delta\), του τριωνύμου \(\alpha x^2 +\beta x +\gamma\), είναι \(\Delta<0\), τότε, αναγκαστικά, το τριώνυμο είναι, παντού, αρνητικό, δηλαδή \(\alpha x^2 +\beta x +\gamma<0\), για κάθε \(x\) στο σύνολο \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών.

(Λάθος! Το σωστό είναι ότι το τριώνυμο είναι, παντού, ομόσημο του \(\alpha\), άρα, στην περίπτωση όπου \(\alpha>0\), το τριώνυμο θα ήταν θετικό, για κάθε \(x\) στο σύνολο \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών.)

Γενικά, λοιπόν, να προσέξετε, στη θεωρία, τα πιο σημαντικά σημεία που, συνήθως, εντοπίζονται στα έντονα μαύρα γράμματα και στα μπλε πλαίσια των σελίδων του βιβλίου. Θα τα χρειαστείτε τόσο για τις πέντε ερωτήσεις Σωστού - Λάθους του Θέματος Α όσο και για τις ασκήσεις των Θεμάτων Β, Γ και Δ.

Για το 2^ο σκέλος του Θέματος Α (απόδειξη), να προσέξετε στην παράγραφο 5.3 των γεωμετρικών προόδων την απόδειξη του τύπου, \(\beta^2=\alpha\cdot\gamma\) του γεωμετρικού μέσου στο πάνω μέρος της σελίδας 133.

Δηλαδή, να προσέξετε την παρακάτω υποενότητα από το σχολικό σας βιβλίο:

Τέλος,

Το Θέμα Β θα είναι μια άσκηση από την Τράπεζα των Θεμάτων.

Το Θέμα Γ θα είναι μια άσκηση από τον / τους διδάσκοντα / διδάσκοντες.

Το Θέμα Δ θα είναι μια άσκηση από την Τράπεζα των Θεμάτων.

Χαιρετώ σας!

Συναρτήσεις

Sun, 19 Apr 2026 21:32:36 +0300

Γεια σας παιδιά,

Χρόνια πολλά και καλή πρόοδο! 🐣➡️🏫

Θα ήθελα να σας επισυνάψω κάποιες διαδραστικές ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις εμπέδωσης. Το υλικό αυτό αναφέρεται στην εισαγωγική ενότητα των συναρτήσεων. Πρόκειται για την παράγραφο 6.1 που μελετήσαμε λίγο πριν κλείσουν τα σχολεία για τις διακοπές του Πάσχα.

Το υλικό αυτό μπορείτε να το βρείτε από εδώ:

Φυσικά, μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις σας καθώς, κατά την υποβολή τους, έχετε τη δυνατότητα να λάβετε την απαραίτητη καθοδήγηση και ανατροφοδότηση.

Μην απογοητευτείτε αν δυσκολευτείτε με τα παραπάνω τεστάκια ...

Η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης απαιτεί χρόνο και υπομονή ...

Άλλωστε, για την ώρα, ειδικά στην εύρεση του πεδίου ορισμού συνάρτησης δεν έχουμε επιλύσει αρκετές ασκήσεις.

Με νεότερο μήνυμα θα σας ενημερώσω σχετικά με την ύλη για το Διαγώνισμα πάνω στις συναρτήσεις που θα γράψουμε την Τρίτη στις 28 - 04.

Σας χαιρετώ!

Γεωμετρικές πρόοδοι

Sat, 28 Mar 2026 11:49:14 +0300

Γεια σας παιδιά,

Θα ήθελα να σας ενημερώσω σχετικά με ορισμένες διαδραστικές εφαρμογές στην ενότητα των γεωμετρικών προόδων.

Πρώτα απ’ όλα, από εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1350559

μπορείτε, με διαδραστικό τρόπο, να ελέγξετε τις γνώσεις σας πάνω στις βασικές έννοιες των γεωμετρικών προόδων (λόγος της προόδου και γενικός όρος της προόδου.

Επιπλέον, από εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1398274

μπορείτε να ασκηθείτε πάνω στην έννοια του γεωμετρικού μέσου και να κατανοήσετε γιατί ο γεωμετρικός μέσος είναι εξίσου χρήσιμος με τον αριθμητικό μέσο.

Τέλος, από εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1395511

μπορείτε να εφαρμόσετε τις γνώσεις σας πάνω στο άθροισμα ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου.

Πιστεύω ότι οι παραπάνω ερωτήσεις – ασκήσεις θα σας βοηθήσουν να καταλάβετε καλύτερα αυτή την ενότητα.

Χαιρετώ σας!

Διαδραστικές ασκήσεις στους τύπους του Viète

Sun, 25 Jan 2026 10:17:51 +0300

Γεια σας παιδιά,

Θα ήθελα να σας στείλω επιπλέον διαδραστικό υλικό στους τύπους του Viète. (\(S\) και \(P\).) 🚀📚

Πρόκειται για τις ερωτήσεις κατανόησης του παρακάτω διαδραστικού τεστ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1459992.

Οι ερωτήσεις του τεστ ευνοούν την ανακάλυψη των τύπων της θεωρίας και την εξάσκηση πάνω στους τύπους αυτούς. 🧐

Επιπλέον, αν ενδιαφέρεστε για πιο σύνθετες ασκήσεις πάνω στους τύπους του Viète, θα μπορούσατε να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας με το παρακάτω διαδραστικό τεστ. 🎯🤯

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1558431(Σύνθετα ερωτήματα)

Με αυτά τα τεστ, σάς δίνεται η δυνατότητα να ελέγξετε τις γνώσεις σας – όποτε βρείτε χρόνο και διάθεση – στη συγκεκριμένη ενότητα, με τον δικό σας ρυθμό μελέτης. Να διαβάζετε προσεκτικά και τα σχόλια που συνοδεύουν τις περισσότερες ερωτήσεις κατά την υποβολή των απαντήσεών σας.

Καλή ενασχόληση!

Σας χαιρετώ!

Διαδραστικές ασκήσεις στις εξισώσεις β΄ βαθμού

Sun, 25 Jan 2026 10:17:30 +0300

Γεια σας παιδιά,

Πρώτα απ' όλα να ευχηθώ περαστικά σε όσα παιδιά έχετε αρρωστήσει! 😷💊

Θα ήθελα να σας στείλω επιπλέον διαδραστικό υλικό στις εξισώσεις β΄ βαθμού.

Το υλικό απευθύνεται σε όλους σας αλλά ιδιαίτερα σε όσα παιδιά χάσατε κάποια μαθήματα το τελευταίο διάστημα ...

Αρχικά, από εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1134098

μπορείτε να απαντήσετε – όποτε βρείτε χρόνο και διάθεση – στις ερωτήσεις ενός διαδραστικού τεστ.

Στο τεστ ελέγχονται γνώσεις στις εξισώσεις β΄ βαθμού. 📘📝

Επιπλέον, για όσους δυσκολεύονται, κατά την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, θα πρότεινα την παρακάτω διαδραστική εφαρμογή ✅🎉:

https://eclass.sch.gr/modules/document/file.php/G890105/%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1/Second_Degree_Equations.html

(Με τη συγκεκριμένη διαδραστική εφαρμογή, μπορείτε να ασκηθείτε στους τύπους της διακρίνουσας, \(\Delta\), όπως και της εύρεσης των ριζών της, \(x_1\) και \(x_2\), με τη βοήθεια των συντελεστών της, \(\alpha\),\(\beta\) και \(\gamma\).)

Αυτά για την ώρα ... 🏁🎓

Σας χαιρετώ!

Διαδραστικές ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις στις εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις α΄ βαθμού

Fri, 12 Dec 2025 12:49:06 +0300

Γεια σας παιδιά,

Εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1322221

θα βρείτε διαδραστικό υλικό πάνω σε εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις α΄ βαθμού.

Πρόκειται, για εξισώσεις οι οποίες δεν είναι, αρχικά, α' βαθμού. Ωστόσο, μετά την εφαρμογή κατάλληλης διαδικασίας, η επίλυσή τους ανάγεται στην επίλυση μιας αντίστοιχης εξίσωσης α΄ βαθμού.

Καλή ενασχόληση!

Σας χαιρετώ!

Διαδραστικές ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις στις παραμετρικές εξισώσεις α΄ βαθμού

Fri, 12 Dec 2025 12:48:35 +0300

Γεια σας παιδιά,

Σήμερα κουβεντιάσαμε τις παραμετρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού.

Μια εξίσωση λέγεται παραμετρική όταν, εκτός από τον άγνωστο \(x\), εμφανίζονται και μία ή περισσότερες παράμετροι που συμβολίζονται με άλλα γράμματα όπως π.χ. \(\lambda,\kappa,\mu\) κ.ο.κ.. Για να επιλυθεί μια παραμετρική εξίσωση - δηλαδή για να προσδιορίσουμε την τιμή ή τις τιμές του \(x\) που την επαληθεύουν - απαιτείται κατάλληλη διερεύνηση ως προς τις τιμές της παραμέτρου. Αυτό είναι αναγκαίο διότι ενδέχεται, για ορισμένες τιμές της παραμέτρου, ο συντελεστής του αγνώστου, δηλαδή του \(x\), να μηδενίζεται ενώ για τις υπόλοιπες τιμές της παραμέτρου να μη μηδενίζεται. Όπως καταλαβαίνετε, αυτό είναι καθοριστικό κατά την επίλυση μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης. Άλλωστε, όπως είναι γνωστό, για μια πρωτοβάθμια εξίσωση, μετά τον χωρισμό των γνωστών από τους αγνώστους, καθώς και την εκτέλεση ορισμένων πράξεων (αναγωγή όμοιων όρων), διαιρούμε, στο τελευταίο βήμα, τα δύο μέλη της εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου, με την προϋπόθεση ότι ο συντελεστής αυτός δε μηδενίζεται.

Να έχετε υπόψη ότι η παράμετρος θεωρείται δεδομένη. Έτσι, οποιαδήποτε παράσταση περιλαμβάνει αυτή την παράμετρο θα χωριστεί από τον άγνωστο \(x\) της εξίσωσης. Βέβαια, αν μια τέτοια παράσταση πολλαπλασιάζει τον άγνωστο, \(x\), τότε, φυσικά, δε διαχωρίζεται από αυτόν με εξαίρεση, ίσως, στο τελευταίο βήμα όπου, όταν είναι επιτρεπτό, τα δύο μέλη διαιρούνται με τον συντελεστή του αγνώστου.

Από εδώ, λοιπόν,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1322214

μπορείτε να βρείτε διαδραστικό υλικό πάνω στις παραμετρικές εξισώσεις α΄ βαθμού.

Καλή ενασχόληση!

Χαιρετώ σας!

Διαδραστικές ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις στις εξισώσεις α΄ βαθμού

Fri, 12 Dec 2025 12:48:12 +0300

Γεια σας παιδιά,

Εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1322205

θα βρείτε διαδραστικό υλικό πάνω σε βασικές εξισώσεις α΄ βαθμού, δηλαδή εξισώσεις της μορφής \(\alpha x+\beta =0\).

Καλό είναι να αφιερώσετε λίγο χρόνο για να ελέγξετε τον βαθμό κατανόησης της συγκεκριμένης ενότητας ...

Σας χαιρετώ!

Διαδραστικό υλικό στη διάταξη

Tue, 21 Oct 2025 23:24:12 +0300

Γεια σας παιδιά,

Σας στέλνω κάποιο ψηφιακό υλικό με την προσδοκία να σας δώσει τη δυνατότητα να επαναλάβετε, με τρόπο διαδραστικό, κάποια από αυτά που συζητήσαμε σε προηγούμενα μαθήματα.

Σας προτείνω, λοιπόν, να δοκιμάσετε να απαντήσετε (ανώνυμα) τις παρακάτω ερωτήσεις:

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1410584

(Πρόκειται για διαδραστικό υλικό που σχετίζεται με την έννοια της διάταξης.)

Θα τα πούμε και στο μάθημα …

Σας χαιρετώ!

Αριθμητικές πρόοδοι

Sat, 28 Feb 2026 09:31:54 +0300

Γεια σας παιδιά,

Θα ήθελα να σας ενημερώσω σχετικά με ορισμένες διαδραστικές εφαρμογές στην ενότητα των αριθμητικών προόδων.

Πρώτα απ’ όλα, από εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1344733

μπορείτε, με διαδραστικό τρόπο, να ελέγξετε τις γνώσεις σας πάνω στις βασικές έννοιες των αριθμητικών προόδων (διαφορά της προόδου, γενικός όρος της προόδου, η έννοια του αριθμητικού μέσου).

Επιπλέον, από εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1346478

μπορείτε, με διαδραστικό τρόπο, να ελέγξετε τις γνώσεις σας πάνω στο άθροισμα ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου.

Πιστεύω ότι οι παραπάνω ερωτήσεις – ασκήσεις θα σας βοηθήσουν να καταλάβετε καλύτερα αυτή την ενότητα.

Χαιρετώ σας!

Εισαγωγή στις ακολουθίες

Wed, 25 Feb 2026 18:18:59 +0300

Γεια σας παιδιά,

Επειδή αρκετοί χάσατε το τελευταίο μάθημα, θα ήθελα να σας πληροφορήσω σχετικά με αυτά που είπαμε στη νέα ενότητα του μαθήματος.

Επίσης, θα σας ενημερώσω σχετικά με τις εργασίες που έχετε για το αυριανό μάθημα.

Πρώτα απ’ όλα, από εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1343110

μπορείτε, με διαδραστικό τρόπο, να πάρετε μια πρώτη γεύση για την έννοια, γενικά, της ακολουθίας του επόμενου (5^ου κεφαλαίου).

(Η παράγραφος 4.3 δε διδάχθηκε διότι είναι εκτός ύλης.)

Όπως καταλαβαίνετε η έννοια αυτή καθώς και ορισμένες ειδικές περιπτώσεις της (Πρόοδοι) θα μας απασχολήσουν στα επόμενα μαθήματα.

Πιστεύω ότι οι παραπάνω ερωτήσεις – ασκήσεις θα σας βοηθήσουν να καταλάβετε καλύτερα αυτή την ενότητα.

Ακόμη μπορείτε να ασχοληθείτε με τα παρακάτω.

Θεωρία: Να διαβάσετε ό,τι αναφέρεται στην παράγραφο 5.1, από το σχολικό βιβλίο, στη σελίδα 122, από τα «Παραδείγματα» ως το τέλος της σελίδας αυτής.

Ασκήσεις: Να επιλύσετε, από την παράγραφο 5.1 του σχολικού βιβλίου (σελίδα 124), τα εξής υποερωτήματα: Άσκηση 1 (i,ii,vii,ix,x), Άσκηση 2 (i,ii).

Χαιρετώ σας!

Σκέψεις μετά τη βαθμολογία και διαδραστικό υλικό

Fri, 06 Feb 2026 19:12:18 +0300

Αγαπητά παιδιά,

Σήμερα, παραδόθηκαν στους γονείς σας οι βαθμοί του Α΄Τετραμήνου. Εύχομαι να τα πήγατε όσο καλά θα θέλατε ...

Να ξέρετε ότι η βαθμολογία που λάβατε είναι απλώς μια στάση στη διαδρομή και όχι ο τελικός προορισμός. Για κάποιους επιβεβαιώνει την προσπάθειά τους, για άλλους ίσως λειτουργεί ως ένα καμπανάκι για αλλαγή ρυθμού ή τρόπου μελέτης ή στάσης απέναντι στο μάθημα.

Είναι πιθανό κι εμείς να μην εκτιμήσαμε για όλους σας ακριβώς την προσπάθεια που καταβάλατε ...

Το πιο σημαντικό, όμως, είναι ότι κάθε αποτέλεσμα μπορεί να γίνει αφετηρία: για μεγαλύτερη προσπάθεια, για καλύτερη οργάνωση, για περισσότερο ενεργή συμμετοχή ...

Φυσικά, όλα αυτά χωρίς άγχος ή πίεση. Τα λάθη δεν είναι αποτυχίες· είναι ορόσημα που μας βοηθούν να προχωρήσουμε.

Να συνεχίσετε με μεγαλύτερη θέληση, επιμονή και εμπιστοσύνη στους εαυτούς σας. Η χρονιά είναι ακόμη ανοιχτή μπροστά σας.

Καλή συνέχεια και καλή δύναμη!

Υ.Γ. Επειδή, φαντάζομαι ανυπομονείτε και για κάποιες ασκήσεις στην παράγραφο των ανισώσεων ...

Εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1335432

μπορείτε να ελέγξετε τις γνώσεις σας στις ανισώσεις α΄ βαθμού.

Επίσης, από εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1335108

μπορείτε να εξασκηθείτε ακόμη περισσότερο στις ανισώσεις α΄ βαθμού με απόλυτες τιμές.

Να το κάνετε όποτε βρείτε χρόνο χωρίς πίεση ...

Χαιρετώ σας!

Διαδραστικές ασκήσεις και προβλήματα που επιλύονται με εξισώσεις α΄ βαθμού

Fri, 12 Dec 2025 12:49:35 +0300

Γεια σας παιδιά,

Εδώ,

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1309143

θα βρείτε διαδραστικό υλικό πάνω σε προβλήματα που επιλύονται με τη βοήθεια εξισώσεων α΄ βαθμού.

Θα μπορούσατε να ασχοληθείτε μέχρι το επόμενο μάθημα ή οποτεδήποτε έχετε τον χρόνο και τη διάθεση ...

Σας χαιρετώ!

Ευχές και προετοιμασία για το Διαγώνισμα Α΄ Τετραμήνου

Tue, 06 Jan 2026 11:15:33 +0300

Γεια σας παιδιά,

Πρώτα απ' όλα, να σας ευχηθώ Καλή χρονιά, Με Υγεία και Νέους Στόχους! ✨🎯

Καλή επιστροφή, σιγά - σιγά, στην καθημερινότητα, με χαμόγελο ... 😊📚💼❄️

Θα ήθελα να σας στείλω κάποια πράγματα με τα οποία θα πρότεινα να ασχοληθείτε όταν μπορέσετε ...

Μια καλή ευκαιρία είναι να κάνετε το ερχόμενο Σαββατοκύριακο αφού καλό είναι όλη αυτήν την περίοδο των διακοπών των Χριστουγέννων να ξεκουραστείτε!

(Στις επόμενες τάξεις μπορεί να μην έχετε αυτή την πολυτέλεια ...)

Πριν τα Χριστούγεννα, είχαμε πει, ότι, μετά τις γιορτές, τη δεύτερη εβδομάδα μαθημάτων, θα γράψουμε το Διαγώνισμα Α΄ Τετραμήνου.

Συγκεκριμένα, το διαγώνισμα θα διενεργηθεί την Τρίτη 13 Ιανουαρίου.

Επειδή κάποιοι συμμαθητές σας μπορεί να θέλουν να ενημερωθούν από τώρα για την ύλη του Διαγωνίσματος, σας παραθέτω ορισμένα βασικά σημεία που θα πρέπει να επαναλάβετε.

Η ύλη του διαγωνίσματος περιλαμβάνει τις παραγράφους 3.1 και 3.2 από το σχολικό βιβλίο.

Αναλυτικότερα:

Από την παράγραφο 3.1 να προσέξετε, από θεωρία, τη σελ. 80 (χωρίς να αποστηθίσετε κάτι παρά μόνο για να μπορείτε να επιλύσετε παρόμοιες εξισώσεις) και, από ασκήσεις, τις 1,2,3,7, 12 (i,ii) και 14 (i,ii) από την Α΄ Ομάδα.
Από την παράγραφο 3.2 να προσέξετε, από θεωρία, τις κουκίδες στη σελ. 86 και την εφαρμογή στη σελ. 87 (χωρίς να αποστηθίσετε κάτι παρά μόνο για να μπορείτε να επιλύσετε παρόμοιες εξισώσεις) και, από ασκήσεις, τις 1, 2, 3, 4, 5 και 6.

Σκοπεύω να κάνουμε μια σύντομη επανάληψη στο μάθημα της ερχόμενης Πέμπτης.

Τέλος, με αφορμή το διαγώνισμα, συγκεντρώνω, εδώ, κάποιο επιπλέον βοηθητικό υλικό. Το υλικό αποτελείται από διαδραστικές ασκήσεις που μπορείτε να υποβάλετε και να δείτε τις πλήρεις λύσεις με σχόλια και υποδείξεις.

Το υλικό αυτό θα το βρείτε στους παρακάτω συνδέσμους:

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1322205

(Εξισώσεις α΄ βαθμού.)

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1322214

(Παραμετρικές εξισώσεις α΄βαθμού.)

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1322221

(Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις α΄βαθμού.)

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1309143

(Προβλήματα εξισώσεων α' βαθμού.)

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1316850

(Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu=\alpha\))

(Νομίζω ότι τα τρία (3) πρώτα, από αυτά τα τεστ, τα είχα στείλει τον προηγούμενο καιρό στις διευθύνσεις σας. Όχι, όμως, τα δύο (2) τελευταία.)

Σημειώνω τον προαιρετικό χαρακτήρα του εγχειρήματος των διαδρατικών τεστ. Δε θέλω αυτή η διαδικασία να σας αγχώνει ή να σας πιέζει. Όσοι έχετε τον χρόνο και τη διάθεση μπορείτε να ασχοληθείτε – με όσες από τις ερωτήσεις προλάβετε – χωρίς να σας προβληματίσει το τελικό αποτέλεσμα. (Άλλωστε μπορείτε να υποβάλετε τις απαντήσεις σας όσες φορές επιθυμείτε … )

Μπορείτε, ωστόσο, να διαβάζετε τα σχόλια και τις υποδείξεις, κατά τον έλεγχο της απάντησής σας, για να εμπεδώσετε την ύλη της συγκεκριμένης ενότητας.

Χαιρετώ σας!

Διαδραστικό υλικό στην απόλυτη τιμή

Tue, 18 Nov 2025 13:34:57 +0300

Γεια σας παιδιά,

Θα ήθελα να σας στείλω κάποιο επιπλέον υλικό στην ενότητα της απόλυτης τιμής.

Μπορείτε να δοκιμάσετε να απαντήσετε (ανώνυμα) στις παρακάτω ερωτήσεις:

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1305151

Πρόκειται για διαδραστικό υλικό που σχετίζεται με την έννοια της απόλυτης τιμής αριθμού και με τη γεωμετρική της ερμηνεία.

Σας υπενθυμίζω ότι, γεωμετρικά, η απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το \(0\).

Επίσης, διάφορες ερωτήσεις, που θα βρείτε στο παραπάνω τεστ, επικεντρώνονται πάνω στην απόσταση δύο αριθμών που, όπως θυμάστε, ισούται με την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους. Αυτό εξυπηρετεί, ιδιαίτερα, κατά την επίλυση ανισώσεων στις οποίες εμφανίζεται η απόλυτη τιμή κάποιας παράστασης.

Να μη δώσετε σημασία στον τελικό βαθμό ο οποίος είναι καθαρά ενδεικτικός και ενδεχομένως σε αρκετές περιπτώσεις να αδικεί την προσπάθειά σας. Καλό θα ήταν να δείτε τις υποδείξεις και τα σχόλια, κατά την υποβολή των ερωτήσεων, για να βοηθηθείτε στην καλύτερη κατανόηση και εμπέδωση των εννοιών που έχετε διδαχθεί.

Τέλος, από εδώ, μπορείτε να ασχοληθείτε με μια διαδραστική εφαρμογή που πραγματεύεται την επίλυση ανισώσεων με απόλυτες τιμές, της μορφής \(|x-\alpha|\leq\beta\) ή \(|x-\alpha|\geq\beta\).

Θα τα πούμε και στο μάθημα …

Σας χαιρετώ!

Διαδραστικό υλικό στις ταυτότητες

Tue, 07 Oct 2025 19:40:29 +0300

Γεια σας παιδιά,

Για να δοκιμάσουμε τις διευθύνσεις σας ηλεκτρονικού ταχυδρομείου αλλά και για να εξοικειωθείτε - όσοι επιθυμείτε - με τη διαδικασία μπορείτε να δοκιμάσετε να απαντήσετε (ανώνυμα) στις παρακάτω ερωτήσεις:

https://content.e-me.edu.gr/wp-admin/admin-ajax.php?action=h5p_embed&id=1289143

Πρόκειται για διαδραστικό υλικό πάνω στις ταυτότητες που μελετήσαμε σε προηγούμενα μαθήματα.

Να μη δώσετε σημασία στην τελική βαθμολογία η οποία είναι καθαρά ενδεικτική.

(Δεν έχω πρόσβαση στα αποτελέσματα των καταχωρήσεών σας, ούτε μπορώ να γνωρίζω ποιος από εσάς ασχολήθηκε και ποιος όχι με τις συγκεκριμένες ασκήσεις. Ό,τι κάνετε είναι μόνο για δικό σας όφελος ... )

Θα τα πούμε και στο μάθημα …

Σας χαιρετώ!

Υ.Γ. Από εδώ, μπορείτε να "τρέξετε" τη διαδραστική εφαρμογή για το τετράγωνο αθροίσματος που είδαμε στην τάξη.

Μια αντίστοιχη εφαρμογή για τον κύβο αθροίσματος μπορείτε να βρείτε από εδώ.