Συνδυαστική & Πιθανότητες

Θεωρία

Παραδείγματα

Εξάσκηση

Θεωρία Συνδυαστικής

Η Συνδυαστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις δυνατότητες διάταξης και επιλογής αντικειμένων από ένα σύνολο, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες.

Βασικές Αρχές

Αρχή του Απαριθμητή: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί με m τρόπους και ένα άλλο ανεξάρτητο γεγονός με n τρόπους, τότε τα δύο γεγονότα μαζί μπορούν να συμβούν με m × n τρόπους.

Πότε χρησιμοποιούμε κάθε τύπο;

Μεταθέσεις

Χρησιμοποιούμε όταν μας ενδιαφέρει η σειρά και επιλέγουμε όλα τα αντικείμενα.

Μεταθέσεις n διαφορετικών αντικειμένων:
P(n) = n! = 1·2·3·...·n

Διατάξεις

Χρησιμοποιούμε όταν μας ενδιαφέρει η σειρά και επιλέγουμε μερικά από τα αντικείμενα.

Διατάξεις n αντικειμένων ανά k:
P(n, k) = n! / (n-k)! όπου n ≥ k

Συνδυασμοί

Χρησιμοποιούμε όταν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά, μόνο η επιλογή των αντικειμένων.

Συνδυασμοί n αντικειμένων ανά k:
C(n, k) = n! / [k! · (n-k)!] = \(\binom{n}{k}\)

Πώς να επιλέξετε τον τύπο

Βήμα 1: Ρωτήστε: "Η σειρά έχει σημασία;"
Βήμα 2: Αν ΝΑΙ, ρωτήστε: "Επιλέγω όλα τα αντικείμενα;"
Βήμα 3:
- Αν ΝΑΙ → Μεταθέσεις
- Αν ΟΧΙ → Διατάξεις
Βήμα 4: Αν η σειρά ΔΕΝ έχει σημασία → Συνδυασμοί

Παραδείγματα Εφαρμογής

Παράδειγμα 1: Μεταθέσεις

Πρόβλημα: Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 5 φίλοι σε μια σειρά με 5 θέσεις;

Ανάλυση:

Η σειρά έχει σημασία (ο καθένας σε διαφορετική θέση)
Επιλέγουμε όλους τους φίλους (5 από 5)
Άρα είναι Μεταθέσεις

P(5) = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 τρόποι

Παράδειγμα 2: Διατάξεις

Πρόβλημα: Σε έναν αγώνα δρόμου συμμετέχουν 10 αθλητές. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να κατανεμηθούν τα τρία πρώτα βραβεία (χρυσό, ασημένιο, χάλκινο);

Ανάλυση:

Η σειρά έχει σημασία (ποιος θα πάρει χρυσό, ποιος ασημένιο, κλπ)
Επιλέγουμε 3 από τους 10 αθλητές
Άρα είναι Διατάξεις

P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 τρόποι

Παράδειγμα 3: Συνδυασμοί

Πρόβλημα: Ένας προπονητής μπάσκετ έχει 12 παίκτες. Πόσες διαφορετικές ομάδες των 5 παικτών μπορεί να συγκροτήσει;

Ανάλυση:

Η σειρά δεν έχει σημασία (απλώς επιλέγουμε ποιοι 5 θα παίξουν)
Επιλέγουμε 5 από τους 12 παίκτες
Άρα είναι Συνδυασμοί

C(12, 5) = 12! / (5! · 7!) = (12×11×10×9×8) / (5×4×3×2×1) = 792 ομάδες

Ερωτήσεις για να προσδιορίσετε τον τύπο

Όταν λύνετε ένα πρόβλημα συνδυαστικής, ρωτήστε τον εαυτό σας:

Τα αντικείμενα είναι διακριτά και διαφορετικά μεταξύ τους;
Η σειρά/θέση των αντικειμένων έχει σημασία;
Επιλέγουμε όλα ή μερικά από τα αντικείμενα;

Ασκήσεις Εξάσκησης

Τώρα θα λύσετε 4 ασκήσεις. Κάθε άσκηση έχει δύο βήματα:

Πρώτα θα ταξινομήσετε το πρόβλημα (Μεταθέσεις, Διατάξεις ή Συνδυασμοί)
Μετά θα υπολογίσετε το αποτέλεσμα

Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν 4 διαφορετικά βιβλία σε ένα ράφι;

Βήμα 1: Ταξινόμηση προβλήματος

Ποιος τύπος συνδυαστικής χρειάζεται για αυτό το πρόβλημα;

Μεταθέσεις

Διατάξεις

Συνδυασμοί

Βήμα 2: Υπολογισμός αποτελέσματος

Τώρα υπολογίστε το αποτέλεσμα:

Α. 24

Β. 16

Γ. 12

Δ. 8

Λύση:

1. Ταξινόμηση: Εφόσον και τα 4 βιβλία είναι διαφορετικά και μας ενδιαφέρει η σειρά τους στο ράφι, έχουμε Μεταθέσεις (επιλέγουμε όλα τα βιβλία και η σειρά έχει σημασία).

2. Υπολογισμός: Μεταθέσεις 4 διαφορετικών αντικειμένων:

P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 τρόποι

Άρα η σωστή απάντηση είναι η Α. 24.

Από μια τάξη 20 μαθητών, πρέπει να εκλεγούν ένας πρόεδρος, ένας γραμματέας και ένας ταμίας. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Βήμα 1: Ταξινόμηση προβλήματος

Ποιος τύπος συνδυαστικής χρειάζεται για αυτό το πρόβλημα;

Μεταθέσεις

Διατάξεις

Συνδυασμοί

Βήμα 2: Υπολογισμός αποτελέσματος

Τώρα υπολογίστε το αποτέλεσμα:

Α. 8000

Β. 1140

Γ. 6840

Δ. 120

Λύση:

1. Ταξινόμηση: Εδώ η σειρά έχει σημασία (ο πρόεδρος είναι διαφορετική θέση από τον γραμματέα, κλπ) και επιλέγουμε 3 από 20 μαθητές, άρα έχουμε Διατάξεις.

2. Υπολογισμός: Διατάξεις 20 αντικειμένων ανά 3:

P(20, 3) = 20! / (20-3)! = 20! / 17! = 20 × 19 × 18 = 6840 τρόποι

Άρα η σωστή απάντηση είναι η Γ. 6840.

Σε μια εξέταση, ο μαθητής πρέπει να απαντήσει σε 5 από τα 8 ερωτήματα. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να επιλέξει τα ερωτήματα που θα απαντήσει;

Βήμα 1: Ταξινόμηση προβλήματος

Ποιος τύπος συνδυαστικής χρειάζεται για αυτό το πρόβλημα;

Μεταθέσεις

Διατάξεις

Συνδυασμοί

Βήμα 2: Υπολογισμός αποτελέσματος

Τώρα υπολογίστε το αποτέλεσμα:

Α. 40

Β. 336

Γ. 56

Δ. 6720

Λύση:

1. Ταξινόμηση: Εδώ η σειρά επιλογής των ερωτημάτων δεν έχει σημασία (απλώς επιλέγει ποια ερωτήματα θα απαντήσει), άρα έχουμε Συνδυασμούς.

2. Υπολογισμός: Συνδυασμούς 8 αντικειμένων ανά 5:

C(8, 5) = 8! / (5! · 3!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56 τρόποι

Σημείωση: C(8, 5) = C(8, 3) = 56

Άρα η σωστή απάντηση είναι η Γ. 56.

Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν με τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, 6 χωρίς επανάληψη ψηφίων;

Βήμα 1: Ταξινόμηση προβλήματος

Ποιος τύπος συνδυαστικής χρειάζεται για αυτό το πρόβλημα;

Μεταθέσεις

Διατάξεις

Συνδυασμοί

Βήμα 2: Υπολογισμός αποτελέσματος

Τώρα υπολογίστε το αποτέλεσμα:

Α. 360

Β. 1296

Γ. 720

Δ. 120

Λύση:

1. Ταξινόμηση: Εδώ επιλέγουμε 4 από τα 6 ψηφία και η σειρά έχει σημασία (π.χ. ο αριθμός 1234 είναι διαφορετικός από τον 4321), οπότε έχουμε Διατάξεις.

2. Υπολογισμός: Διατάξεις 6 αντικειμένων ανά 4:

P(6, 4) = 6! / (6-4)! = 6! / 2! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 τρόποι

Άρα η σωστή απάντηση είναι η Α. 360.

Συμβουλή για την εξέταση

Στις εξετάσεις, πάντα να ακολουθείτε αυτά τα δύο βήματα:

Ταξινόμηση του προβλήματος (Π, Δ ή Σ)
Υπολογισμός με τον σωστό τύπο

Αυτό θα σας βοηθήσει να αποφύγετε λάθη και να λύσετε τα προβλήματα συστηματικά.

Θεωρία: Ολοκληρώθηκε

Παραδείγματα: Ολοκληρώθηκε

Ασκήσεις: Σε εξέλιξη