Στοιχεία Πιθανοτήτων & Στατιστικής

Γ' Λυκείου – Ομάδα Προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών
ΕΝΟΤΗΤΑ 2.6: Σύγκριση ποσοτικών χαρακτηριστικών στις κατηγορίες ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού

Θηκογράμματα & Σύγκριση Τμημάτων

Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο (Ενότητα 2.6), όταν θέλουμε να συγκρίνουμε ποσοτικά χαρακτηριστικά (π.χ. βαθμολογία) μεταξύ κατηγοριών ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού (π.χ. τμήμα Β3 και Β5), χρησιμοποιούμε θηκογράμματα (box plots). Παρακάτω παρουσιάζονται οι βαθμοί των δύο τμημάτων Β΄ Λυκείου (Β3 και Β5) σε μαθηματικό διαγωνισμό. Τα δεδομένα προέρχονται από την άσκηση του βιβλίου (σελ. 106-109).

Θυμόμαστε: Το θηκόγραμμα δείχνει διάμεσο (Q2), τεταρτημόρια (Q1, Q3), εύρος (max-min) και ενδοτεταρτημοριακό εύρος (IQR = Q3 - Q1). Βοηθά στη σύγκριση θέσης, διασποράς και ασυμμετρίας.

Τμήμα Β3

🔹 Ελάχιστος: 8
📐 Q₁: 11
📊 Διάμεσος (Q₂): 14
📐 Q₃: 17
🔺 Μέγιστος: 20
📏 Εύρος: 12
📦 IQR: 6

Τμήμα Β5

🔹 Ελάχιστος: 5
📐 Q₁: 9
📊 Διάμεσος (Q₂): 12
📐 Q₃: 15
🔺 Μέγιστος: 19
📏 Εύρος: 14
📦 IQR: 6

Πώς να αναλύσετε τα θηκογράμματα;

  1. Εύρος (Range) = Μέγιστη τιμή – Ελάχιστη τιμή. Δείχνει τη συνολική μεταβλητότητα.
  2. Ενδοτεταρτημοριακό εύρος (IQR) = Q₃ – Q₁. Δείχνει τη διασπορά του μεσαίου 50% των δεδομένων. Μεγαλύτερο IQR σημαίνει μεγαλύτερη διασπορά γύρω από τη διάμεσο.
  3. Διάμεσος (Q₂) : συγκρίνουμε την κεντρική τάση. Υψηλότερη διάμεσος = καλύτερη επίδοση γενικά.
  4. Θέση των τεταρτημορίων : αν τα γράμματα είναι συμμετρικά ή όχι.

Για να απαντήσουμε στα ερωτήματα που θέτει η άσκηση του βιβλίου (σελ. 106), συγκρίνουμε το εύρος, το IQR και τη διάμεσο των δύο τμημάτων. Πατήστε τα κουμπιά παρακάτω για να δείτε τις απαντήσεις στα ερωτήματα 1, 2, 3 καθώς και τις Εφαρμογές 1 & 2 (επεξήγηση βήμα-βήμα).

Ερωτήσεις κατανόησης (βασισμένες στο βιβλίο)

1️⃣ Ποιο τμήμα έχει το μεγαλύτερο εύρος βαθμών (Range);

2️⃣ Ποιο τμήμα έχει το μεγαλύτερο ενδοτεταρτημοριακό εύρος (IQR) βαθμών;

3️⃣ Ποιο τμήμα πιστεύετε ότι είναι το καλύτερο από τα δύο, λαμβάνοντας υπόψη τη συνολική εικόνα των βαθμολογιών; (αιτιολογήστε)

Εφαρμογή 1 (βιβλίο): Σύγκριση εύρους & θέσης

Σύμφωνα με τα θηκογράμματα, απαντάμε στα 3 βασικά ερωτήματα. Τι κάνουμε και γιατί:

  • Βήμα 1: Υπολογίζουμε εύρος για κάθε τμήμα → συγκρίνουμε μεταβλητότητα (απάντηση στο 1ο ερώτημα).
  • Βήμα 2: Υπολογίζουμε IQR → μετράμε διασπορά του μεσαίου 50% (αντίσταση σε ακραίες τιμές).
  • Βήμα 3: Συγκρίνουμε διάμεσο και τεταρτημόρια για να αξιολογήσουμε ποιο τμήμα έχει καλύτερη συνολική απόδοση. Σημαντικό: Μεγαλύτερη διάμεσος + υψηλότερο Q1 δείχνει ανώτερη βαθμολογική κλίμακα.
Συμπέρασμα Εφαρμογής 1: Το τμήμα Β3 υπερτερεί στην κεντρική τάση (διάμεσος 14 > 12) και στα κατώτερα τεταρτημόρια, άρα είναι το καλύτερο.

Εφαρμογή 2 (προχωρημένη σύγκριση)

Παρατηρούμε την ασυμμετρία στα θηκογράμματα: Το τμήμα Β3 έχει σχεδόν συμμετρικό κουτί (Q2 σχεδόν κέντρο), ενώ το Β5 δείχνει ελαφρά θετική λοξότητα; Βασικά και τα δύο είναι αρκετά συμμετρικά. Σημαντικό : το εύρος του Β5 είναι μεγαλύτερο λόγω χαμηλότερης ελάχιστης τιμής (5 έναντι 8). Αυτό σημαίνει μεγαλύτερη ανομοιογένεια. Για την αξιολόγηση της απόδοσης προτιμάμε τμήμα με υψηλότερη διάμεσο και μικρότερο εύρος ή ίδιο IQR, δείκτης σταθερότητας.

Πρακτική καθοδήγηση: Συναρτήσει της ύλης, πάντα συγκρίνουμε πρώτα μέτρα θέσης (διάμεσο, τεταρτημόρια) και έπειτα μέτρα διασποράς. Στην περίπτωσή μας, η διάμεσος του Β3 είναι σημαντικά υψηλότερη, οπότε το θεωρούμε ανώτερο ανεξαρτήτως του εύρους.

Σύνοψη μέτρων

ΜέτροΤμήμα Β3Τμήμα Β5Σύγκριση / Σχόλιο
Εύρος (Range)1214✔️ Μεγαλύτερο στο Β5 → μεγαλύτερη ακραία διακύμανση
IQR (Q3-Q1)66➖ Ίδιο → σταθερή διασπορά στο κεντρικό τμήμα
Διάμεσος (Q2)1412⭐ Το Β3 έχει υψηλότερη διάμεσο (+2 μονάδες)
1ο Τεταρτημόριο (Q1)119⭐ Το Β3 έχει καλύτερη απόδοση στο χαμηλό 25%
3ο Τεταρτημόριο (Q3)1715⭐ Το Β3 έχει επίσης υψηλότερες επιδόσεις στο ανώτερο 25%

Ολοκληρωμένη απάντηση για το βιβλίο: 1) Μεγαλύτερο εύρος → Β5, 2) Ίδιο IQR, 3) Καλύτερο τμήμα → Β3, επειδή υπερέχει σε διάμεσο και τεταρτημόρια, δηλαδή οι μαθητές του πέτυχαν συστηματικά υψηλότερες βαθμολογίες.