Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ    Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σ         

1.Θεωρούμε δύο ευθείες που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχουν εξισώσεις: ε1: χ + μψ + 1 = 0,	
ε2: 2μχ + 2ψ + λ = 0, όπου λ, μR.
Να προσδιορίσετε για ποια ζεύγη τιμών των λ. μ οι ευθείες είναι παράλληλες και έχουν απόσταση μεταξύ τους d = 2  

2. Δίνεται η εξίσωση: χ2 + ψ2 + λ(ψ-χ-1) - (χ+ψ+2) = 0  (1)
   α) Να αποδείξετε ότι:
   ί. Η (1) παριστάνει για κάθε τιμή του λ R κύκλο.
   ίί. Τα κέντρα των κύκλων που ορίζονται απο την ( Ι) βρίσκoνται πάνω         σε 	ευθεία γραμμή που        είναι παράλληλη στήν ευθεία με εξίσωση: χ + ψ+ 2 = 0
β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ,αν υπαρχουν στις περιπτώσεις που:
           iΗ ακτίνα του κυκλου ( Ι) ισoυται με 
    ίί. Ο κύκλος (Ι) εφαπτεται με τήν ευθεία  4χ – 3ψ + 6 = 0                                                                                                      

3 Σε ορθοκανονικό σύστημα Οxy θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2. 1) και. Έστω οι ευθειες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο από τα υψη του εχουν εξισώσεις ε1: 3χ + ψ - 11 = 0	ε2: χ - ψ + 3 = 0
Να βρείτε:
α) Τις εξισωσεις των πλευρων του ΑΒ και ΑΓ.
μ) Τις συντεταγμένες των κορυφων του Β, Γ.
γ) Την εξίσωση της ευθείας ΒΓ.
δ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ
ε) Το ορθόκεντρο του τριγώνου   

4. Δίνονται οι εξισωσεις λχ+ψ=0 (1)) και(λ-1)χ+(λ+1)ψ=0 (2),όπου λR 
α) Να αποδειχτεί ότι:
ί. Για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι εξισώσεις (1) και (2) παριστάνουν από μια ευθεία γραμμή ε1 και ε2 αντίστοιχα.
ίί. Όλες οι ευθείες που ορίζονται από τις (1). (2) διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο να προσδιοριστεί. 
β) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ε1,ε2 για κάθε τιμή του λ. 
γ) Έστω λ=1. Να αποδειχθεί ότι καθε υπερβολή η οποία είναι συμμετρική ως προς 	τους άξονες Χ'Χ, Υ'Υ, με εστίες σημεία της ε1 και μια ασύμπτωτη την ε2, είναι 	ισοσκελής.

5.Τα σχέδια κατασκευής του υπoγειου σιδηροδρόμου μιας πόλης, σ' ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οχψ περιλαμβάνουν τη γραμμή Γ 1 που αποτελείται από τα σημεία (χ, ψ) με 
x + ψ = 2 +  + λ ( + 3), λ R και τη γραμμή Γ2. που διέρχεται από το σταθμό Σ (-3, 2) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα     = (2, - 1). 
α) Να βρεθεί η εξίσωση της γραμμης  Γ1.
β) Να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής Γ2 και να γραφεί στη μορφή 
Αχ + Βψ + Γ=0  
γ) Στο σημείο 0(0,0) πρέπει να κατασκευαστεί ένας νέος σταθμός, που θα εξυπηρετεί την γύρω του περιοχή  Δεδομένου ότι το κόστος κατασκευής ανά μονάδα μήκους γραμμης  είναι το ίδιο σε κάθε περίπτωση, με ποια από τις γραμμές Γ1 και Γ2 πρέπει να συνδεθεί ο νέος σταθμός έτσι, ώστε η γραμμή σύνδεσής του να έχει το μικρότερο κόστος. 

6.Στο σύστημα αξόνων Οχψ παίρνουμε τα σημεία Α, Β. Γ με 
ΟΑ = -  - 2  ΟΒ = 5  +      ΟΓ = -3 + 2 
α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β. Γ σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο,
β) Να βρείτε τις συντεταγμένε; του σημείου Δ, ωστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να
είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του περιγεγραμμένου στο ΑΒΔΓ
κύκλου.
δ) Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ (χ. ψ) για το οποίο ισχύει 
 κινείται πάνω σε μια έλλειψη της οποίας να
βρείτε την εκκεντρότητα.

7. Δίνονται οι γραμμές C1 ,C2 που ορίζονται από τις εξισώσεις
C1 : χ2 + ψ2 - 2α (χ + ψ) + 2 α2 – β2 = 0
C2 : χ2+ ψ2 - 2β (χ + ψ) + 2β2 – α2= 0
οπου 0 < α < β και β2 + α2 < 6αβ
Να αποδείξετε ότι :
α) Για οποιαδήποτε τιμή των πραγματικων αριθμών α, β κάθε μια από τις εξισώσεις C1,C2   παριστάνει κύκλο.
β) Ο κύκλος C1 βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου C2 και δεν έχει κοινα σημεια μαζί του.

χ = συνφ.       ψ =  ημφ,    φ(0,2π).  

8.Εστω τα διανύσματα  τέτοια  ωστε  και = συν2φ με φ(0,π/2)
α) Να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων  και να αποδείξετε ότι δεν είναι συγραμμικά.

β) Για τα διανύσματα  =    =   να αποδείξετε ότι;,

ί.    
ii.  κάθετο   

9.Σε ορθοκανονικό σύστημα Οχψ παίρνουμε τρίγωνο ΟΑΓ, με Ο (0, 0), 
Γ (2, 0), το μέσο Β της ΟΓ και θεωρούμε τα σημεία Μ (χ, ψ) για τα οποία ισχυει 
	( 1)
α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ ανήκουν στο κύκλο C που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΟΓ 	
β) Να προσδιορίσετε τα σημεία του κύκλου C που απέχουν την  μεγαλύτερη απόσταση από τον άξονα χ΄χ
γ) 'Εστω τα διανύσματα  = (χ - 1, ψ),  = (8. -6) με το σημείο Μ(χ, ψ) να επαληθεύει την (1).
ί. Να υπολογιστούν οι τιμές των χ. ψ ωστε να είναι   ομόρροπο του 
ίι. Να βρείτε το σημείο του κύκλου για το οποίο η τιμή της παράσταση 8χ – 6ψ είναι μέγιστη.

10.Δίνονται τα διανύσματα  = (5,3), = (3,2)   = (α,β),   = (χ,ψ),
=( ,)  με α, β, χ, ψ Ζ  και  =
 Να υπολογίσετε το διάνυσμα  ως συνάρτηση των α, β.

 11 Δίνονται τα σημεία Α(1,3) και Β(5,1). Ένας κύκλος (C) διέρχεται από τα σημεία Α, Β
       και έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία (δ): y = x . Να βρείτε:
       α. το μήκος της χορδής ΑΒ. 
       β. τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ. 
       γ. την εξίσωση της μεσοκάθετης του ΑΒ 
      δ. την εξίσωση του κύκλου. 

12 Δίνεται η εξίσωση: χ2 + ψ2 + λ(ψ-χ-1) - (χ+ψ+2) = 0  (1)
	 α) Να αποδείξετε ότι:
	ί. Η (1) παριστάνει για κάθε τιμή του λ R κύκλο.
	ίί. Τα κέντρα των κύκλων που ορίζονται από την ( Ι) βρίσκονται πάνω  σε ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη     στην ευθεία με εξίσωση: χ + ψ+ 2 = 0
       β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ,αν υπάρχουν στις περιπτώσεις που:
	i. Η ακτίνα του κύκλου ( Ι) ισούται με 
	ίί. Ο κύκλος (Ι) εφαπτεται με τήν ευθεία  4χ – 3ψ + 6 = 0