Να λύσετε καθεμία από τις παρακάτω ανισώσεις.

1) $2{x^2} - 2x - 4 < 0$

😉😊

$2{x^2} - 2x - 4 < 0$

$\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4\left( 2 \right)\left( { - 4} \right) = 36$

${x_{1,2}} = \dfrac{{2 \pm \sqrt {36} }}{{2\left( 2 \right)}} = \begin{array}{*{20}{c}} \diagup \\ \diagdown \end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{\;\dfrac{{2 - 6}}{4} = - 1}\\{\dfrac{{2 + 6}}{4} = 2\;\;\;}\end{array}$

έτσι ο πίνακας προσήμου των τιμών του $2{x^2} - 2x - 4$ είναι

Επομένως

$2{x^2} - 2x - 4 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1,2} \right)$

∎

2) $ - {x^2} + 3x + 10 \le 0$

Λύση

😉😊

$ - {x^2} + 3x + 10 \le 0\;\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot \left( { - 1} \right)} \;$ $ \fbox{$x^2-3x-10\geq0$} $

Από την παραγοντοποιημένη μορφή $\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right) = {x^2} - 3x - 10$

μπορούμε να δούμε γρήγορα ότι το τριώνυμο ${x^2} - 3x - 10$ θα είναι μηδέν στο ${x_1} = - 2$ και στο ${x_2} = 5$ (εννοείται $\Delta > 0$).

Για τα υπόλοιπα $x$ θα είναι ${x^2} - 3x - 10 > 0$ ή ${x^2} - 3x - 10 < 0$ ανάλογα με τον πίνακα προσήμου:

Επομένως:

${x^2} - 3x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow $ $ \fbox{$\begin{array}{*{20}{c}}{x \le - 2}&{ή}&{x \ge 5}\\{x \in \left( { - \infty , - 2} \right]}& \cup &{\left[ {5, + \infty } \right)}\end{array}$} $

∎

3) ${x^2} + 4x \le 21$

Λύση

😉😊

${x^2} + 4x \le 21 \Leftrightarrow $ $\fbox{$x^2+4x-21\le0$}$

Από την παραγοντοποιημένη μορφή του τριώνυμου ${x^2} + 4x - 21 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 7} \right)$ έχουμε ρίζες ${x_1} = - 7$ και ${x_2} = 3$ (εννοείται $\Delta > 0$).

Έτσι:

Άρα

${x^2} + 4x - 21 \le 0 \Leftrightarrow $ $ \boxed{ \color{#ff4000} {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7 \le x \le 3}\\{x \in \left[ { - 7,\;3} \right]}\end{array}}} $

∎

4) ${x^2} + 6x + 12 < 0$

Λύση

😉😊

$\Delta = {\left( 6 \right)^2} - 4\left( {12} \right) = 36 - 48 = - 12 < 0$

Πίνακας ❸

Βλέπουμε ότι για όλα τα $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow $ ${x^2} + 6x + 12 > 0$

Άρα η ${x^2} + 6x + 12 \le 0$ δεν έχει λύσεις.

∎

5) $4{\lambda ^2} \le 15 - 17\lambda $

Λύση

😉😊

$4{\lambda ^2} \le 15 - 17\lambda $ $ \Leftrightarrow $ $4{\lambda ^2} + 17\lambda - 15 \le 0$

έχουμε:

$\Delta = {\left( {17} \right)^2} - 4\left( 4 \right)\left( { - 15} \right)$ $ = 289 + 240 = 529$

Ρίζες:

${\lambda _{1,2}} = \dfrac{{ - 17 \pm \sqrt {529} }}{{2\left( 4 \right)}} = \begin{array}{*{20}{c}} \diagup \\ \diagdown \end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{\;\dfrac{{ - 17 - 23}}{8} = - 5}\\{\dfrac{{ - 17 + 23}}{8} = \dfrac{3}{4}\;\;\;}\end{array}$

έτσι ο πίνακας προσήμου των τιμών του $4{\lambda ^2} + 17\lambda - 15$ είναι:

Επομένως
$4{\lambda ^2} + 17\lambda - 15 \le 0 \Leftrightarrow $ $\boxed{ \color{#ff4000} { \begin{array}{*{20}{c}}{ - 5 \le \lambda \le \dfrac{3}{4}}\\{\lambda \in \left[ { - 5,\;\dfrac{3}{4}} \right]}\end{array} } } $

∎

6) ${x^2} + 34 > 12x$

Λύση

😉😊

${x^2} + 34 < 12x \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 34 < 0$

έχουμε:

$\Delta = {\left( { - 12} \right)^2} - 4\left( {34} \right) = 144 - 136 = 8$

Ρίζες:

${x_{1,2}} = \dfrac{{12 \pm \sqrt 8 }}{2} = \dfrac{{12 \pm \sqrt 4 \cdot \sqrt 2 }}{2} = 6 \pm \sqrt 2 $

Έτσι

${x^2} - 12x + 34 < 0 \Leftrightarrow $ $ \boxed{ \color{#ff4000} { \begin{array}{*{20}{c}}{6 - \sqrt 2 < x < 6 + \sqrt 2 }\\{x \in \left( {6 - \sqrt 2 ,6 + \sqrt 2 } \right)}\end{array} }} $

∎

7) ${x^2} - 2x + 1 \le 0$

Λύση

😉😊

Αυτή η ανίσωση λειτουργεί λίγο διαφορετικά από τις άλλες σε αυτήν την ενότητα.

${x^2} - 2x + 1 \le 0 \Leftrightarrow $

${\left( {x - 1} \right)^2} \le 0$

Από την παραγοντοποιημένη μορφή του τριώνυμου παρατηρούμε ότι το τριώνυμο θα είναι μηδέν στο $x = 1$ (έχουμε διπλή ρίζα)

Επειδή το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο ξέρουμε ότι δεν μπορεί ποτέ να είναι αρνητικό! Είναι δυνατό μόνο να είναι μηδέν ή θετικό.

Μας ζητείται να προσδιορίσουμε για ποιά $x$ το τριώνυμο είναι αρνητικό ή μηδέν. Όπως σημειώθηκε ωστόσο δεν είναι δυνατόν να είναι αρνητικό. Επομένως, η μόνη λύση που μπορούμε να βρούμε για αυτήν την ανισότητα είναι που είναι ίσο με μηδέν και το βρήκαμε στο προηγούμενο βήμα.

Η απάντηση είναι ,

$x = 1$

Σε αυτή την περίπτωση η απάντηση είναι ένας μόνος αριθμός και όχι μια ανίσωση. Αυτό συμβαίνει περιστασιακά και δεν πρέπει να ανησυχούμε για αυτού του είδους τις «ασυνήθιστες» απαντήσεις.

∎

8) Δίνεται η εξίσωση ${x^2} - \left( {\lambda + 3} \right)x + {\lambda ^2} = 0$ , όπου $\lambda \in \mathbb{R}$

α) Για τις διάφορες τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$, να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου $ - 3{\lambda ^2} + 6\lambda + 9$

β) Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του $\lambda $ το πλήθος των ριζών της δοσμένης εξίσωσης.

Λύση

😉😊

α)

$\Delta = {\left( 6 \right)^2} - 4\left( { - 3} \right)\left( 9 \right) = 36 + 108 = 144$

${\lambda _{1,2}} = \dfrac{{ - 6 \pm \sqrt {144} }}{{2\left( { - 3} \right)}} = \begin{array}{*{20}{c}} \diagup \\ \diagdown \end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{\;\dfrac{{ - 6 + 12}}{{ - 6}} = - 1}\\{\dfrac{{ - 6 - 12}}{{ - 6}} = 3\;\;\;}\end{array}$

β)

${x^2} - \left( {\lambda + 3} \right)x + {\lambda ^2} = 0$ (1) , όπου $\lambda \in \mathbb{R}$

$\Delta = {\left( {\lambda + 3} \right)^2} - 4\left( 1 \right)\left( {{\lambda ^2}} \right) = {7^2} + 6\lambda + 9 - 4{\lambda ^2} = - 3{\lambda ^2} + 6\lambda + 9$

Από α) ερώτημα:

● για $\lambda < - 1$ ή $\lambda > 3$ είναι $ - 3{\lambda ^2} + 6\lambda + 9 < 0$ δηλαδή $\Delta < 0$ οπότε η εξίσωση (1) είναι αδύνατη

● για $ - 1 < \lambda < 3$ είναι $ - 3{\lambda ^2} + 6\lambda + 9 > 0$ δηλαδή $\Delta > 0$ επομένως η εξίσωση (1) έχει 2 ρίζες άνισες

● για $\lambda = - 1$ ή $\lambda = 3$ είναι $ - 3{\lambda ^2} + 6\lambda + 9 = 0$ δηλαδή $\Delta = 0$ άρα η εξίσωση (1) έχει διπλή ρίζα

∎

9) Δίνεται η εξίσωση $\left( {\lambda - 2} \right){x^2} + 2\left( {\lambda - 2} \right)x - \lambda = 0$ , (1) με (παράμετρο) $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Να βρεθούν οι τιμές του $\lambda $, ώστε:

α) η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες άνισες

β) η εξίσωση (1) να είναι αδύνατη

Λύση

😉😊

● Αν $\lambda = 2$ τότε η εξίσωση (1)$ \Rightarrow 0{x^2} + 0x - 2 = 0 \Rightarrow - 2 = 0$ η οποία είναι αδύνατη.

● Αν $\lambda \ne 2$ έχουμε εξίσωση 2^ου βαθμού με διακρίνουσα :

$\Delta = 4{\left( {\lambda - 2} \right)^2} - 4\left( {\lambda - 2} \right)\left( { - \lambda } \right)$

$ = 4\left( {{\lambda ^2} - 4\lambda + 4} \right) + 4\lambda \left( {\lambda - 2} \right)$

$ = 8{\lambda ^2} - 24\lambda + 16 = 8\left( {{\lambda ^2} - 3\lambda + 2} \right)$

α)Για να έχει η (1) δύο ρίζες άνισες πρέπει :

$\Delta > 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2} - 3\lambda + 2 > 0$

Όμως το ${\lambda ^2} - 3\lambda + 2$ έχει ρίζες ${\lambda _1} = 1$ και ${\lambda _2} = 2$ οπότε ο πίνακας προσήμου είναι

Επομένως η (1) έχει δύο ρίζες άνισες αν ${\lambda ^2} - 3\lambda + 2 > 0$ δηλαδή όταν $\lambda \in \left( { - \infty ,1} \right) \cup \left( {2, + \infty } \right)$

β) η εξίσωση (1) είναι αδύνατη αν

$\Delta < 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2} - 3\lambda + 2 < 0 \Leftrightarrow \lambda \in \left( {1,\;2} \right)$

∎

10) Να βρείτε τις τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα

$\left| {\lambda {x^2} - 3\lambda x + 1} \right| = \lambda {x^2} - 3\lambda x + 1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Υπόδειξη:

$\left| \alpha \right| = \alpha $ αν και μόνο αν $\alpha \ge 0$

$\left| \alpha \right| = - \alpha $ αν και μόνο αν $\alpha \le 0$

Λύση

😉😊

● Αν $\lambda = 0$ τότε η ισότητα ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$

● Αν $\lambda \ne 0$ , τότε (από υπόδ) θα έχουμε:

$\left| {\lambda {x^2} - 3\lambda x + 1} \right| = \lambda {x^2} - 3\lambda x + 1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

αν και μόνο αν

$\lambda {x^2} - 3\lambda x + 1 \ge 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ (1)

Η επίλυση της ανίσωσης (1) είναι συνδυασμός των πινάκων προσήμου ❷❸

	Αν θέλουμε	από	Απαιτούμε
I	$\alpha {x^2} + \beta x + \gamma > 0$ για όλα τα $x \in \mathbb{R}$ (δηλαδή το τριώνυμο να διατηρεί θετικό πρόσημο)	❸	$\Delta < 0$ (ώστε το πρόσημο να διατηρείται) και $\alpha > 0$ (για να είναι θετικό)
II	$\alpha {x^2} + \beta x + \gamma < 0$ για όλα τα $x \in \mathbb{R}$ (δηλαδή το τριώνυμο να διατηρεί αρνητικό πρόσημο)	❸	$\Delta < 0$ (ώστε το πρόσημο να διατηρείται) και $\alpha < 0$ (για είναι αρνητικό)
III	$\alpha {x^2} + \beta x + \gamma \ge 0$ για όλα τα $x \in \mathbb{R}$	❷❸	$\Delta \le 0$ και $\alpha > 0$
IV	$\alpha {x^2} + \beta x + \gamma \le 0$ για όλα τα $x \in \mathbb{R}$	❷❸	$\Delta \le 0$ και $\alpha < 0$

Έτσι:

Για να ισχύει η (1) απαιτούμε για το τριώνυμο $\lambda {x^2} - 3\lambda x + 1$ να έχει :

$\Delta \le 0$ και $\alpha > 0$

$ \Leftrightarrow $ ${\left( { - 3\lambda } \right)^2} - 4\left( \lambda \right)\left( 1 \right) \le 0$ και $\lambda > 0$

$\Leftrightarrow 9{\lambda ^2} - 4\lambda \le 0$ και $\lambda > 0$

$\Leftrightarrow \lambda \left( {9\lambda - 4} \right) \le 0$ και $\lambda > 0$

Ρίζες: ${\lambda _1} = 0$ και ${\lambda _2} = \dfrac{4}{9}$

Επομένως:

$9{\lambda ^2} - 4\lambda \le 0{\rm{\;\;\kappa \alpha \iota \;\;\;}}\lambda > 0 \Leftrightarrow \lambda \in \left( {0,\;\dfrac{4}{9}} \right]$

Τελικά ισότητα ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ όταν

$\lambda \in \left[ {0,\;\dfrac{4}{9}} \right]$

∎