Κάθε ανίσωση της μορφής \(\alpha x + \beta > 0\) (ή \( < 0\) ή \( \ge 0\) ή \( \le 0\) ) µε \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) καλείται ανίσωση 1^ου βαθμού. Τη μορφή αυτή λέμε κανονική μορφή.

Το επόμενο θέμα που πρέπει να συζητήσουμε είναι η ιδέα του διαστήματος . Ο συμβολισμός διαστήματος είναι μια πολύ ωραία συντομογραφία για τις ανισότητες και θα χρησιμοποιηθεί εκτενώς σε επόμενες ενότητες των μαθηματικών

Ο καλύτερος τρόπος για να κατανοήσετε το συμβολισμό διαστήματος είναι ο παρακάτω πίνακας. Υπάρχουν τρεις στήλες στον πίνακα. Κάθε σειρά περιέχει μια ανισότητα, ένα που αντιπροσωπεύει την ανισότητα και τέλος τον συμβολισμό του διαστήματος για τη δεδομένη ανισότητα.

Ανισότητα	Γράφημα	Συμβολισμός διαστήματος
\(\alpha \le x \le \beta \)		\(\left[ {\alpha ,\;\beta } \right]\)
\(\alpha < x < \beta \)		\(\left( {\alpha ,\;\beta } \right)\)
\(\alpha \le x < \beta \)		\(\left[ {\alpha ,\;\beta } \right)\)
\(\alpha < x \le \beta \)		\(\left( {\alpha ,\;\beta } \right]\)
\(x > \alpha \)		\(\left( {\alpha ,\;\infty } \right)\)
\(x \ge \alpha \)		\(\left[ {\alpha ,\;\infty } \right)\)
\(x < \beta \)		\(\left( { - \infty ,\;\beta } \right)\)
\(x \le \beta \)		\(\left( { - \infty ,\;\beta } \right]\)

Να θυμάστε ότι μια αγκύλη, "\([\)" ή "\(]\)" , διαβάζεται κλειστό και σημαίνει ότι συμπεριλαμβάνουμε το τελικό σημείο ενώ μια παρένθεση, "\((\)" ή "\()\)", διαβάζεται ανοικτό και σημαίνει ότι δεν συμπεριλαμβάνουμε το τελικό σημείο.

● ότι τα άπειρα ΠΟΤΕ δεν παίρνουν αγκύλη. Παίρνουν μόνο μια παρένθεση

● Να θυμάστε πάντα ότι όταν γράφουμε έναν συμβολισμό διαστήματος για μια ανισότητα, ο αριθμός στα αριστερά πρέπει να είναι ο μικρότερος από τους δύο.

Παράδειγμα 1^ο : Να λυθεί η ανίσωση: \(3\left( {x - 1} \right) + 2 \le 5x + 6\)

ΛΥΣΗ

😉😊

\(3\left( {x - 1} \right) + 2 \le 5x + 6\)	Επιμεριστική ιδιότητα
\(3x - 3 + 2 \le 5x + 6\)	πράξεις
\(3x - 1 \le 5x + 6\)	Πρόσθεσε 1 και αφαίρεσε 5x και στα δύο μέλη
\(3x - 5x \le + 6 + 1\)	πράξεις
\( - 2x \le 7\)	Διαίρεσε με −2 (άλλαξε τη φορά)
\(\dfrac{{ - 2x}}{{ - 2}} \ge \dfrac{7}{{ - 2}}\)	απλοποίησε
\( \boxed{ \color{#ff4000} {x \ge - \dfrac{7}{2}}} \)	Αυτές είναι οι λύσεις μας

Οι λύσεις με διάστημα: \(x \in \left[ { - \dfrac{7}{2}{\rm{\;}}{\rm{,}} + \infty } \right)\)

Γραφική λύση:

∎

Παράδειγμα 2^ο : Να λυθεί η ανίσωση: \(\dfrac{{x + 1}}{2} - x \ge \dfrac{{2x}}{5} - 4\)

Λύση

😉😊

ΛΥΣΗ

\(\dfrac{{x + 1}}{2} - x > \dfrac{{2x}}{5} - 4\)	Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π.\(\left( {2,5} \right) = 10\;\)και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το \(10\) , ΔΕΝ αλλάζει η φορά
\(10 \cdot \left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right) - 10 \cdot \left( x \right) > 10 \cdot \left( {\dfrac{{2x}}{5}} \right) - 10 \cdot \left( 4 \right)\)	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών
\(5 \cdot \left( {x + 1} \right) - 10 \cdot \left( x \right) > 2 \cdot \left( {2x} \right) - 10 \cdot \left( 4 \right)\)	Επιμεριστική ιδιότητα
\(5x + 5 - 10x > 4x - 40\)	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
\(5x - 10x - 4x > 40 - 5\)	Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων
\( - 9x > 45\)	Πολλαπλασιάζουμε με \( - 1\), για να αλλάξουμε τα πρόσημα και ΑΛΛΑΖΕΙ η φορά
\(9x < 45\)	Διαίρεσε με \(9\) , ΔΕΝ αλλάζει η φορά
\(\dfrac{{9x}}{9} < \dfrac{{45}}{9}\)	απλοποίησε
\( \boxed{ \color{#ff4000} {x < 5}} \)	οι λύσεις

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί οι μικρότεροι από το \(5\)

Λύσεις της ανίσωσης με διάστημα: \(x \in \left( { - \infty ,5} \right)\)

Γραφική λύση:

∎