Κάθε παράσταση της μορφής \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma \) , \(\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}\) και \(\alpha \ne 0\) ονομάζεται τριώνυμο.

Η διακρίνουσα \(\Delta ={\beta ^2}-4\alpha \gamma \) της αντίστοιχης εξίσωσης \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma =0\) λέγεται και διακρίνουσα του τριωνύμου.

Οι ρίζες της εξίσωσης \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma =0\), δηλαδή οι

\({x_1}=\dfrac{{-\beta -\sqrt \Delta }}{{2\alpha }}{\rm{\;\;\;\;\kappa \alpha \iota \;\;\;}}{x_2}=\dfrac{{-\beta +\sqrt \Delta }}{{2\alpha }}\)

ονομάζονται και ρίζες του τριωνύμου \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma \)

Το τριώνυμο \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma \) θα ονομάζουμε \(f\left( x \right)\) και στο εξής \(f\left( x \right)=\alpha {x^2}+\beta x+\gamma \)

Κάθε τριώνυμο παραγοντοποιείται ανάλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας :

Έστω το τριώνυμο \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma \) , με \(\alpha \ne 0\) .

❶ Αν \({\rm{\Delta }} > 0\) και \({x_1},{x_2}\) οι ρίζες του τριωνύμου, τότε:

❷ Αν \({\rm{\Delta }}=0\) και \({x_0}=-\dfrac{\beta }{{2\alpha }}\) η διπλή ρίζα του τριωνύμου, τότε:

Τι πρόσημο έχει το τριώνυμο , ανάλογα με τις τιμές της διακρίνουσάς του;

Το τριώνυμο \(\alpha {x^2} + \beta x + \gamma \) , \({\rm{\alpha }} \ne 0\) γίνεται:

● Ετερόσημο του α , μόνο όταν είναι \(\Delta > 0\) και για τις τιμές του \(x\), που βρίσκονται μεταξύ των ριζών.

● Μηδέν, όταν η τιμή του \(x\) είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύμου.

● Ομόσημο του \(\alpha \) σε κάθε άλλη περίπτωση.

⚠️Παρατήρηση 1: η μόνη περίπτωση που το τριώνυμο είναι ετερόσημο του \(\alpha \) είναι όταν \(x \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)\) και εννοείται πως \(\;\Delta > 0\)

Τριώνυμο που Διατηρεί Σταθερό Πρόσημο (αυτά πολύ καλά)

⚠️Παρατήρηση 2: Το τριώνυμο διατηρεί σταθερό πρόσημο (το ίδιο πρόσημο ) για όλα τα \(x \in \mathbb{R}\) , αν και μόνο αν \(\Delta < 0\) . Εννοείται ότι τότε το τριώνυμο για όλα τα \(x \in \mathbb{R}\) διατηρεί το πρόσημο του \(\alpha \)

\(S={x_1}+{x_2}=\dfrac{{-\beta }}{\alpha }{\rm{\;\;\;\kappa \alpha \iota \;\;\;}}P={x_1} \cdot {x_2}=\dfrac{\gamma }{\alpha }\)

Ανίσωση 2^ου βαθμού ονομάζουμε κάθε ανίσωση της μορφής: \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma < 0\) ή \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma > 0\) ή \( \le 0\) ή \( \ge 0\) µε \(\alpha \ne 0\)

Για να λύσουμε μία ανίσωση της μορφής (ή \( > 0\) ή \(\; \le 0\) ή \( \ge 0\)) , βασιζόμαστε σε 3 απλά βήματα

Βήμα 1. Βρίσκουμε την \(\Delta \) και τις ρίζες(αν έχει) του \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma \) , δηλ. τις λύσεις της αντίστοιχης εξίσωσης \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma =0\)

Βήμα 2. Φτιάχνουμε τον πίνακα προσήμου των τιμών του τριωνύμου \(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma \) , σύμφωνα με τους πίνακες προσήμου και ανάλογα με την \(\Delta \) που βρήκαμε

Βήμα 3. Επιλέγουμε από τον πίνακα τις τιμές του \(x\) (τα κατάλληλα διαστήματα για το \(x\)), ανάλογα με το τι μας έχει ζητηθεί.

Παράδειγμα 1. Να λυθούν οι ανισώσεις: (i)\(\;2{x^2}-3x-2 > 0\) (ii)\(\;2{x^2}-3x-2 < 0\)

Λύση

😉😊

Λύση

Ζητάμε τις τιμές του \(x\), για τις οποίες το τριώνυμο \(2{x^2}-3x-2\) είναι θετικό στην περίπτωση (i) και αρνητικό στην περίπτωση (ii).

Παρά το γεγονός ότι πρόκειται για ανισότητες, πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε πού το τριώνυμο \(2{x^2}-3x-2\) είναι μηδέν.

Βήμα 1. Βρίσκουμε την \(\Delta \) και τις ρίζες του \(2{x^2}-3x-2\) , δηλ. τις λύσεις της αντίστοιχης εξίσωσης \(2{x^2}-3x-2=0\)

\(\Delta ={\left( {-3} \right)^2}-4\left( 2 \right)\left( {-2} \right)=25\)

\({x_{1,2}}=\dfrac{{3 \pm 5}}{{2\left( 2 \right)}}=\begin{array}{*{20}{c}} \diagup \\ \diagdown\end{array}\;\;\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{-2}}{4}=-\dfrac{1}{2}}\\{\;\dfrac{8}{4}=2\;\;\;\;\;}\end{array}\)

Βήμα 2. Φτιάχνουμε τον πίνακα ❶ για το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου , αφού \(\Delta > 0\) και \(\alpha =2\)

Παίρνουμε και «σημεία δοκιμής» από κάθε περιοχή πχ. \(x=-2\) , \(0\), \(3\) και τα δοκιμάζουμε στο τριώνυμο για να ελέγξουμε το πρόσημο.

Πράγματι:

● για \(x=-2\) είναι

\(2{x^2}-3x-2=2{\left( {-2} \right)^2}-3\left( {-2} \right)-2=12 > 0\)

● για \(x=0\) είναι

\(2{x^2}-3x-2=2{\left( 0 \right)^2}-3\left( 0 \right)-2=-2 < 0\)

● για \(x=3\) είναι

\(2{x^2}-3x-2=2{\left( 3 \right)^2}-3\left( 3 \right)-2=7 > 0\)

Βήμα 3. Επιλέγουμε από τον πίνακα τις τιμές του \(x\) (τα κατάλληλα διαστήματα για το \(x\))

(i) Η ανίσωση \(2{x^2}-3x-2 > 0\) έχει λύσεις τα \(x \in \mathbb{R}\) για τα οποία ισχύει

\(x < -\frac{1}{2}{\rm{\;\;\;}}\) ή \(x > 2 \Leftrightarrow x \in \left( {-\infty ,-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {2,+\infty } \right)\)

Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Γραφική λύση:

(ii) Η ανίσωση \(2{x^2}-3x-2 < 0\) έχει λύσεις τα \(x \in \mathbb{R}\) για τα οποία ισχύει

\(-\dfrac{1}{2} < x < 2 \Leftrightarrow x \in \left( {-\dfrac{1}{2},\;2} \right)\)

Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Γραφική λύση:

∎

Παράδειγμα 2. Να λυθεί η ανίσωση \({x^2}+10x < -3x\)

Λύση

😉😊

Λύση

Βήμα 0. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να βάλουμε το μηδέν στη μία πλευρά της ανισότητας.

\({x^2}+3x-10 < 0\)

Παρά το γεγονός ότι πρόκειται για ανισότητα, πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε πού το τριώνυμο \({x^2}+3x-10\) είναι μηδέν.

Βήμα 1. Βρίσκουμε την \(\Delta \) και τις ρίζες(αν έχει) του \({x^2}+3x-10\) , δηλ. τις λύσεις της αντίστοιχης εξίσωσης \({x^2}+3x-10=0\)

\(\Delta ={\left( 3 \right)^2}-4\left( 1 \right)\left( {-10} \right)=49\)

\({x_{1,2}}=\dfrac{{-3 \pm 7}}{2}=\begin{array}{*{20}{c}} \diagup \\ \diagdown \end{array}\;\;\;\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{-10}}{2}=-5}\\{\dfrac{4}{2}=2{\rm{\;\;\;\;\;\;\;}}}\end{array}\)

Βήμα 2. Φτιάχνουμε τον πίνακα για το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου \({x^2}+3x-10\) , ανάλογα με την \(\Delta \) που βρήκαμε, δηλ. τον ❶

Λοιπόν, σχεδιάζουμε μια αριθμητική γραμμή με πάνω της, τους αριθμούς όπου το τριώνυμο είναι μηδέν. Τοποθετούμε αναλόγως με τη θεωρία τα πρόσημα.

Παίρνουμε και «σημεία δοκιμής» από κάθε περιοχή πχ. \(x=-10\) , \(0\), \(3\) και τα δοκιμάζουμε στο τριώνυμο για να ελέγξουμε το πρόσημο.

Πράγματι:

● για \(x=-10\) είναι

\({x^2}+3x-10={\left( {-10} \right)^2}+3\left( {-10} \right)-10=60 > 0\)

● για \(x=0\) είναι

\({x^2}+3x-10={\left( 0 \right)^2}+3\left( 0 \right)-10=-10 < 0\)

● για \(x=3\) είναι

\({x^2}+3x-10={\left( 3 \right)^2}+3\left( 3 \right)-10=8 > 0\)

\({x^2}+3x-10 < 0\)

Το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε τώρα είναι να πάρουμε τη λύση από την αριθμητική γραμμή. Εδώ είναι οι λύσεις τόσο ως ανισότητα όσο και με συμβολισμό διαστήματος.

\(\begin{array}{*{20}{c}}{-5 < x < 2}\\{x \in \left( {-5,2} \right)}\end{array}\)

∎

Παράδειγμα 3. Να λυθεί η ανίσωση \(\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right) > 0\)

Λύση

😉😊

Λύση

\(\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right) > 0\)

Βήμα 1. Βρίσκουμε την \(\Delta \) και τις ρίζες(αν έχει)

\(\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)=0 \Leftrightarrow {x_1}=-1{\rm{\;\;\;}}{\rm{,\;\;\;\;\;}}{x_2}=3\)

επίσης είναι: \(\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)={x^2}-2x-3\) και \(\Delta > 0\)

Βήμα 2. Φτιάχνουμε τον πίνακα για το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου

Πράγματι:

● για \(x=-2\) είναι

\(\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)=\left( {-1} \right)\left( {-5} \right) > 0\)

● για \(x=0\) είναι

\(\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)=1\left( {-3} \right) < 0\)

● για \(x=4\) είναι

\(\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)=\left( 5 \right) \cdot 1 > 0\)

Βήμα 3. Επιλέγουμε από τον πίνακα τις τιμές του \(x\) (τα κατάλληλα διαστήματα για το \(x\))

\(\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow x < -1\) ή \(x > 3\)

\( \Leftrightarrow x \in \left( {-\infty ,-1} \right) \cup \left( {3,+\infty } \right)\)

∎

Παράδειγμα 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: (i)\(\;-3{x^2}+6x-3 \ge 0\) (ii)\({x^2}+4x+8 > 0\)

Λύση

😉😊

Λύση

(i) \(\Delta ={\left( 6 \right)^2}-4\left( {-3} \right)\left( {-3} \right)=36-36=0\)

\({x_0}=\dfrac{{-6 \pm 0}}{{2\left( {-3} \right)}}=1\)

Πίνακας ❷

Επομένως:

\(\;-3{x^2}+6x-3 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow x=-1\)

η λύση της ανίσωσης είναι μόνο το \(x=-1\)

(ii) \({x^2}+4x+8 > 0\)

\(\Delta ={\left( 4 \right)^2}-4\left( 1 \right)\left( 8 \right)=-16\)

Πίνακας ❸

Επομένως:

\({x^2}+4x+8 > 0\)

\( \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\)

Λύσεις όλα τα \(x \in \mathbb{R}\)

∎

Αν	Ρίζες τριωνύμου	Παραγοντοποίηση τριωνύμου
\(\Delta > 0\)	ρίζες άνισες \({x_1},{x_2}\)	\(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma =\alpha \left( {x-{x_1}} \right)\left( {x-{x_2}} \right)\)
\(\Delta =0\)	Διπλή ρίζα \({x_0}=\dfrac{{-\beta }}{{2\alpha }}\)	\(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma =\alpha {\left( {x-{x_0}} \right)^2}\)
\(\Delta < 0\)	δεν έχει ρίζες στο \(\mathbb{R}\)	δεν παραγοντοποιείται στο \(\mathbb{R}\)

		Η ανίσωση: \(\alpha {x^2} + \beta x + \gamma > 0\) έχει λύσεις:	Η ανίσωση: \(\alpha {x^2} + \beta x + \gamma < 0\) έχει λύσεις:
\(\alpha > 0\)	\(\Delta > 0\)	\(x \in \left( {-\infty ,{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2},\infty } \right)\)	\(x \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)\)
	\(\Delta =0\)	\(x \in \mathbb{R}-\left\{ {{x_0}} \right\}\)	Δεν έχει
	\(\Delta < 0\)	\(x \in \mathbb{R}\)	Δεν έχει
\(\alpha < 0\)	\(\Delta > 0\)	\(x \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)\)	\(x \in \left( {-\infty ,{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2},\infty } \right)\)
	\(\Delta =0\)	Δεν έχει	\(x \in \mathbb{R}-\left\{ {{x_0}} \right\}\)
	\(\Delta < 0\)	Δεν έχει	\(x \in \mathbb{R}\)

	Αν θέλουμε	από	Απαιτούμε
I	\(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma > 0\) για όλα τα \(x \in \mathbb{R}\) (δηλαδή το τριώνυμο να διατηρεί θετικό πρόσημο)	❸	\(\Delta < 0\) (ώστε το πρόσημο να διατηρείται) και \(\alpha > 0\) (για να είναι θετικό)
II	\(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma < 0\) για όλα τα \(x \in \mathbb{R}\) (δηλαδή το τριώνυμο να διατηρεί αρνητικό πρόσημο)	❸	\(\Delta < 0\) (ώστε το πρόσημο να διατηρείται) και \(\alpha < 0\) (για είναι αρνητικό)
III	\(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma \ge 0\) για όλα τα \(x \in \mathbb{R}\)	❷❸	\(\Delta \le 0\) και \(\alpha > 0\)
IV	\(\alpha {x^2}+\beta x+\gamma \le 0\) για όλα τα \(x \in \mathbb{R}\)	❷❸	\(\Delta \le 0\) και \(\alpha < 0\)