F - k.x - b.u  =  m.a   <=>  
 Fo.ημωt  -  k.x  -  b.dx/dt  =  m.dx/dt    <=>  
  m.dx/dt  +  k.x  +  b.dx/dt  =  Fo.ημωt    <=>  
  dx/dt   +  b/m . dx/dt  +  k/m . x  =  Fo/m . ημωt    (1)  

το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης : 
         ρ  +  b/m . ρ +  k/m   =  0 
η διακρίνουσα :   Δ =  (b/m)  - 4 . k/m   =  4 . [ (b/2m)  -  k/m ]

Δ > 0      οι ρίζες :   ρ1,2 =   - b/2m  ±  [ (b/m)  - 4 . k/m ] / 2  =  
                                         =   - b/2m  ±  [ (b/2m)  -  k/m ]   
οι λύσεις της   (1)  είναι :  
x(t)  =  c1 . exp (ρ1.t)  +  c2 . exp (ρ2.t)   =
 =  exp(- b/2m . t) . [ c1 . exp([(b/2m) - k/m].t)  +  c2 . exp(-[(b/2m) - k/m].t) ]
 =  exp(- b/2m . t) . [ A1 . ημω.t  +  Α2 . συνω.t ]  = 
 =  exp(- b/2m . t) . Ao . ημ(ω.t + φ)  =  Ao . exp(- b/2m . t) . ημ(ω.t + φ)  
  όπου    ω = [ (b/2m) - ωο ] ,   ωο =  k/m   
το σώμα ταλαντώνεται με κυκλική συχνότητα  ω  και 
το πλάτος ταλάντωσης είναι : Α(t) = Ao . exp(- b/2m . t)
εάν   b  >> 0   έχουμε πολύ μεγάλη απόσβεση

Δ = 0      διπλή ρίζα :   ρ1,2 =   - b/2m  
οι λύσεις της   (1)  είναι :       x(t)  =  c1 . exp (ρ1.t)  +  c2 .t. exp (ρ2.t)   =   
                                                          =  c1 . exp(- b/2m . t)  +  c2 .t. exp(- b/2m . t)  
έχουμε κρίσιμη απόσβεση

Δ < 0    η διακρίνουσα :   Δ =  (b/m)  - 4 . k/m   = - 4 . [ k/m - (b/2m) ]  
                                                                                   = i. 4 . [ k/m - (b/2m) ] 
              οι ρίζες :   ρ1,2 =   - b/2m  ±   i . [ k/m - (b/2m) ]   
οι λύσεις της   (1)  είναι :       x(t)  =  c1 . exp (ρ1.t)  +  c2 . exp (ρ2.t)   =
            =  exp(- b/2m . t) . [ c1 . exp( i.[k/m - (b/2m)].t )  + 
                              +  c2 . exp( -i.[k/m - (b/2m)].t ) ]
            =  exp(- b/2m . t) . [ A1 . ημω.t  +  Α2 . συνω.t ]  = 
            =  exp(- b/2m . t) . Ao . ημ(ω.t + φ)  =  Ao . exp(- b/2m . t) . ημ(ω.t + φ)  
  όπου    ω = [ ωο - (b/2m) ] ,   ωο =  k/m   
το σώμα ταλαντώνεται με κυκλική συχνότητα  ω  και 
το πλάτος ταλάντωσης είναι : Α(t) = Ao . exp(- b/2m . t)
εάν   b  --> 0   έχουμε πολύ μικρή απόσβεση

           dx/dt   +  b/m . dx/dt  +  k/m . x  =  F0/m . ημωt    (1)  
θεωρούμε λύση της (1)  την  x(t)  =  Ao . ημ(ω.t + φ) 
υ(t)  = dx/dt  =  Ao .ω. συν(ω.t + φ)    ,    α(t)  = dx/dt  = - Ao .ω. ημ(ω.t + φ) 
(1)  =>   dx/dt   +  b/m . dx/dt  +  k/m . x  =  Fo/m . ημωt     
- Aο.ω.ημ(ω.t + φ)  +  b/m.Aο.ω.συν(ω.t + φ)  +  k/m.Αο.ημ(ω.t + φ)  =  
                                                                                                    =   Fo/m . ημωt  
  Ao .( k/m - ω ). ημ(ω.t + φ) +  b/m .Ao .ω. συν(ω.t + φ)   = Fo/m . ημωt  
  Ao .( k/m - ω ). ( ημωt.συνφ + συνωt.ημφ )  +
                         +  b/m .Ao .ω. ( συνωt.συνφ - ημωt.ημφ )   = Fo/m . ημωt  
εξισώνοντας τα  ημωt   έχουμε :
  Ao .( k/m - ω ). συνφ   -   b/m .Ao .ω. ημφ   =  Fo/m   (2)
εξισώνοντας τα  συνωt   έχουμε :
  Ao .( k/m - ω). ημφ  +  b/m .Ao .ω.  συνφ  =  0   =>  εφφ = - ω.b / m.( k/m - ω) 

από  τις σχέσεις    εφθ = ημθ / συνθ     και      ημθ + συνθ = 1      έχουμε :  
        εφθ + 1 = 1 / συνθ         και          1/εφθ + 1 = 1 / ημθ  

εφθ + 1 = 1 / συνθ   =>        1 / συνθ   =    ω.b / m.( k/m - ω )   +   1 
                             συνθ   =   m.( k/m - ω )   /   [ ω.b + m.( k/m - ω ) ]
                             συνθ   =   m.( k/m - ω )   /   [ ω.b + m.( k/m - ω ) ]

1/εφθ + 1 = 1 / ημθ  =>       1 / ημθ  =   m.( k/m - ω ) / ω.b  +  1 
                            ημθ  =  [ m.( k/m - ω ) +  ω.b ]  /  ω.b
                            ημθ  =  [ m.( k/m - ω ) +  ω.b ]  /  ω.b

(2) =>    Ao .( k/m - ω ). συνφ   -   b/m .Ao .ω. ημφ   =  Fo/m   
 
     Ao .( k/m - ω ). m.( k/m - ω)  /  [ ω.b + m.( k/m - ω ) ]
          -  Ao . [ m.( k/m - ω ) +  ω.b ]  / m     =  Fo/m   

     Ao . m.( k/m - ω)   -  Ao . [ m.( k/m - ω ) +  ω.b ]   /   
                                     /   [ m.( k/m - ω ) +  ω.b ]  . m     =  Fo/m   

    { Ao . m.( k/m - ω)   -  Ao .  m.( k/m - ω ) + Ao .  ω.b }  /   
                                     /   [ m.( k/m - ω ) +  ω.b ]  . m     =  Fo/m   

      Ao .  ω.b   /   [ m.( k/m - ω ) +  ω.b ]      =  Fo   
 
 το πλάτος της ταλάντωσης :  Ao = Fo .[ m.( k/m - ω ) + ω.b ]  / ω.b    
  απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας :   x(t)  =  Ao . ημ(ω.t + φ)  

......................................................................................................................................................................

  dx/dt   +   k/m . x  =  Fo/m . ημωt    (1)  

το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης : 
         ρ  +   k/m   =  0                  ρ    =  -   k/m 
              οι ρίζες :   ρ1,2 =    ±  i . ( k/m )    
οι λύσεις της   (1)  είναι :     
    x(t)  =  c1 . exp (ρ1.t)  +  c2 . exp (ρ2.t)   =
            =    c1 . exp( i.(k/m).t )  +   c2 . exp( -i.(k/m).t )  = 
            =    A1 . ημωο.t  +  Α2 . συνωο.t   = 
            =   Ao . ημ(ωο.t + φ)   
  όπου    ωο =  k/m   
το σώμα ταλαντώνεται με κυκλική συχνότητα  ω  και 
το πλάτος ταλάντωσης είναι :  Ao 

           dx/dt   +  k/m . x  =  F0/m . ημωt    (3)  
θεωρούμε λύση της (3)  την  x(t)  =  Ao . ημ(ω.t + φ) 
υ(t)  = dx/dt  =  Ao .ω. συν(ω.t + φ) 
α(t)  = dx/dt  = - Ao .ω. ημ(ω.t + φ) 
(2)  =>   dx/dt   +  k/m . x  =  Fo/m . ημωt     
  - Ao.ω. ημ(ω.t + φ)   +   k/m.Ao. ημ(ω.t + φ)   =   Fo/m . ημωt  
  Ao .( k/m - ω ). ημ(ω.t + φ)   =   Fo/m . ημωt  
  Ao .( k/m - ω ). ( ημωt.συνφ + συνωt.ημφ )   =  Fo/m . ημωt  

εξισώνοντας τα  ημωt   έχουμε :        Ao .( k/m - ω ). συνφ      =  Fo/m   
εξισώνοντας τα  συνωt   έχουμε :      Ao .( k/m - ω). ημφ    =  0   =>  ημφ = 0  
                                                               φ = 0      ή      φ = π rad  
φ = 0    συνφ = 1   οπότε  Ao .( k/m - ω ). συνφ =  Fo/m   =>   
 πλάτος ταλάντωσης        Ao  =   Fo / m.( k/m - ω ) =   Fo / ( k - m.ω ) 
απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας :   x(t)  =  Ao . ημω.t