***************************** ΘΈΜΑ Γ

ΘΕΜΑ Γ
Το σώμα (1) μάζας m₁ =1Kg συνδέεται με το πάνω άκρο του ιδανικού, κατακόρυφου ,ελατηρίου (1) σταθερής k₁=100N/m , το κάτω άκρο του ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου (2) με k₂ =100N/m και είναι ακίνητο. Το πάνω άκρο του ελατηρίου (2) συνδέεται με το ακίνητο σώμα (2) μάζας m₂=2Kg , το οποίο συνδέεται με το κάτω άκρο του αβαρούς, μη ελαστικού, κατακόρυφου νήματος. Το πάνω άκρο του νήματος συνδέεται με το ταβάνι. Το ελατήριο (1) έχει το φυσικό του μήκος και συνδέεται με σώμα (3) μάζας m₃=2Κg το οποίο είναι ακίνητο στο δάπεδο.
Kατεβάζουμε το σώμα (1) κατά d και τα κρατάμε. Τη χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε. Θεωρούμε θετική φορά για τις αλγεβρικές τιμές προς τα κάτω και τα σώματα χωρίς διαστάσεις.
Α. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της απόστασης d για να εκτελεί το σώμα (1) ΑΑΤ και τα σώματα (2), (3) να παραμένουν ακίνητα (5μ)
Β. Αν η απόσταση d είναι η μέγιστη του ερωτήματος Α, να βρεθούν
Β1) Οι εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας των σώματος (1) σε συνάρτηση με το χρόνο. (4μ)
Β2) Η αλγεβρική τιμή της δύναμης η οποία ασκείται από το νήμα στο σώμα (2) και της κάθετης αντίδρασης στο σώμα (3) σε συνάρτηση με την απομάκρυνση και σε συνάρτηση
με το χρόνο. Να γίνουν οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. (6μ)
Β3) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος (1) όταν διέρχεται από τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου (2) , με φορά προς τα πάνω. (4μ)
Β4) Η απομάκρυνση του σώματος (1) για την οποία η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (1) ισούται με τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (2). Στη συνέχεια σε κοινούς άξονες U-x να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των δυναμικών ενεργειών των ελατηρίων σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. (6μ)

ισορροπία (1) : m₁ g = F_ελατ,₂ = k₂ Δl₂ => 10 = 100 Δl₂ => Δl₂ = 0,1 m το ελατήριο (2) είναι επιμηκυμένο στη Θ.Ι.

ισορροπία (2) : m₂ g + F_ελατ,₂ = Τ => m₂ g + m₁ g = Τ => Τ = 30 Ν

σώμα (1) : ΣF₍₁₎ = - k₁ x - k₂ (x + Δl₂) + m₁ g = - k₁ x - k₂ x - k₂ Δl₂ + m₁ g = - k₁ x - k₂ x = - (k₁ + k₂) x

D = k₁ + k₂ = 200 N/m ω = √(D/m₁) = 10√2 rad/s x = d ημ(ωt + π/2)

ακινησία σώματος (2) : m₂ g + F_ελατ,₂ = Τ => m₂ g - k₂ (x + Δl₂) = Τ ³ 0 => 20 - 100 ( x - 0,1 ) = Τ ³ 0 =>

ακινησία σώματος (3) : m₃ g + F_ελατ,₁ = N => m₂ g - k₁ x = N ³ 0 => 20 ³ 100 x => x £ 0,2 m

x(t) = 0,2 ημ(10√2t + π/2) v(t) = 2√2 συν(10√2t + π/2) α(t) = - 40 ημ(10√2t + π/2)

Τ = m₂ g - k₂ (x + Δl₂) => Τ = 20 - 100 (x + 0,1) => Τ(x) = 10 - 100 x ή Τ(t) = 10 - 20 ημ(10√2t + π/2)

Ν = m₂ g - k₁ x => Ν(x) = 20 - 100 x ή Ν(t) = 20 - 20 ημ(10√2t + π/2)

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή t = 0 από το σημείο Α οριζόντιου δαπέδου, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ = 0,1 με οριζόντια ταχύτητα υ₀. Το σώμα Σ₁ αφού διανύσει απόσταση s = 18 m συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλο σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 0,3 kg, το οποίο αρχικά ισορροπεί δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου αβαρούς νήματος μήκους l = 0,6 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο Ο. Το μέτρο της ταχύτητας του Σ₂ αμέσως μετά την κρούση είναι υ₂' = 6 m/s. Το σώμα Σ₁ μετά την κρούση επιστρέφει και σταματά στην αρχική θέση Α.

αλλιώς : ΣF² = T² + ( m₂ g )² => ΣF = √ (12² + 3²) = √ (144 + 9) = √ (9 ^.16 + 9) = 3√17 Ν

Θέμα 2.

Από την κορυφή λείου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R = 1,8 m αφήνεται σώμα Σ₁ μάζας m₁ Όταν φθάσει στη βάση του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 1kg το οποίο ισορροπεί δεμένο στο άκρο αβαρούς νήματος μήκους l = 1,8 m όπως στο σχήμα. Μετά την κρούση το Σ₁ κινείται με ταχύτητα μέτρου v₁' = 2 m/s ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα που είχε πριν την κρούση με το Σ₂. Να υπολογίσετε :

Γ1. τη μάζα του σώματος Σ₁

Γ2. το ποσοστό της αρχικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του σώματος Σ₁ που μεταβιβάζεται στο σώμα Σ₂ κατά την κρούση

Γ3. το συντελεστή τριβής ολισθήσεως μεταξύ του σώματος Σ₁ και του οριζοντίου επιπέδου αν αυτό σταματά αφού διανύσει απόσταση 0,4 m.

Γ4. Εξετάστε αν το Σ₂ κάνει ανακύκλωση και υπολογίστε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του τη στιγμή που το νήμα γίνεται οριζόντιο ανεβαίνοντας.

Γ1. διατήρηση ενέργειας : m₁g R = ½ m₁ v₁² => 10 1,8 = 0,5 v₁² => v₁² = 36 => v₁ = 6 m/s

οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την ελαστική κρούση είναι :

v₁' = v₁ (m₁ - m₂)/(m₁ + m₂) => 2 = 6.(m₁ - 1)/(m₁ +1) => m₁ +1 = 3.m₁ - 3 => m₁ = 2 kg

v₂' = v₁ 2.m₁ /( m₁ + m₂ ) = 6 2 2 / 3 => v₂' = 8 m/s

Γ2. U_αρχ = Κ₁ = ½ m₁ v₁² = 0,5 2 6² = 36 J

K₂' = ½ m₂ (v₂')² = ½ 1 8² = 32 J πσοστό : Π %= 32 / 36 ^.100% = 800/9 %

Γ3. ½ m₁ (v₁')² = μ m₁ g x => ½ 2² = μ 10 0,4 => μ = 0,5

Γ4. έστω ότι το Σ₂ περνά από την ανώτερη θέση με ταχύτητα v₂''

½ m₂ (v₂')² = ½ m₂ (v₂'')² + m₂ g 2.l => 8² = (v₂'')² + 2 10 3,6 =>

=> (v₂'')² = 64 - 72 < 0 το σώμα Σ₂ δεν θα κάνει ανακύκλωση

όταν το νήμα γίνει οριζόντιο έστω το Σ₂ έχει ταχύτητα υ

½ m₂ (v₂')² = ½ m₂ v² + m₂ g l => 8² = v² + 2 10 1,8 => v² = 28

η τάση του νήματος είναι : T = m₂ v²/ l = 1^. 28 / 1,8 = 140/9 N

ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι : dp/dt = ΣF = [ T² + w₂² ]^½ = [ (140/9)² + 10² ]^½ =

= [ 19600 + 8100 ]^½ / 9 = √27700 /9 = √277 10/9 Ν @ 18,5 Ν

εφθ = w₂ / Τ = 10 / (140/9) = 9/14

Θέμα 3.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ αφήνεται, τη χρονική στιγμή t = 0, να πέσει από ύψος h = 3,2 m πάνω από σώμα Σ₂ μάζας m₂ που ισορροπεί στο άνω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k όπως στο σχήμα. Στο κάτω άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σώμα Σ₃ μάζας m₃. Το σώμα Σ₁ συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με το σώμα Σ₂.

(α) Βρείτε σχέση του ύψους h από το οποίο αφέθηκε το σώμα Σ₁, με το ύψος h' στο οποίο σταματά στιγμιαία μετά την κρούση με το σώμα Σ₂.

(β) Πόση είναι η μεταβολή μήκους του ελατηρίου εκείνη τη χρονική στιγμή;

(γ) Εκφράστε την δύναμη Ν που ασκείται στο σώμα Σ₃ από το οριζόντιο επίπεδο συναρτήσει του χρόνου. To σώμα Σ₃ χάνει την επαφή του με το επίπεδο;

m₁ = 1 kg, m₂ = 3 kg, m₃ = 9 kg, h = 3,2 m, k= 300 N/m, ημ4 = -0,757

(α) ελεύθερη πτώση Σ₁ : h = ½ g t² => t² = 2.h/g = 2.3,2/10 = 0,64 => t = 0,8 s

v₁ = g.t = 10 . 0,8 => v₁ = 8 m/s h = v₁²/2g

οι ταχύτητες των Σ₁ και Σ₂ μετά την ελαστική κρούση είναι :

v₁' = v₁ (m₁ - m₂)/(m₁ + m₂) => v₁' = 8 (1 - 3)/(1 + 3) => v₁' = - 4 m/s

v₂' = 2 v₁ m₁ /(m₁ + m₂) => v₂' = 2 8 1 / 4 => v₂' = +4 m/s

το Σ₁ κινείται κατακόρυφα προς τα επάνω και φθάνει σε ύψος h'

½ m₁ (v₁')² = m₁ g h' => h' = (v₁')² / 2g => h' = (-4)² / 2.10 => h' = 0,8 m

h / h' = ( v₁²/2g ) / ( (v₁')² / 2g ) => h / h' = ( v₁ / v₁' )² = [ (m₁ + m₂) / (m₁ - m₂) ]²

h' = v₁' t' - ½ g t'² => 0,8 = 4 t' - ½ 10 t'² => 5 t'² - 4 t' + 0,8 = 0 Δ = 16 - 16 = 0

t' = - β/2α = 4 / 10 => t' = 0,4 s

σε χρόνο t' = 0,4 s το Σ₁ ανεβαίνει σε ύψος h' = 0,8 m μετά την κρούση με το Σ₁

ισορροπία του Σ₂ : m₂ g = k Δl => Δl = m₂ g / k Δl = 3 10 / 300 => Δl = 0,1 m συσπείρωση ελατηρίου (+)

το Σ₂ μετά την κρούση έχει ταχύτητα v₂' = +4 m/s και ξεκινά Α.Α.Τ. από τη θέση ισορροπίας της

το πλάτος της ταλάντωσης του είναι :

διατήρηση ενέργειας : ½ m₂ (v₂')² = ½ k A² => A² = (v₂')² m₂ / k = 4² 3/300 = 0,16 => Α = 0,4 m

ω² = k / m₂ = 300 / 3 = 100 => ω = 10 rad/s Τ = 2π/10 = π/5 = 0,2.π s = 0,628 s > t' = 0,4 s

x(t) = A.ημ(ω.t + φ) => x(t) = 0,4.ημ(10.t) v(t) = 4.συν(10.t) v(0) = +4 m/s αρχική ταχύτητα

x(0,4) = 0,4.ημ(10.0,4) = 0,4 . (-0,757) => x(0,4) = - 0,3 m

το Σ₂ είναι σε απομάκρυση 0,3 m από τη Θ.Ι. του προς τα επάνω και επειδή η αρχική συσπείρωση του ελατηρίου είναι 0,1 m προς τα κάτω το ελατήριο θα έχει επιμήκυνση 0,2 m

F_{ελατηρίου} = - k (x + Δl) = - 300 (x + 0,1) = - 30 - 300 x = - 30 - 300 (- 0,3) = + 60 Ν = 300 N/m (+ 0,2 m)

υ(t) = 4.συν10.t α(t) = -40.ημ10.t F(t) = m₂ a(t) = -120.ημ10.t

ΣF₍₂₎ = m₂.a(t) => F_{ελατηρίου} + m₂.g = m₂.a(t) =>

=> F_{ελατηρίου} = - m₂.g + m₂.a(t) => F_{ελατηρίου} = - 30 - 120.ημ10.t

F_ελατ (π/20) = - 30 -120 = -150 Ν x = 0,5 m = 0,4 + 0,1 = A + Δl προς τα κάτω

F_ελατ (3.π/20) = - 30 +120 = +90 Ν x = 0,3 m = 0,4 - 0,1 = A - Δl προς τα πάνω

F'_{ελατηρίου} = - F_{ελατηρίου} = 30 + 300 x = 30 + 300 0,4.ημ(10.t) = 30 + 120.ημ(10.t)

ΣF₍₃₎ = 0 => F'_{ελατηρίου} + m₃.g - N = 0 => N = F'_{ελατηρίου} + m₃.g =>

=> N = 30 + 120.ημ10.t + 9.10 => N(t) = 120 + 120.ημ10.t

επειδή - 1 £ ημ10.t £ +1 => - 120 £ 120 ημ10.t £ +120 =>

=> 120 - 120 £ 120 + 120 ημ10.t £ 120 + 120 => 0 £ N(t) £ 240 Ν

N(3T/4) = 120 + 120.ημ(2π/Τ.3T/4) = 120 + 120.ημ(π.3/2) = 120 - 120 = 0

τη χρονική στιγμή t = 3T/4 = 3/4 π/5 s = 3π/20 s η δύναμη αντίδραση Ν από το οριζόντιο επίπεδο μηδενίζεται

Θέμα 4.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 0,5 kg ισορροπεί ακίνητο δεμένο στο ένα άκρο αβαρούς μη εκτατού νήματος μήκους l = 0,5 m το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο. Σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 0,1 kg βρίσκεται ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 80 N/m με το άλλο άκρο του ακλόνητα στερεωμένο στον τοίχο. Σφαίρα μάζας m = 0,1 kg εισέρχεται στο σώμα Σ₁ με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ = 100 m/s και εξέρχεται από αυτό με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ/2. Στη συνέχεια η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το σώμα Σ₂. Αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά D = k.

Γ1. Υπολογίστε το ποσοστό % απώλειας ενέργειας λόγω της κρούσης της σφαίρας με το σώμα Σ₁.

Γ2. Εξετάστε αν το σώμα Σ₁ κάνει ανακύκλωση. Αν ναι, πόση είναι η τάση νήματος τη στιγμή που διέρχεται από την ανώτατη θέση;

Γ3. Υπολογίστε το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη στιγμή της πλαστικής κρούσης μέχρι τη στιγμή όπου η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης.

Θεωρούμε αμελητέες τις αντιστάσεις του αέρα, αμελητέα τη διάρκεια των κρούσεων, αμελητέες τις διαστάσεις των σωμάτων, το συσσωμάτωμα και το σώμα Σ₁ δεν συγκρούονται. g = 10 m/s²

Γ1. m v = m v / 2 + m₁ v₁ => 0,1 100 = 0,1 50 + 0,5 v₁ => v₁ = 10 m/s

K_αρχ = ½ m v² = ½ 0,1 100² = 500 J

K_τελ = ½ m (v/2)² + ½ m₁ v₁² = ½ 0,1 50² + ½ 0,5 10² = 125 J + 25 J = 150 J

ΔK / K_αρχ = ( K_τελ - K_αρχ ) / K_αρχ = ( 150 - 500 ) / 500 = - 350 / 500 = - 0,7 -70%

Γ2. ½ m₁ v₁² = m₁ g h => h = v₁² / 2.g = 10² / 2.10 = 5 m > 0,5 m = l άρα το σώμα Σ₁ θα κάνει ανακύκλωση

½ m₁ v₁² = m₁ g 2.l + ½ m₁ (v₁')² => v₁² = 2 g 2.l + (v₁')² => 100 - 2.10.2.0,5 = (v₁')² => (v₁')² = 80 στην ανώτατη θέση

ΣF = F_κ => Τ + m₁ g = m₁ (v₁')² / l => Τ = 0,5 80 / 0,5 - 0,5 10 => Τ = 75 Ν

Γ3. m v/2 = ( m + m₂ ) v₂ => 0,1 50 = 0,2 v₂ => v₂ = 25 m/s κοινή ταχύτητα σφαίρας - Σ₂

ω² = k / ( m + m₂ ) = 80 / 0,2 = 400 => ω = 20 rad/s Τ = 2π/ω = π/10 s

υ₂ = ω Α => Α = 25 / 20 => A = 1,25 m πλάτος ταλάντωσης

x(t) = 5/4 ημ20.t v(t) = 25 συν20.t α(t) = - 500 ημ20.t

ΣF(t) = 0,2 (- 500 ημ20.t ) => ΣF(t) = - 100 ημ20.t

K = 3 U => U = E / 4 => x = ± Α/2 = ± 5/8 m

E = ½ k A² = ½ 80 (5/4)² = 40 25 / 16 = 125/2 J U = E / 4 = 125/8 J

αρχικά U_αρχ = 0 τελικά U_τελ = 125/8 J άρα W_F = U_αρχ - U_τελ = - 125/8 J

x(t) = 5/4 ημ20.t = 5/8 => ημ20.t = 0,5 = ημ(π/6) => 20.t = 2.Ν.π + π/6 Ν = 0 t = π/120 s

ισχύς δύναμης P = F v = - 100 ημ20.t 25 συν20.t => P(t) = - 2500 ημ20.t συν20.t = - 1250 ημ40.t

έργο δύναμης W_F = ₀S^π/120 { - 1250 ημ40.t } = 1250 / 40 { συν(40. π/120) - συν0 } =

= 125/4 { συν(π/3) - συν0 } = 125/4 ( 0,5 - 1 ) = - 125/8 J

Θέμα 5.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 1,5 kg ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι ύψους h = 0,6 m στερεωμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 150 N/m. Το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος l₀ και το άλλο άκρο του είναι συνδεδεμένο σταθερά σε ακλόνητο τοίχο. Συμπιέζουμε το ελατήριο κατά d = 0,6 m και τη στιγμή t₀ = 0 αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ₁ να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά D = k και περίοδο Τ. Τη στιγμή t₁ = Τ/12 το σώμα Σ₁ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 0,5 kg η οποία κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα μέτρου v₂ = 3 m/s. Αμέσως μετά την κρούση τα δύο σώματα κινούνται προς αντίθετη κατεύθυνση. Το σώμα Σ₂ κινείται πάνω στο τραπέζι μέχρι να χάσει την επαφή του με αυτό, εκτελεί οριζόντια βολή και συγκρούεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Αμέσως μετά την κρούση με το δάπεδο το διάνυσμα της ταχύτητας της σχηματίζει γωνία 60° με τον κατακόρυφο άξονα.

Γ1. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ₁ από τη θέση ισορροπίας συναρτήσει του χρόνου για το διάστημα [ 0 , t₁ ). Θεωρούμε θετική φορά από το Α προς το Β.

Γ2. Υπολογίστε τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση.

Γ3. Βρείτε το ποσοστό % της μεταβολής της ενέργειας της ταλάντωσης του σώματος Σ₁ λόγω της κρούσης με το σώμα Σ₂

Γ4. Εξετάστε αν η κρούση του σώματος Σ₂ με το οριζόντιο δάπεδο είναι ελαστική.

Θεωρούμε αμελητέες : τις διαστάσεις των σωμάτων, την χρονική διάρκεια των κρούσεων, τις αντιστάσεις του αέρα.

Γ1. ω² = k / m₁ = 150 / 1,5 = 100 => ω = 10 rad/s T = 2π / 10 = π/5 s

½ k d² = ½ m₁ v₁² => 150 0,6² = 1,5 v₁² => v₁ = 6 m/s αρχική ταχύτητα

x(t) = 0,6 ημ(10.t + 3π/2) διότι x(0) = - 0,6 m = 0,6 ημ(3π/2) και υ(0) = 0

υ(t) = 6 συν(10.t + 3π/2) α(t) = - 60 ημ(10.t + 3π/2)

F(t) = m₁ a = - 90 ημ(10.t + 3π/2) = F_ελατ(t) = - k x(t) F(0) = 90 Ν = F_ελατ(0)

t₁ = Τ/12 = π/60 s υ(π/60) = 6 συν(10. π/60 + 3π/2) = 6 συν(π/6 + 3π/2) = 6 ½ => v₁ = +3m/s ταχύτητα του σώματος Σ₁ πριν την κρούση

x(π/60) = 0,6 ημ(10. π/60 + 3π/2) = 0,6 ημ(π/6 + 3π/2) = 0,6 (-√3/2) = - 0,3√3 m

Γ2.

ελαστική κεντρική κρούση : v₁' = v₁ (m₁ - m₂) / (m₁ + m₂) + 2m₂ v₂ / (m₁ + m₂) =

= 3 (1,5 - 0,5) / (1,5 + 0,5) + 2 0,5 (-3) / (1,5 + 0,5) = 1,5 - 1,5 = 0 => v₁' = 0

v₂' = v₂ (m₂ - m₁) / (m₁ + m₂) + 2 m₁ v₁ / (m₁ + m₂) =

= - 3 (0,5 - 1,5) / (1,5 + 0,5) + 2 1,5 3 / (1,5 + 0,5) = 1,5 + 4,5 = 6 m/s => v₂' = + 6 m/s

Γ3. Ε_πριν = ½ k d² = ½ 150 0,6² = 27 J

Ε_μετά = ½ k x(π/60) ² = ½ 150 0,09 3 = 20,25 J

ΔΕ = Ε_μετά - Ε_πριν = 20,25 - 27 = - 6,75 J ΔΕ / Ε_πριν = - 6,75 / 27 = 0,25 - 25 %

Γ4.

οριζόντια βολή Σ₂ : h = ½ g t² => 0,6 = ½ 10 t² => t² = 0,12

v_y² = g² t² = 100 0,12 => v_y² = 12 => v_y = 2√3 m/s

v² = v₂'² + v_y² = 36 + 12 = 48 => v = 4√3 m/s εφθ = v_y / v₂' = 2√3 / 6 = √3 /3 = εφ30° η γωνία που σχηματίζει η ταχύτητα με το οριζόντιο δάπεδο είναι 30° άρα με την κατακόρυφο 60° γωνία προσπτώσεως = γωνία ανακλάσεως συνεπώς η κρούση του Σ₂ με το δάπεδο είναι ελαστική

Θέμα 6.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 1 kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30°. Το σώμα είναι δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, το άλλο άκρο του είναι συνδεδεμένο σταθερά στη βάση του κεκλιμένου επίπεδου. Δεύτερο σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 1 kg ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο με τη βοήθεια νήματος σε ύψος h πάνω από το Σ₁. Μετακινούμε το σώμα Σ₁ στη διεύθυνση του ελατηρίου προς τα πάνω κατά d = 11π/40 m και τη στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο ενώ την ίδια στιγμή κόβεται το νήμα. Το σώμα Σ₁ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k και το σώμα Σ₂ αρχίζει να κινείται πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο προς τη βάση του. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά - πλαστικά όταν το Σ₁ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για δεύτερη φορά μετά τη στιγμή t = 0.

Γ1. Βρείτε τη χρονική στιγή πρόσκρουσης των δύο σωμάτων και το ύψος h.

Γ2. Υπολογίστε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων λόγω της κρούσεως.

Γ3. Εκφράστε τη δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο συσσωμάτωμα συναρτήσει του χρόνου.

Γ4. Εκφράστε τη δύναμη ελατηρίου που ασκείται στο συσσωμάτωμα συναρτήσει του χρόνου.

Θετική φορά από το Α προς το Β.

Γ1. ω² = k / m₁ = 100 / 1 => ω = 10 rad/s T = 2π / ω = 2π / 10 => T = π/5 s

ισορροπία Σ₁ : m₁ g ημ30° = k x₁ => x₁ = 1 10 0,5 / 100 = 5 cm => x₁ = 0,05 m συσπείρωση

x(t) = 11π/40 ημ(10.t + π/2) v(t) = 11π/4 συν(10.t + π/2) α(t) = - 55π/2 ημ(10.t + π/2)

το Σ₁ διέρχεται από τη Θ.Ι. του για δεύτερη φορά μετά από χρόνο t = 3.T/4 = 3π / 20 s

και έχει ταχύτητα : v(3π/20) = 11π/4 συν(10. 3π/20 + π/2) = + 11π/4 m/s = v₁

το Σ₂ σε χρόνο t = 3.T/4 = 3π / 20 s διανύει διάστημα : x₂ = ½ g.ημ30° t² = ½ 10 ½ (3π / 20)² = 5/2 . 90/400 = 9/16 = 0,5625 m και έχει ταχύτητα με μέτρο : v₂ = g.ημ30° t = 10 ½ 3π / 20 = 3π/4 m/s

οπότε h = x₂ ημ30° = 9/32 m = 0,28125 m

Γ2.

m₁ v₁ - m₂ v₂ = (m₁ + m₂) v' => 2 v' = 1 11π/4 - 1 3π/4 => υ' = + π m/s

ΔΚ = ½ (m₁ + m₂) v'² - ½ m₁ v₁² - ½ m₂ v₂² = ½ 2 π² - ½ 1 (11π/4)² - ½ 1 (3π/4)² =

= π² - ½ 121.π² / 16 - ½ 9.π² / 16 = (32 - 121 - 9) / 32 . π² => ΔΚ = - 49π²/16 Joule

Γ3.

ισορροπία Σ_1,2 : (m₁ + m₂) g ημ30° = k x_1,2 => x_1,2 = 2 10 0,5 / 100 = 10 cm => x_1,2 = 0,1 m συσπείρωση

τη στιγμή της κρούσης το Σ₁ βρίσκεται στη Θ.Ι. του δηλαδή το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά x₁ = 0,05 m ενώ το συσσωμάτωμα που δημιουργείται έχει ταχύτητα + π m/s και απέχει x_1,2 - x₁ = 0,1 - 0,05 = 0,05 m από τη Θ.Ι. του προς τα θετικά (προς τα επάνω)

ω' ² = k / m_1,2 = 100 / 2 => ω' = 5√2 rad/s T = 2π / ω = 2π / (5√2 )=> T = π√2/5 s

διατήρηση ενέργειας για την ταλάντωση του συσσωματώματος : ½ 100 0,05² + ½ 2 π² = ½ 100 A² =>

=> 100 0,0025 + 2 10 = 100 A² => 0,25 + 20 = 100 A² => A = √0,2025 = 0,45 m

x(t) = 0,45 ημ(5√2 t + θ) αρχικά : x(0) = +0,05 m => 0,45 ημθ = +0,05 => ημθ = 1/9

συν²θ = 1 - ημ²θ = 1 - (1/9)² = 80/81 => συνθ = +√80/9 διότι υ(0) > 0

υ(t) = 0,45 5√2 συν(5√2 t + θ)

υ(0) = 0,45 5√2 συνθ = 0,45 5√2 ( +√80/9 ) = + 0,45 5 √160 / 9 = + 0,45/9 5 √16 √10 =

= + 0,05 5 4 π = + π m/s = υ(0)

α(t) = - 0,45^.50 ημ(5√2 t + θ)

F(t) = m_1,2 a = - 2 0,45^.50 ημ(5√2 t + θ) = - 45 ημ(5√2 t + θ) = - 100 x(t) = - k x(t)

Γ4.

ΣF(t) = m_1,2 a => F_ελατ - m_1,2 g ημ30° = - 45 ημ(5√2 t + θ) =>

F_ελατ(t) = 10 - 45 ημ(5√2 t + θ) = 10 - 100 x(t)

F_ελατ(0) = 10 - 45 1/9 = 10 - 5 = 5 N = 100 N/m 0,05 m = 100 N/m ( 0,1 - 0,05 ) m = - k ( x₁ - x_1,2 )

F_ελατ(x) = 10 - 100 x - 0,45 m £ x £ + 0,45 m

Θέμα 7.

Το σώμα Σ μάζας m₁ = 2 kg ισορροπεί στο άκρο ελατηρίου επάνω στο κεκλιμένο επίπεδο (θ = 30°). Το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δl = 0,05 m. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα κάτω επί του κεκλιμένου επιπέδου κατά 0,1 m και το αφήνουμε ελέυθερο να εκτελέσει Α.Α.Τ. Όταν φθάνει στην ανώτερη θέση ταλάντωσης συσσωματώνεται με κινούμενο σώμα μάζας m₂ = 4 kg που κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα υ₀ = √3 m/s. Θετική φορά προς τα δεξιά.

α) Βρείτε την εξίσωση της δύναμης του ελατηρίου συναρτήσει του χρόνου για την Α.Α.Τ. του σώματος Σ₁ πριν την κρούση.

β) Βρείτε την απώλεια ενέργειας κατά την κρούση των σωμάτων και την μεταβολή της ορμής για κάθε σώμα κατά την κρούση.

γ) Βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος. Εκφράστε τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του συσσωματώματος συναρτήσει του χρόνου ( dv/dt = a )

α) ισορροπία Σ₁ : m₁ g ημ30° = k Δl => 2 10 ½ = k 0,05 => k = 10 / 0,05 = 200 N/m

k = m₁ ω² => 200 = 2 ω² => ω = 10 rad/s T = 2π/ω = π/5 s f = 1/T = 5/π Hz

x(t) = 0,1 ημ(10t + 3π/2) υ(t) = 1 συν(10t + 3π/2) α(t) = - 10 ημ(10t + 3π/2)

ΣF = m₁ a = - 20 ημ(10t + 3π/2) F_ελατ(x) = - k ( x + Δl ) = - 200 ( x - 0,05 ) = 10 - 200 x

άλλος τρόπος :

ΣF = m₁ a => - m₁ g ημ30° + F_ελατ = m₁ a => F_ελατ = m₁ g ημ30° + m₁ a =>

=> F_ελατ = 2 10 ½ - 20 ημ(10t + 3π/2) => F_ελατ(t) = 10 - 20 ημ(10t + 3π/2)

β) ισορροπία συσσωματώματος : (m₁ + m₂) g ημ30° = k Δχ => 6 10 ½ = 200 Δχ => Δχ = 0,15 m

η θέση ισορροπίας του συσσωμαώματος συμπίπτει με την κάτω ακραία θέση ταλαντώσεως του Σ₁

k = (m₁ + m₂) (ω')² => 200 = 6 (ω')² => ω' = 10 / √3 rad/s T = 2π/ω' = π√3/5 s f = 1/T = 5/π√3 Hz

διατήρηση ορμής για την πλαστική κρούση:

m₁ 0 + m₂ v₀ συν30 = (m₁ + m₂) u => 4 √3 √3/2 = 6 u => u = + 1 m/s

Q_{κρούσεως} = Κ_τελ - Κ_αρχ = ½ (m₁ + m₂) u² - ½ m₂ v₀² = ½ 6 1² - ½ 4√3² = 3 - 6 = - 3 Joule

μεταβολή της ορμής για το Σ₁ : Δp₁ = m₁ u - m₁ 0 = 2 kg 1 m/s => Δp₁ = + 2 kg m/s

μεταβολή της ορμής για το Σ₂ : Δp₂ = m₂ u - m₂ v₀ συν30 = 4 kg 1 m/s - 4 kg √3 √3/2 m/s =>

Δp₂ = - 2 kg m/s

το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση έχει ταχύτητα που έχει μέτρο 1 m/s επί του κεκλιμένου επιπέδου προς τα επάνω (θετικά) ενώ βρίσκεται σε θετική απομάκρυνση x = 0,2 m από την νέα θέση ισορροπίας (του συσσωματώματος) οπότε το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος είναι : ½ k x² + ½ (m₁ + m₂) u² = ½ k A² =>

=> 200 0,2² + 6 1 = 200 A² => 8 + 6 = 200 A² => A² = 0,07 => A = 0,1√7 m

x(t) = 0,1√7 ημ(10/ √3 t + θ) υ(t) = √(7/3) συν(10/ √3 t + θ) α(t) = - 10√7 ημ(10/ √3 t + θ)

x(0) = 0,2 => 0,1√7 ημθ = +0,2 => ημθ = + 2 / √7 συνθ = ± √ ( 1 - 4/7 ) = ± √(3/7)

υ(0) = +1 m/s => √(7/3) συνθ = +1 => συνθ = + √(3/7)

Θέμα 8. οεφε 2006 κρούση - Α.Α.Τ.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 3 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα f = 5/π Ηz πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η απόσταση των ακραίων θέσεων της τροχιάς του είναι 0,2 m. Δεύτερο σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 1 kg που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ = 2√3 m/s συγκρούεται μετωπικά - ελαστικά με το σώμα Σ₁ τη στιγμή που αυτό βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του.

(α) Να βρεθούν οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση.

(β) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος Σ₁ από τη θέση ισορροπίας του συναρτήσει του χρόνου για την ταλάντωση που ξεκινά αμέσως μετά την κρούση.

Να θεωρήσετε ως χρονική στιγμή μηδέν τη στιγμή της κρούσης και ως θετική κατεύθυνση κινήσεως οριζόντια προς τα δεξιά.

T = 1/f = π/5 s , ω = 2πf = 2π 5/π = 10 rad/s , D = m₁ ω² = 3 100 = 300 N/m

2 A = 0,2 m => A = 0,1 m άρα x(t) = 0,1 ημ10t

το Σ₁ βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση x = +A = +0,1 m άρα υ₁ = 0

v₁' = 2 m₂ v₂ / (m₁ + m₂) = 2 1 (- 2√3 ) / ( 3 + 1 ) = - √3 m/s

v₂' = v₂ (m₂ - m₁)/(m₁ + m₂) = - 2√3 (1 - 3)/(3 + 1) = + √3 m/s

το Σ₁ μετά την κρούση βρίσκεται σε απομάκρυνση x = +0,1 m έχοντας ταχύτητα -√3 m/s

διατήρηση ενέργειας για την ταλάντωση :

½ D x² + ½ m₁ v² = ½ D A² => 300 0,1² + 3 3 = 300 A² => 3 + 9 = 300 A² => => 0,04 = A² => A = 0,2 m

x(t) = 0,2 ημ(10 t + φ) x(0) = 0,2 ημφ = + 0,1 => ημφ = + ½ = ημ(π/6) = ημ(5π/6) συν(π/6) = +√3/2 συν(5π/6) = -√3/2

υ(0) = 2 συνφ = 2 συν(π/6) = +√3 m/s απορρίπτεται 2 συν(5π/6) = -√3 m/s δεκτή λύση

x(t) = 0,2 ημ(10 t + 5π/6) υ(t) = 2 συν(10 t + 5π/6) α(t) = - 20 ημ(10 t + 5π/6)

F(t) = m₁ a = - 60 ημ(10 t + 5π/6)

Θέμα 9.

Η διάταξη είναι σε κατακόρυφο επίπεδο και όλα τα σώματα είναι σε κατάσταση ισορροπίας.

E = 20 V, r = 3 Ω, R_ΚΛ = 7 Ω, m_KΛ = 0,1 kg, l = 1 m, k = 50 N/m, m₁ = 0,5 kg, m₂ = 0,1 kg, h = 1,8 m

(α) Υπολογίστε τις δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα Σ₁ Σ₂ και στη ράβδο ΚΛ και την ένταση Β του ομογενούς μαγνητικού πεδίου.

Τη χρονική στιγμή t = 0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τα σώματα Σ₁ και Σ₂ οπότε το Σ₁ θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και το Σ₂ θα κάνει ελεύθερη πτώση.

(β) Βρείτε σχέση της δύναμης του ελατηρίου συναρτήσει του χρόνου.

Το Σ₂ συγκρούεται κεντρικά - ελαστικά με την ράβδο ΚΛ.

(γ) Μελετήστε την κίνηση της ράβδου μετά την κρούση.

ισορροπία Σ₂ : T = m₂ g = 0,1 kg 10 m/s² => T = 1 N

ισορροπία Σ₁ : T = k x₁ => 1 Ν = 50 Ν/m x₁ => x₁ = 0,02 m επιμήκυνση ελατηρίου

νόμος του Ohm για κλειστό κύκλωμα : Ε = i ( R + r ) => 20 V = i ( 7 Ω + 3 Ω ) => i = 2 A

η ράβδος ΚΛ διαρρέεται από ρεύμα και βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β συνεπώς δέχεται δύναμη Laplace αντίθετη του βάρους της : F_L = m g = 0,1 kg 10 m/s² => F_L = 1 N

F_L = B i l => B = 1 N / ( 2 A 1 m ) => B = 0,5 T

τη χρονική στιγμή t = 0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τα σώματα Σ₁ και Σ₂

το Σ₁ θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και το Σ₂ θα κάνει ελεύθερη πτώση

το Σ₁ θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση :

ω² = k/m₁ = 50 / 0,5 = 100 => ω = 10 rad/s T = 2π/ω = 2π/10 = π/5 s

x(t) = 0,02 ημ(10 t + 3π/2) υ(t) = 0,2 συν(10 t + 3π/2) α(t) = - 2 ημ(10 t + 3π/2)

F(t) = m₁ a(t) = - 0,5 2 ημ(10 t + 3π/2) => F(t) = - ημ(10 t + 3π/2) = - 50 x(t) = - kx = F_ελατ

x(0) = - 0,02 m v(0) = 0 a(0) = - 2 m/s² F_ελατ(0) = 1 N ημ(3π/2) = -1 συν(3π/2) = 0

το Σ₂ θα κάνει ελεύθερη πτώση : υ = g t h = ½ g t² v = √(2 g h) = √(2 10 1,8) = √36 = 6 m/s

η κρούση είναι κεντρική - ελαστική οι μάζες είναι ίσες άρα τα σώματα θα ανταλλάξουν ταχύτητες : το Σ₂ ακινητοποιήται στιγμιαία και η ράβδος αποκτά ταχύτητα : v = 6 m/s = v₀ με κατεύθυνση κατακόρυφη προς τα κάτω

θα χαλάσει η ισορροπία, θα τέμνει δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου, τα ηλεκτρόνιά της δεχόμενα δυνάμεις από την κίνηση μέσα στο μαγνητικό πεδίο κινούνται προς το άκρο Κ που φορτίζεται αρνητικά και το άκρο Λ φορτίζεται θετικά, δηλαδή εμφανίζεται επαγωγική τάση στα άκρα Κ, Λ

νόμος του Ohm για κλειστό κύκλωμα : Ε + Ε_επαγ = i ( R + r ) => Ε + Β l v = i ( R + r ) =>

=> i = ( Ε + Β l v ) / ( R + r )

F_L = B i l => F_L = B l (Ε + Β l v) / (R + r) => F_L = 0,5 1 ( 20 + 0,5 1 v ) / 10 => F_L = 1 + 0,025 v

όσο η κινείται η ράβδος προς τα κάτω περισσότερα ηλεκτρόνια συσσωρεύονται στο άκρο Κ με συνέπεια να αυξάνεται η Ε_επαγ

θετική κατεύθυνση : κατακόρυφη προς τα κάτω

ΣF = m a => m g - F_L = m a => 0,1 10 - (1 + 0,025 v) = 0,1 a =>

=> 1 - 1 - 0,025 v = 0,1 a => - 0,025 v = 0,1 dv/dt => - 0,25 dt = dv/v =>

=> - 0,25 t = ln ( v / v₀ ) => v / v₀ = e^-0,25t => v(t) = 6 e^-0,25t v(0) = + 6 m/s

a(t) = - 0,25 6 e^-0,25t => a(t) = - 1,5 e^-0,25t a(0) = - 1,5 m/s²

v(t) = dx/dt = 6 e^-0,25t => dx = 6 e^-0,25t dt => x(t) = -4 6 { e^-0,25t - 1 } =>

=> x(t) = 24 - 24 e^-0,25t μετατόπιση ράβδου συναρτήσει του χρόνου

Ε_επαγ = Β l v = Β l 6 e^-0,25t => Ε_επαγ (t) = 0,5 6 e^-0,25t => Ε_επαγ(t) = 3 e^-t/4 Ε_επαγ(0) = 3 V

i = ( Ε + Β l v ) / (R + r) => i(t) = ( 20 + 3 e^-0,25t ) / 10 => i(t) = 2 + 0,3 e^-t/4 i(0) = 2,3 A

F_L = 1 + 0,025 v = 1 + 0,025 6 e^-0,25t => F_L(t) = 1 + 0,15 e^-t/4 F_L(0) = 1,15 N

dW_FL = F_L dx => W_FL = S_0®t [ 1 + 0,15 e^-0,25t ] 6 e^-0,25t dt =

= S_0®t [ 1 + 0,15 e^-t/4 ] 6 e^-t/4 dt = S_0®t [ 6 e^-t/4 dt + 0,9 e^-t/2 dt ] =

= S_0®t [ 6 (-4) e^-t/4 d(-t/4) + 0,9 (-2) e^-t/2 d(-t/2) ] =

= - 24 { e^-t/4 - 1 } - 1,8 { e^-t/2 - 1 } => W_FL(t) = 25,8 - 24 e^-t/4 - 1,8 e^-t/2

mg x + 0,5 m v₀² = 0,5 m v² + W_FL =>

1 ( 24 - 24 e^-0,25t ) + 0,5 0,1 6² = 0,5 0,1 36 e^-0,5t + W_FL =>

24 - 24 e^-0,25t + 1,8 = 1,8 e^-0,5t + W_FL => W_FL = 25,8 - 24 e^-0,25t - 1,8 e^-0,5t

W_πηγών = S_0®t ( Ε + Β l v ) i dt = S_0®t ( 20 + 3 e^-t/4 ) ( 2 + 0,3 e^-t/4 ) dt =

= S_0®t ( 40 + 12 e^-t/4 + 0,9 e^-t/2 ) dt = 40 t - 48 ( e^-t/4 - 1 ) - 1,8 ( e^-t/2 - 1) =

= 40 t - 48 e^-t/4 + 48 - 1,8 e^-t/2 + 1,8 => W_πηγών = 40 t - 48 e^-t/4 - 1,8 e^-t/2 + 49,8

W_E = S_0®t E i dt = S_0-->t 20 ( 2 + 0,3 e^-0,25t ) dt = S_0®t ( 40 + 6 e^-t/4 ) dt =

= 40 t - 24 ( e^-t/4 - 1 ) = 40 t - 24 e^-t/4 + 24 = W_πηγής

P = i² (R + r) = ( 2 + 0,3 e^-t/4 )² 10 => P(t) = 40 + 12 e^-t/4 + 0,9 e^-t/2

Q = S_0®t P(t) dt = S_0®t { 40 + 12 e^-t/4 + 0,9 e^-t/2 } dt =

= 40 t - 48 { e^-t/4 - 1 } - 1,8 { e^-t/2 - 1 } = 40 t - 48 e^-t/4 + 48 - 1,8 e^-t/2 + 1,8 =>

Q(t) = 40 t - 48 e^-t/4 - 1,8 e^-t/2 + 49,8 = W_πηγών

Θέμα 10.

Ράβδος μάζας Μ = 3 kg και μήκους l = 4 m μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδό της που περνάει από το σημείο Ο. Στο ένα της άκρο έχει στερεωμένο σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 5,5 kg ενώ ένα άλλο της σημείο είναι δεμένο με σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 1 kg μέσω μη εκτατού νήματος. Το Σ₁ είναι συνδεδεμένο με ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 100 Ν/m. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί.

Δ1. Υπολογίστε τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

Κάποια στιγμή ( t = 0 ) κόβουμε το νήμα.

Δ2. Το Σ₁ αρχίζει να εκτελεί Α.Α.Τ. με D = k. Υπολογίστε το μέτρο της μεταβολής της ορμής του Σ₁ μεταξύ δύο διαδοχικών περασμάτων από τη θέση μηδενισμού της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου.

Το σύστημα ράβδος - Σ₂ αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το Ο.

Δ3. Υπολογίστε την συνολική ροπή ως προς το Ο ( Στ_(Ο) ) τη στιγμή που καθώς περιστρέφεται το σύστημα περί το Ο, η ράβδος σχηματίζει γωνία 30° με την κατακόρυφο καθώς και τον ρυθμό μεταβολής της γραμμικής ταχύτητας του Σ₂ εκείνη τη στιγμή εάν η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου είναι +1 rad/s².

Δ4. Τη στιγμή που η ράβδος έρχεται σε κατακόρυφη θέση το σύστημα ράβδος - σώμα Σ₂ έχει κινητική ενέργεια Κ_{ράβδου,Σ2} και στροφορμή L_{ράβδου,Σ2} = + 25 kg m²/s το επάνω άκρο της ράβδου συγκρούεται με σώμα Σ₃ μάζας m₃ = 5/3 kg το οποίο κινείται με ταχύτητα υ₃ διεύθυνση κάθετη στη ράβδο με αντίθετη φορά. Μετά την κρούση το σύστημα ακινητοποιείται. Υπολογίστε το ποσό ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά την κρούση.

Δ1.

κόβεται το νήμα

Δ2. ο μηδενισμός της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου γίνεται όταν x = 0,1 m

x = 0,2 ημ(10t + π/2) = 0,1 => ημ(10t + π/2) = ½ = ημπ/6 = ημ5π/6

τότε συνπ/6 = √3/2 συν5π/6 = - √3/2 οπότε υ = 2 (± √3/2) = ± √3

η μεταβολή της ορμής του Σ₁ : Δp = 1kg √3 m/s - ( - 1kg √3 m/s ) = 2 √3 kg m/s

Δ3.

ροπές ως προς Ο : Στ_(Ο) = m₂ g l/4 ημ30° - M g (l/2 - l/4) ημ30° = m₂ g l/4 ημ30° - M g l/4 ημ30° =

= 55 kg m/s² 1m ½ - 30 kg m/s² 1m ½ = 12,5 kg m²/s²

Δυ/Δt = a = α_γων L/4 = +1 rad/s² 1 m = +1 m/s²

Δ4.

διατήρηση ενέργειας : m₂ g l/4 + M g l/4 = M g l/2 + Κ_{ράβδου,Σ2} =>

=> 55 1 + 30 1 = 30 2 + Κ_{ράβδου,Σ2} => Κ_{ράβδου,Σ2} = 85 - 60 = 25 J

διατήρηση στροφορμής κατά την κρούση : L_{ράβδου,Σ2} - m₃ v₃ 3l/4 = 0 => 25 - 5/3 v₃ 3 1 = 0 => v₃=5m/s

ΔΚ = 0 - ( ½ m₃ v₃² + Κ_{ράβδου,Σ2} ) = - ( ½ 5/3 5² + 25 ) = - ( 125/6 + 25 ) => ΔΚ = - 275/6 J

Θέμα 11. 2017

Μία ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΓ σταθερής διατομής έχει μάζα Μ = 4 Kg. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και το άκρο της Α συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο Γ της ράβδου συνδέεται μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος ΓΔ με τον κατακόρυφο τοίχο. Το νήμα σχηματίζει με τη ράβδο γωνία φ. Γύρω από ένα λεπτό ομογενή δίσκο κέντρου Κ, μάζας m = 2 kg και ακτίνας R = 0,1 m είναι τυλιγμένο πολλές φορές ένα λεπτό μη εκτατό αβαρές νήμα. Το ελεύθερο άκρο του νήματος έχει στερεωθεί στο άκρο Γ της ράβδου ΑΓ, όπως φαίνεται στο σχήμα

Τη χρονική στιγμή t₀=0 ο δίσκος αφήνεται να κινηθεί και το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει.
Δ1. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος που ασκείται στον δίσκο εάν αυτός κατέρχεται με γωνιακή επιτάχυνση α_γων = + 200/3 rad/s².

Δ2. Να υπολογίσετε την δύναμη που δέχεται η ράβδος ΑΓ στο άκρο της Γ από το νήμα ΓΔ, όταν ο δίσκος κατέρχεται καθώς και την δύναμη που δέχεται η ράβδος ΑΓ στο άκρο της Α από την άρθρωση.

Τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας Κ του δίσκου έχει κατέλθει κατακόρυφα κατά h₁=0,3m το νήμα που συνδέει το δίσκο με τη ράβδο κόβεται.
Δ3. Να υπολογίσετε την στροφορμή μιας στοιχειώδους μάζας Δm = 1 mg της περιφέρειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του, μετά από χρονικό διάστημα Δt από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα.

Δ4. Ποια στιγμή από τη στιγμή t₀=0 ο δίσκος έχει κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς Κ = 9 J;

g = 10 m/s² ημφ = 0,8 συνφ = 0,6 ο άξονας περιστροφής του δίσκου παραμένει συνεχώς οριζόντιος και κινείται σε κατακόρυφη τροχιά σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του, ο δίσκος δεν φτάνει στο έδαφος στη διάρκεια του φαινομένου. Θετική φορά προς τα κάτω.

Δ1. επιτάχυνση : α = α_γων R = +200/3 rad/s² 0,1 m => α = +20/3 m/s²

για τον δίσκο : ΣF = m a => mg - T₁ = m a => 20 - T₁ = 2 20/3 => Τ₁ = 20 - 40/3 = 20/3 Ν

η τάση νήματος για τον δίσκο είναι Τ₁ = - 20/3 Ν και για την ράβδο στο άκρο Γ είναι Τ₁' = +20/3 Ν

Δ2.

ροπές ως προς Α : T₂ ημφ l - M g l/2 - T₁ l = 0 => T₂ 0,8 - 4 10 / 2 - 20/3 = 0 =>

=> T₂ 0,8 = 20 + 20/3 => T₂ = 80/3 / 0,8 => T₂ = 100/3 Ν

ΣFx = 0 => F_Ax = T_2x = T₂ συνφ => F_Ax = 100/3 0,6 = 20 Ν

ΣFy = 0 => T₁ + Mg - F_Ay - T_2y = 0 =>

=> F_Ay = T₁ + Mg - T₂ ημφ = 20/3 + 40 - 0,8 100/3 => F_Ay = 20 Ν

F_A² = F_Ax² + F_Ay² = 20² + 20² => F_A = 20√2 Ν

Δ3.

h = ½ a t² => 0,3 = ½ 20/3 t² => t = 0,3 s τότε υ = α t = 20/3 0,3 => v = 2 m/s

ω = α_γων t = 200/3 0,3 = 20 rad/s = σταθερή διότι από τη στιγμή που κόβεται το νήμα δεν δέχεται ροπή ο δίσκος διότι Τ₁ = 0

στροφορμή : L = Δm v r = Δm ω r² = 0,001 kg 20 rad/s (0,1 m)² => L = +0,0002 kg m²/s

Δ4.

τη στιγμή που κόβεται το νήμα ( 0,3 s ) ο δίσκος έχει ταχύτητα μέτρου 2 m/s

ΣFy = m α => m g = m a => a = g = 10 m/s²

K_{μεταφορική} = ½ m υ² => 9 J = ½ 2 kg v² => v = 3 m/s

τότε v = v₀ + α Δt => 3 m/s = 2 m/s + 10 m/s² Δt => Δt = 0,1 s

άρα την χρονική στιγμή 0,3 s + 0,1 s = 0,4 s

Θέμα 12.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η κάθετη τομή ενός καρουλιού, που αποτελείται από ένα κύλινδρο μάζας Μ₁ =4 kg και ακτίνας R₁ = 0,2 m και από δύο πανομοιότυπους δίσκους μάζας Μ₂ =1 kg και ακτίνας R₂ = 0,4m ο καθένας. Το καρούλι βρίσκεται σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο. Γύρω από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει ένα αβαρές, λεπτό και μη εκτατό νήμα, στο ένα ελεύθερο άκρο του οποίου ασκούμε μία σταθερή δύναμη μέτρου F = 100 N. Το άλλο ελεύθερο άκρο του νήματος συνδέεται με σώμα Σ μάζας m =10 kg, το οποίο βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 1000 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί και τη χρονική στιγμή t₀ = 0 το νήμα που συνδέει το καρούλι με το σώμα Σ κόβεται, οπότε το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και σταθεράς επαναφοράς D=k, ενώ το καρούλι ξεκινά να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει .

Δ1. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για την απλή αρμονική ταλάντωση του σώματος Σ. Θεωρείστε θετική φορά προς τα δεξιά.
Δ2. Τη χρονική στιγμή t₁, όπου το σώμα Σ βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας για πρώτη φορά, να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του ανώτερου σημείου του δίσκου του καρουλιού, αν η γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής περί τον άξονα του είναι α_γων=+50rad/s².
Δ3. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ τη στιγμή t₁.
Δ4. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F από τη χρονική στιγμή t = 0 έως τη χρονική στιγμή t₁.
Τη χρονική στιγμή t₁ το νήμα που ήταν τυλιγμένο στον κύλινδρο εγκαταλείπει το καρούλι και ασκούμε ακαριαία στο κέντρο μάζας του καρουλιού μία οριζόντια δύναμη μέτρου F₁ =30 Ν με αποτέλεσμα το καρούλι να αποκτήσει γωνιακή επιτάχυνση α'_γων = -10 rad/s² και να ακινητοποιηθεί τη χρονική στιγμή t₂.

Δ5. Να υπολογίσετε το συνολικό αριθμό περιστροφών από τη χρονική στιγμή t = 0 έως τη χρονική στιγμή t₂, κατά την οποία το καρούλι ακινητοποιείται.

Δ1.

ισορροπία σώματος Σ : F_ελατ = Τ => k x₀ = T (1)

ισορροπία καρουλιού : ΣF = 0 => F - T + Τ_τριβ = 0 (2)

Στ_(Κ) = 0 => F R₁ + T R₁ = Τ_τριβ R₂ => F 0,2 + T 0,2 = Τ_τριβ 0,4 => F + T = 2 Τ_τριβ (3)

(2) + (3) => 2 F = Τ_τριβ => Τ_τριβ = 2 100 Ν = 200 Ν οπότε η (3) => Τ = 100 + 200 = 300 Ν

και από (1) => x₀ = T/ k = 300 / 1000 => x₀ = 0,3 m αρχική επιμήκυνση ελατηρίου

ω² = k / m = 1000 / 10 => ω = 10 rad/s x(t) = 0,3 ημ(10t + π/2)

υ(t) = 3 συν(10t + π/2) a(t) = - 30 ημ(10t + π/2)

Δ2.

η χρονική στιγμή είναι : t₁ = Τ/2 = π/10 s

α_γων = 50 rad/s επιτάχυνση a_(Κ) = R₂ α_γων = 0,4 50 = 20 m/s²

v_(Κ) = a t₁ = 20 m/s² π/10 s = 2π m/s ταχύτητα κέντρου μάζας καρουλιού

η ταχύτητα του του ανώτερου σημείου του δίσκου του καρουλιού : 2 2π m/s = 4π m/s

Δ3.

ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ είναι :

dK/dt = m a v = 10 [- 30 ημ(10t + π/2)] 3 συν(10t + π/2) = - 900 ημ(10t + π/2) συν(10t + π/2)

τη στιγμή t = π/10 s dK/dt = - 900 ημ(π + π/2) συν(π + π/2) = - 900 (-1) 0 => dK/dt = 0

Δ4. το κέντρο μάζας Κ του καρουλιού μετατοπίζεται κατά x₁ = ½ α t₁² = ½ 20 (π/10)² = 1 m

το νήμα ξετυλίγεται κατά l = θ₁ R₁ = ½ α_γων t₁² R₁ = ½ 50 (π/10)² 0,2 = 2,5 rad 0,2 m = 0,5 m

το σημείο εφαρμογής της F μετατοπίζεται κατά : x₁ + l = 1,5 m

έργο της F : W_F = F ( x₁ + l ) = 100 1,5 => W_F = 150 J

Δ5. θ₁ = ½ α_γων t₁² = ½ 50 (π/10)² = 2,5 rad

o αριθμός περιστροφών : Ν₁ = θ₁ / 2π = 2,5 rad / 2π = 5/4π περιστροφές

η γωνιακή ταχύτητα : ω₁ = α_γων t₁ = 50 π/10 => ω₁ = 5π rad/s

α'_γων = - 10 rad/s² ω₂ = ω₁ + α_γων Δt => 0 = 5π + (-10) Δt => Δt = π/2 s

θ₂ = ω Δt + ½ α_γων Δt² = 5π π/2 + ½ (-10) (π/2)² = 25 - 12,5 = 12,5 rad π² = 10

N₂ = θ₂ / 2π = 12,5 / 2π = 25/4π περιστροφές

συνολικός αριθμός περιστροφών = 5/4π + 25/4π = 30/4π = 15/2π

Θέμα 13.

Στο σύστημα του σχήματος βλέπουμε τον ομογενή κύλινδρο κέντρου Ο, μάζας m₁ = 6 kg και ακτίνας ρ να ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο με τη βοήθεια νήματος (παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο) το οποίο αφού περάσει από τροχαλία κέντρου Ζ ακτίνας b καταλήγει στο σημείο Δ της ομογενούς ράβδου ΑΓ που έχει μάζα m₂. Η ράβδος ΑΓ στηρίζεται σε ακλόνητο σημείο μέσω άρθρωσης Α. Η απόσταση ΑΔ είναι d/3, όπου d το μήκος της ράβδου. Οι γωνίες φ έχουν ημφ = 0,6 και συνφ = 0,8. Στο κέντρο Ν της ράβδου έχει δεθεί νήμα που καταλήγει στο κέντρο ομογενούς αγωγού ΚΛ μάζας m = 0,8 kg η οποία ισορροπεί σε επαφή με δύο λείες κατακόρυφες αγώγιμες ράγες αμελητέας αντίστασης.
Α. Να υπολογιστεί η μάζα m₂ της ράβδου ΑΓ αν όλο το σύστημα ισορροπεί.
Κόβουμε το νήμα ΝΠ και ο αγωγός ΚΛ, μήκους L = 1 m, αντίστασης r = 1 Ω ελευθερώνεται και κατεβαίνει τις ράγες χωρίς τριβές, ενώ το μαγνητικό πεδίο έχει ένταση B = 2 Τ. Οι ράγες συνδέονται στο κάτω μέρος τους με αντίσταση R = 3 Ω. Από τη στιγμή t₀ = 0 που κόβεται το νήμα ο αγωγός ΚΛ δέχεται σταθερή κατακόρυφη δύναμη F = 6 N με φορά προς τα επάνω.
Β. Να δείξετε ότι ο αγωγός ΚΛ αποκτάει κάποια στιγμή οριακή ταχύτητα και να την υπολογίσετε.
Γ. Αν από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα και ξεκίνησε μέχρι να αποκτήσει οριακή ταχύτητα έπεσε κατά y = 1 m να υπολογίσετε τη θερμότητα Joule που εκλύθηκε σε κάθε αντιστάτη στο διάστημα αυτό.
Δ. Πόσο φορτίο μετακινήθηκε μέσα από τον αγωγό κατά την πτώση y = 1 m;
Ε. Μετά το κόψιμο του νήματος απελευθερώνεται και ο κύλινδρος και κατεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο. Για ποιες τιμές του συντελεστή οριακής τριβής είναι δυνατή η κύλιση του κυλίνδρου χωρίς ολίσθηση εάν κυλίεται με γωνιακή επιτάχυνση α_γων = 20 rad/s² και η ακτίνα του είναι ρ = 0,2 m;

(Α) ισορροπία ράβδου ΚΛ : m g = T₃ => T₃ = 0,8 10 => Τ₃ = 8 Ν

ισορροπία ράβδου ΑΓ :

ροπές ως προς Α : Στ_(Α) = 0 => T₂ d/3 ημφ - m₂ g d/2 συνφ - T₃ d/2 συνφ = 0

=> T₂ 1/3 0,6 - m₂ g 1/2 0,8 = 8 1/2 0,8 => 0,2 T₂ - m₂ 10 0,4 = 8 0,4 => T₂ - 20 m₂ = 16

ισορροπία τροχαλίας :

ροπές ως προς Ζ : Στ_(Ζ) = 0 => Τ₂ b = T₁ b => Τ₂ = T₁

ισορροπία κυλίνδρου :

ροπές ως προς Ο : Στ_(Ο) = 0 => Τ₁ ρ = T_τριβ ρ => T₁ = T_τριβ

ΣF_x = 0 => m₁ g ημφ - T₁ - T_τριβ = 0 => 6 10 0,6 - T₁ - T₁ = 0 => Τ₁ = 18 Ν

άρα Τ₂ = T₁ = 18 Ν

οπότε από την σχέση : T₂ - 20 m₂ = 16 => 18 - 20 m₂ = 16 => m₂ = 0,1 kg

(Β) τα ηλεκτρόνια της ράβδου δέχονται δύναμη Lorenz και μετακινούνται προς το άκρο Κ που φορτίζεται αρνητικά, αναπτύσσεται επαγωγική τάση στα άκρα Λ(+), Κ(-) της ράβδου Ε_επαγ = Β l v

οπότε το κύκλωμα διαρρέεται με ρεύμα εντάσεως i = Ε_επαγ / (R + r) = Β l v / (R + r)

στη ράβδο ασκείται δύναμη Laplace F_L = B i l = Β² l² v / (R + r)

για την κίνηση της ράβδου έχουμε : θετική κατεύθυνση κατακόρυφη προς τα κάτω

ΣF = m a => m g - F_L - F = m a => m g - Β² l² v / (R + r) - F = m a

καθώς η ραβδος κατέρχεται αυξάνεται η ταχύτητα με συνέπεια να μειώνεται η επιτάχυνση έως ότου μηδενισθεί οπότε η ράβδος θα αποκτήσει σταθερή ταχύτητα ( οριακή )

α = 0 => m g - F = Β² l² v / (R + r) => υ = ( m g - F ) (R + r) / Β² l² =>

=> υ = ( 0,8 10 - 6 ) (3+1) / 4 1 = 2 m/s οριακή ταχύτητα

(Γ) m g y - F y + Q = ½ m v² => Q = ½ m v² - m g y + F y >

=> Q = ½ 0,8 2² - 0,8 10 1 + 6 1 => Q = 1,6 - 8 + 6 = - 0,4 J

Q_(r) = i² r t Q_(R) = i² R t Q_(r) / Q_(R) = r / R = 1/3

Q_(r) + Q_(R) = |Q| = 0,4 J άρα Q_(r) = 0,1 J και Q_(R) = 0,3 J

(Δ) q = ΔΦ / (r + R) = Β Α / (r + R) = B l y / (r + R) = 2 1 1 / 4 = 0,5 C

(E) επιτάχυνση κυλίνδρου : α = α_γων ρ = 20 rad/s² 0,2 m = 4 m/s²

ΣF_x = m₁ g ημφ - Τ_τριβ = m₁ a => 0,8 10 0,6 - Τ_τριβ = 0,8 4 => T_tτριβ = 1,6 Ν

ΣF_y = 0 => m₁ g συνφ = Ν => Ν = 0,8 10 0,8 = 6,4 Ν

ο συντελεστής τριβής κυλίσεως : μ = Τ / Ν = 1,6 / 6,4 = 0,25

μαθηματική ανάλυση :

m g - Β² l² v / (R + r) - F = m a => 8 - 4 v / 4 - 6 = 0,8 a => 2 - v = 4/5 dv/dt =>

=> dv / (v - 2) = - 5/4 dt => ln [ (v - 2) / (- 2) ] = - 5/4 dt => v(t) = 2 ( 1 - e^{-5/4 t} )

a = dv/dt => a(t) = 2,5 e^{-5/4 t} dx = v dt = 2 ( 1 - e^{-5/4 t} ) dt => x(t) = 2t + 1,6 ( e^{-5/4 t} - 1 )

i = Ε_επαγ / (R + r) = Β l v / (R + r) = ( 2 1 / 4 ) 2 ( 1 - e^{-5/4 t} ) => i(t) = 1 - e^{-5/4 t}

F_L = B l i = 2 1 ( 1 - e^{-5/4 t} ) => F_L(t) = 2 ( 1 - e^{-5/4 t} )

P_FL = F_L v = 2 ( 1 - e^{-5/4 t} ) 2 ( 1 - e^{-5/4 t} ) => P_FL(t) = 4 ( 1 - e^{-5/4 t} )²

i = dq/dt => dq = i dt = ( 1 - e^{-5/4 t} ) dt => q(t) = t + 0,8 ( e^{-5/4 t} - 1 )

P_w = mg v = 8 2 ( 1 - e^{-5/4 t} ) => P_w(t) = 16 ( 1 - e^{-5/4 t} )

P_F = F v = 6 2 ( 1 - e^{-5/4 t} ) => P_F(t) = 12 ( 1 - e^{-5/4 t} )

P_w(t) - P_FL(t) - P_F(t) = 16 ( 1 - e^{-5/4 t} ) - 4 ( 1 - e^{-5/4 t} )² - 12 ( 1 - e^{-5/4 t} ) =

= ( 1 - e^{-5/4 t} ) [ 16 - 4 ( 1 - e^{-5/4 t} ) - 12 ] = ( 1 - e^{-5/4 t} ) 4 e^{-5/4 t} =

= 0,8 2 ( 1 - e^{-5/4 t} ) 2,5 e^{-5/4 t} = m v a

τ = 4/5 s = 0,8 s 5τ = 4 s

x(4) = 2 4 + 1,6 (e^{-5/4 4} - 1) = 8 + 1,6 ( 0,0067 - 1 ) = 6,4 m

v(4) = 2 ( 1 - e^{-5/4 4} ) = 2 ( 1 - 0,0067 ) = 2 m/s

a(4) = 2,5 e^{-5/4 t} = 2,5 0,0067 = 0,017 m/s²

i(4) = 1 - e^{-5/4 4} = 1 - 0,0067 = 0,9933 A = 1A

q(4) = 4 + 0,8 (e^{-5/4 4} - 1) = 4 + 0,8 ( 0,0067 - 1 ) = 3,2 C

P_FL = 4 ( 1 - e^{-5/4 t} )² = 4 - 8 e^{-5/4 t} + 4 e^{-5/2 t}

W_FL(t) = 4 t + 6,4 ( e^{-5/4 t} - 1 ) - 1,6 ( e^{-5/2 t} - 1 )

W_FL(t) = 4 t + 6,4 e^{-5/4 t} - 1,6 e^{-5/2 t} - 4,8

W_FL(4) = 4 4 + 6,4 e^{-5/4 4} - 1,6 e^{-5/2 4} - 4,8 = 16 + 6,4 0,0067 - 1,6 0,000045 - 4,8 = 16 + 0 - 0 - 4,8 = 11,2 J

m g x(4) - 0,5 m v(4)² - F x(4) = 0,8 10 6,4 - 0,5 0,8 2² - 6 6,4 = 11,2 J = W_FL(4)

Θέμα 14.

Σώμα μάζας m=1kg δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου και στερεωμένου ελατηρίου κάνει Α.Α.Τ. με μέγιστη κινητική ενέργεια K₀=2J και πλάτος Α=0,2m. Τη χρονική στιγμή t₀=0 το σώμα βρίσκεται στη θέση x=-0,2m. Τη στιγμή t₁ που το σώμα m περνάει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας κινούμενο προς την πλευρά που το ελατήριο επιμηκύνεται κόβεται το ελατήριο και το σώμα συνεχίζει μόνο του πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο.

Α. Να γραφεί η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς της Α.Α.Τ. του σώματος και η εξίσωση του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος συναρτήσει του χρόνου

Β. Να υπολογιστούν η χρονική στιγμή t₁ και η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που κόβεται το ελατήριο.

Το σώμα μετά συγκρούεται με το άκρο Δ, ράβδου μήκους d=1m, μάζας Μ=2kg το ένα άκρο της οποίας είναι στερεωμένο στο σημείο Ο, και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Μετά την κρούση το σώμα m συνεχίζει την κίνησή του στην ίδια κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου ίσου με το μισό αυτής που είχε πριν την κρούση ενώ η ράβδος αποκτά κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Κ_ρ_,περ. = 0,75 J και γωνιακή ταχύτητα ω = 1,5 rad/s. Η κρούση διαρκεί χρονικό διάστημα Δt=0,02s.
Γ. Να υπολογιστούν :
Γ1. η ροπή τ που άσκησε το σώμα στη ράβδο κατά την κρούση, αν η ροπή θεωρηθεί σταθερή

Γ2. η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος, «σώμα - ράβδος» λόγω κρούσης

Γ3. το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας, Ο, στη ράβδο αμέσως μετά την κρούση

Γ4. το συνημίτονο της γωνίας θ που σχηματίζει η ράβδος με την κατακόρυφο τη στιγμή που σταματά στιγμιαία.

Α. K₀ = ½ k A² => 2 J = ½ k (0,2m)² => k = 100 N/m

k = m ω² => 100 = 1 ω² => ω = 10 rad/s T = 2π/ω = π/5 sec x(t) = 0,2 ημ(10t + 3π/2)

υ(t) = 2 συν(10t + 3π/2) α(t) = - 20 ημ(10t + 3π/2)

ΣF = m a = 1 ( - 20 ημ(10t + 3π/2) ) => ΣF = - 20 ημ(10t + 3π/2) = - 100 0,2 ημ(10t + 3π/2) = - 100 x = - k x = F_ελατ - 0,2 m £ x £ + 0,2 m

F_ελατ = - k x => F_ελατ = - 100 x - 0,2 m £ x £ + 0,2 m

dK/dt = m v dv/dt = m v a = 1 2 συν(10t + 3π/2) { - 20 ημ(10t + 3π/2) } =

= - 40 ημ(10t + 3π/2) συν(10t + 3π/2) = - 20 ημ(20t + 3π)

dU/dt = k x dx/dt = k x v = 100 0,2 ημ(10t + 3π/2) 2 συν(10t + 3π/2) =

= 40 ημ(10t + 3π/2) συν(10t + 3π/2) = 20 ημ(20t + 3π)

Β. το ελατήριο κόβεται τη στιγμή που το σώμα περνά για 1η φορά από τη Θ.Ι. δηλαδή t = T/4 = π/20 sec η ταχύτητά του είναι η μέγιστη υ = 2 m/s

Γ. λείο επίπεδο, διατήρηση στροφορμής : m v d = m v/2 d + L => 1 2 1 = 1 2/2 1 + L => L = 1 kg.m/s

τ = dL/dt = ( L_μετά - L_πριν ) / dt = ( 1 - 0 ) / 0,02 => τ = 50 N.m

K_πριν = ½ m v² = ½ 1 2² = 2 J K_μετά = ½ m (v/2)² + Κ_ρ,περ. = ½ 1 (2/2)² + 0,75 = 1,25 J

ΔΚ = K_μετά - K_πριν = 1,25 - 2 => ΔΚ = - 0,75 J

ΣF_y = F_{κεντρομόλος} => Ν - Μ g = Μ υ² / r = M ω² d/2 => Ν = Μ g + M ω² d/2 =>

=> Ν = 2 10 + 2 1,5² 1/2 => Ν = 22,25 Ν

διατήρηση ενέργειας : Κ_ρ,περ. = Μ g d/2 ( 1 - συνθ ) => 0,75 = 2 10 1/2 ( 1 - συνθ ) =>

=> 3/4 = 10 ( 1 - συνθ ) => συνθ = 1 - 3/40 = 37/40 = 0,925

Θέμα 15.

Τροχαλία αμελητέας μάζας, ακτίνας R, είναι στερεωμένη, όπως φαίνεται στο σχήμα και μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονά της. Από την τροχαλία διέρχεται νήμα στο ένα άκρο του οποίου δένεται νήμα στο ένα άκρο του οποίου δένεται σώμα μάζας m=4kg, ενώ το άλλο άκρο δένεται στο ελεύθερο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Ανυψώνουμε το σώμα ως το σημείο Α, έτσι ώστε το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος, ενώ το νήμα είναι τεντωμένο. Αφήνουμε το σώμα ελεύθερο.

A. Εξετάστε αν το σώμα μάζας m κάνει Α.Α.Τ. Θετική φορά όπως το βάρος του σώματος.

B. Πόση είναι η επιτάχυνση του σώματος όταν η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι x₁=0,2m;
Γ. Πόση είναι η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου;
Δ. Πόση πρέπει να είναι η κατακόρυφη μετατόπιση του σώματος μέχρι το σώμα να αποκτήσει μέγιστη ταχύτητα.
E. Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα.
Z. Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος «τροχαλία - σώμα», όταν η ταχύτητα του σώματος είναι υ=2m/s;

H. Στην δεύτερη διάταξη εξετάστε αν το σώμα μάζας m κάνει Α.Α.Τ. και γράψτε τις εξισώσεις συναρτήσει του χρόνου. Θετική φορά όπως το βάρος του σώματος.

η ροπή αδράνειας της τροχαλίας : Ι_(Ο) = ½ Μ R²

(Α) ισορροπία σώματος : m g - T₁ = 0

ισορροπία τροχαλίας : Στ_(Ο) = 0 => T₁ R - T₂ R = 0 => T₁ = T₂

ελατήριο : Τ₂ = F_ελατ = k Δl τελικά : m g = k Δl => Δl = 4 10 / 100 = 0,4 m αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου όταν το σύστημα ισορροπεί

στην τυχαία θέση σώμα : ΣF = m g - T₁ = m a (1)

τροχαλία : Στ_(Ο) = 0 => T₁ R - T₂ R = 0 => T₁ = T₂ (2)

ελατήριο : Τ₂ = F_ελατ = k ( x + Δl ) (3)

(1) + (2) + (3) => m g = m a + k ( x + Δl ) => m a + k x = 0 => ΣF = - k x

το σώμα εκτελεί ΑΑΤ με συχνότητα ω² = k /m = 100 / 4 = 25 => ω = 5 rad/s

T = 2π/ω = 2π/5 s

x(t) = 0,4 ημ(5t + 3π/2) υ(t) = 2 συν(5t + 3π/2) α(t) = -10 ημ(5t + 3π/2)

ΣF(t) = m a(t) = -40 ημ(5t + 3π/2)

F_ελατ(t)= k ( x + Δl ) = 100 { 0,4 ημ(5t + 3π/2) + 0,4 } = 40 + 40 ημ(5t + 3π/2)

(Β) επιμήκυνση ελατηρίου x₁ = 0,2m => x + Δl = 0,2 => x + 0,4 = 0,2 => x = - 0,2 m

τότε 0,4 ημ(5t + 3π/2) = - 0,2 => ημ(5t + 3π/2) = - 0,5

οπότε α = - 10 ημ(5t + 3π/2) = - 10 ( - 0,5 ) => a = +5 m/s²

(Γ) t = 0 F_ελατ(t)= k ( x + Δl ) = 40 + 40 ημ(3π/2) = 40 + (- 40) = 0

t = T/2 = π/5 s F_ελατ(Τ/2) = 40 + 40 ημ(5 π/5 + 3π/2) = 40 + 40 ημ(π/2) = 80 Ν μέγιστη δύναμη ελατηρίου

η μέγιστη επιμήκυνση είναι F_ελατ,_max / k = 80 Ν / 100 Ν/m = 0,8 m

(Δ), (Ε) η μέγιστη ταχύτητα του σώματος είναι : 2 m/s από την σχέση :

υ(t) = 2 συν(5t + 3π/2)

η κατακόρυφη μετατόπιση του σώματος όταν έχει μέγιστη ταχύτητα είναι : x = 0,4 m θέση ισορροπίας για την ταλάντωση του σώματος

(Z) ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας όταν κατέρχεται με υ = 2 m/s τότε α = 0

συνεπώς dK / dt = m v a = 0

--------------------------------------------------------------------

(Η) ισορροπία σώματος : m g - T₁ = 0 r = R/2

ισορροπία τροχαλίας : Στ_(Ο) = 0 => T₁ r - T₂ R = 0 => T₁ = 2 T₂

ελατήριο : Τ₂ = F_ελατ = k Δl m g = 2 k Δl => Δl = mg / 2k = 40/200 = 0,2 m αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου όταν το σύστημα ισορροπεί

στην τυχαία θέση σώμα : ΣF = m g - T₁ = m a (1)

τροχαλία : Στ_(Ο) = 0 => T₁ r - T₂ R = 0 => T₁ R/2 - T₂ R = 0 => T₁ = 2 T₂ (2)

ελατήριο : Τ₂ = F_ελατ = k ( x + Δl ) => 2 Τ₂ = 2 k ( x + Δl ) (3)

(1) + (2) + (3) => m g = m a + 2k ( x + Δl ) => 0 = m a + 2 k x => ΣF = - 2 k x

συνεπώς το σώμα εκτελεί ΑΑΤ με συχνότητα ω² = 2k / m = 200 / 4 = 50 => ω = 5√2 rad/s

x(t) = 0,2 ημ(5√2t + 3π/2) υ(t) = √2 συν(5√2t + 3π/2)

α(t) = - 10 ημ(5√2t + 3π/2) ΣF(t) = m a(t) = - 40 ημ(5√2t + 3π/2)

F_ελατ(t) = k ( Δl + x ) = 100 ( 0,2 + x ) = 20 + 100 x = 20 + 20 ημ(5√2t + 3π/2)

Θέμα 16.

για το σώμα Σ : mg - T₁ = m a₁ = m a_γων (r + R) (1) ή mg R - T₁ R = m a_γων (r + R) R (2)

για την τροχαλία : T₁ R + T₂ r = ½ M R² a_γων (3)

Mg + T₁ - T₂ = M a₂ => Mg + T₁ - T₂ = M r a_γων (4)

(2) + (3) => mg R + T₂ r = m a_γων (r + R) R + ½ M R² a_γων (5)

(1) + (4) => mg + Mg - T₂ = m a_γων (r + R) + M r a_γων =>

=> T₂ = mg + Mg - m a_γων (r + R) - M r a_γων =>

=> T₂ r = mg r + Mg r - m a_γων (r + R) r - M r² a_γων (6)

(5) , (6) => mg R + mg r + Mg r - m a_γων (r + R) r - M r² a_γων = m a_γων (r + R)R + ½MR²a_γων =>

=> mg R + mg r + Mg r = m a_γων (r + R) r + M r² a_γων + m a_γων (r + R)R + ½MR² a_γων =>

=> mg (R + r) + Mg r = { m (r + R) r + M r² + m (r + R) R + ½ M R² } a_γων =>

=> { m(R + r) + Mr } g = { m (r + R)² + M ( r² + ½R² ) } a_γων

T₂ = mg + Mg - { m (r + R) + M r } a_γων =

= mg + Mg - { m (r + R) + M r } { m(R + r) + Mr } g / { m (r + R)² + M ( r² + ½R² ) } =

= (m + M) g - { m (r + R) + M r }² g / { m (r + R)² + M ( r² + ½R² ) } =

= g { m² (r + R)² + M² ( r² + ½R² ) + mM( r² + ½R² ) + Mm(r + R)² - m² (r + R)² - M² r² - 2mM(r + R)r } / { m (r + R)² + M ( r² + ½R² ) } =

= g { M² ½R² + mM( r² + ½R² ) + Mm ( r² + R² + 2rR ) - 2mM(r² + Rr) } / { m (r + R)² + M (r² + ½R²) } =>

Τ₂ = ½ M(M + 3m)g R² / { m (r + R)² + M (r² + ½R²) }

(4) => Mg + T₁ - T₂ = M r a_γων =>

=> Mg + T₁ - ½ M(M + 3m)g R² / { m (r + R)² + M (r² + ½R²) } =

= M r { m(R + r) + Mr } g / { m (r + R)² + M ( r² + ½R² ) } =>

=> T₁ = ½ M(M + 3m)g R² / { m (r + R)² + M (r² + ½R²) } - Mg

+ M r { m(R + r) + Mr } g / { m (r + R)² + M ( r² + ½R² ) } =>

=> T₁ = [ ½ M(M + 3m)g R² - { m(r + R)² + M(r² + ½R²) } Mg + Mr { m(R + r) + Mr } g ]