Τροχός έχει ακτίνα R=0.5m και είναι αρχικά ακίνητος πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με το οποίο είναι σε επαφή το σημείο του Α. Κάποια στιγμή t0=0, ο τροχός δέχεται  απότομο χτύπημα σε σημείο της περιφέρειάς του και αρχίζει να μεταφέρεται με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υcm=4 m/s και ταυτόχρονα να στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Παρατηρούμε ότι την δεύτερη φορά μετά την t0=0 που το σημείο Α ακουμπά στο δάπεδο o τροχός έχει μετακινηθεί xcm=8m.
i.   Να αποδείξτε ότι ο τροχός ολισθαίνει.
ii.  Υπολογίστε την ταχύτητα του κατώτατου και του ανώτατου σημείου του τροχού.
iii. Να υπολογίσετε το μήκος ολίσθησης του τροχού σε χρονικό διάστημα Δt=10s.
iv. Να υπολογίστε το μέτρο της μετατόπισης του σημείου Α την χρονική στιγμή t=0.5s

 

 

 

 

2.jpg

Μια ράβδος AB, μήκους l=3m, στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το σημείο της Ο, όπου (BΟ)=1m. Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητάς της ράβδου σε συνάρτηση με το χρόνο. Αν την στιγμή t1=1s η ράβδος βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο σχήμα:          

  1. Να βρεθεί η θέση της ράβδου τη στιγμή t0=0.
  2. Να σημειωθούν πάνω στο σχήμα, για τη χρονική στιγμή t1=1s, η γραμμική ταχύτητα, η επιτρόχια επιτάχυνση και η κεντρομόλος επιτάχυνση, για τα άκρα Α και Β της ράβδου και στη συνέχεια να υπολογιστούν τα μέτρα τους.
  3. Σε ποια θέση βρίσκεται η ράβδος τη στιγμή t2=4s; Για τη στιγμή αυτή:

α)  Να υπολογιστούν ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου

β) Να σχεδιαστεί ένα σχήμα που να φαίνεται η ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου και στη συνέχεια να υπολογισθούν το μέτρο της και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της.

 

a)    τη στιγμή  t2 = 4s  η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία :  θ = 0,8 rad/s (2s + 4s) / 2  = 2,4 rad   ή  137,5°  

ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου :  dω/dt = ( 0 - 0,8 rad/s ) / ( 4s - 2s ) = - 0,4 rad/s2 = αγων

 β)   αφού ω=0 και η (γραμμική) ταχύτητα του άκρου Α είναι μηδενική
Όμως το άκρο Α μπορεί να μην έχει ταχύτητα, να μην έχει κεντρομόλο επιτάχυνση, έχει όμως επιτρόχια επιτάχυνση,
   aε =  αγων (ΟΑ)  =  - 0,4 rad/s2  2 m = - 0,8 m/s2
 Η επιτρόχια επιτάχυνση είναι κάθετη στην ακτίνα (ΟΑ) και η φορά της καθορίζεται από την φορά της γωνιακής επιτάχυνσης.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.   Δίσκος ακτίνας R = 0,2 m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η γωνιακή του ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Το διάστημα που έχει διανύσει ο δίσκος μέχρι την χρονική στιγμή t = 2 s είναι
α) s = 2 m    β) s = 4 m    γ) s = 50 m 

 

2.  Μία οριζόντια ράβδος ΑΒ μήκους L εκτελεί στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίση με ω γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το άκρο της Α. Το μέσο Μ της ράβδου έχει κεντρομόλο επιτάχυνση ίση με
α) ακ = ω2 L       β) ακ = ω2 L/2       γ) ακ  = ω2 L/4      δ) ακ  =  ω L2 /4

 

3.  Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια χρονική στιγμή το κέντρο μάζας του τροχού έχει ταχύτητα μέτρου υcm . Έστω Α  το ανώτερο σημείο της περιφέρειας του τροχού και Γ  ένα σημείο του τροχού που βρίσκεται στην οριζόντια διάμετρο και απέχει απόσταση ΓΚ = R/2 από το κέντρο Κ του τροχού. Ο λόγος υΓ / υΑ των μέτρων των ταχυτήτων των σημείων Γ και  Α είναι ίσος με :                     α)   √3/4           β)   √5/4           γ)   1/4

 

4.  

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.    υ = ω R          aγων = Δω / Δt  = 10 rad/s / 2 s = 5 rad/s2   

        θ = ½ αγων t2 = ½ 5 22 = 10 rad                s  =  θ.R = 10 rad . 0,2 m = 2 m

2.      ακ2  =  υ2 / r  =  ω2 r  =  ω2 L/2

3.       υΚ  =  υcm             υA  =  υcm   +  ωR   =   2 υcm   =   2 ωR

       υΓ2  =  υcm2  +  (ωR/2) 2   =    υcm2  +  (ωR)2 / 4   =    υcm2  +  υcm2 / 4   =   5/4  υcm2   =>   υΓ  = √5/2 υcm            συνεπώς    υΓ / υΑ  = √5/4