Επάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται σώμα Σ1 μάζας m1 με σταθερή ταχύτητα υ1. Το σώμα Σ1 συναντά το άκρο ελατηρίου που έχει το φυσικό του μήκος, ενώ στο άλλο του άκρο είναι δεμένο σώμα Σ2 μάζας m2 που είναι ακίνητο επάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο. Η διεύθυνση της ταχύτητας υ1 συμπίπτει με τον άξονα του ελατηρίου. Δείξτε ότι το ελατήριο συσπειρώνεται κατά το μέγιστον όταν τα σώματα αποκτήσουν ίσες ταχύτητες.
διατήρηση ορμής :
m1 v1 = m1 v1' + m2 v2' => v1' = v1 - v2' m2/m1 (1)
διατήρηση ενέργειας :
½ m1 v12 = ½ k x2 + ½ m1 v1'2 + ½ m2 v2'2
m1 v12 - m1 v1'2 = k x2 + m2 v2'2
m1 ( v1 - v1') ( v1 + v1' ) = k x2 + m2 v2'2
m2 v2' ( v1 + v1 - m2/m1 v2' ) = k x2 + m2 v2'2
m2 v2' ( 2 v1 - m2/m1 v2' ) = k x2 + m2 v2'2
2 m2 v2' v1 - m22 /m1 v2'2 = k x2 + m2 v2'2
0 = k x2 + m2 v2'2 - 2 m2 v2' v1 + m22 /m1 v2'2
0 = ( m2 + m22 /m1 ) v2'2 - 2 m2 v2' v1 + k x2 (2)
f (v2') = ( m2 + m22 /m1 ) v2'2 - 2 m2 v2' v1 + k x2
f '(v2') = 2 ( m2 + m22 /m1 ) v2' - 2 m2 v1
f '(v2') = 0 => 2 ( m2 + m22 /m1 ) v2' - 2 m2 v1 = 0 =>
=> ( m2 + m22 /m1 ) v2' = m2 v1 =>
=> ( 1 + m2 /m1 ) v2' = v1 =>
=> v2' = v1 m1 / ( m1 + m2 )
v1' = v1 - m2/m1 v2' = v1 - m2/m1 v1 m1 / ( m1 + m2 ) =
= v1 - m2 v1 / ( m1 + m2 ) = [ v1 ( m1 + m2 ) - m2 v1 ] / ( m1 + m2 ) =
= [ v1 m1 + v1 m2 - m2 v1 ] / ( m1 + m2 ) = v1 m1 / ( m1 + m2 ) = v1' = v2'
(2) => ( m2 + m22 /m1 ) v2'2 - 2 m2 v2' v1 + k x2 = 0 =>
=> m2 ( m1 + m2 )/m1 v12 m12 / ( m1 + m2 )2 - 2 m2 v1 v1 m1 / ( m1 + m2 ) + k x2 = 0 =>
=> m1 m2 v12 / ( m1 + m2 ) - 2 m1 m2 v12 / ( m1 + m2 ) + k x2 = 0 =>
=> - m1 m2 v12 / ( m1 + m2 ) + k x2 = 0 =>
=> x2 = m1 m2 v12 / k(m1 + m2) => x = v1 [ m1 m2 / k(m1 + m2) ]½ μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου