Σ ω σ τ ό    ή    Λ ά θ ο ς

1. Η διάμεσος σε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις θα έχει αθροιστική σχετική συχνότητα F_i=50%.

2. Η διάμεσος δεν επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις του δείγματος.

3. Η τιμή της f '(x) στο x=x_o είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f στο σημείο (x_o, f(x_o)).

4. Οι συναρτήσεις που προκύπτουν από πράξεις συνεχών συναρτήσεων είναι και αυτές συνεχείς.

5. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ευθείας της συνάρτησης  f(x)=-συνx  στο σημείο  Α(π/2, f(π/2)) είναι  λ=1.

6. Το εύρος είναι ένα αξιόπιστο μέτρο διασποράς.

7. Ισχύει ότι : (χ^ρ)=ρ.χ^ρ+1.

8. Έστω η συνάρτηση g(x)=συν2x  τότε ισχύει ότι :   g'(x)=2.ημ2x.

9. Ισχύει ότι :  ( εφχ )' = 1 / ημ²χ.

10. Η καμπύλη της συνάρτησης  φ(χ) = χ²  ονομάζεται  υ π ε ρ β ο λ ή.

11. Έστω η συνάρτηση  g  είναι παραγωγίσιμη σε ένα σύνολο Α  και  c είναι σταθερός πραγματικός αριθμός τότε ισχύει : (c.g)' = c.g'.

12. Αν η τετμημένη ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα είναι  x(t) τη χρονική στιγμή t, τότε η ταχύτητά του θα είναι  υ(t)=x'(t).

13. Ισχύει ότι : (χ^ρ)'=ρ.χ^ρ-1.

14. Ισχύει ότι : ( ημχ² )' = 2χ.συνχ² .

15. Η συνάρτηση  f(x)=(1-x²)^½  έχει πεδίο ορισμού το  Α = [-1, 1].

16. Μία συνάρτηση παρουσιάζει  π ά ν τ ο τ ε  ακρότατα (ολικά  ή  τοπικά).

17. Η συνάρτηση  φ(χ)=ημχ  είναι γνησίως φ θ ίν ο υ σ α  στο διάστημα  [0, π/2].

18. Αν οι συναρτήσεις  f, g  είναι παραγωγίσιμες στο  R τότε ισχύει :  (f/g)'(x) = f '(x).g(x) + f(x).g'(x).

19. Ισχύει ότι :  lim_(h->0) { g(2+h) - g(h) } / h = g'(2).

20. Ισχύει :   ( [g(x)]^½ )' = ½ .[g(x)]^-½.

21. Ισχύει :  ( χ^½ )' = ½.χ^-½.

22. Αν   lim_(x->xo) f(x) = λ_ο   με  λ_ο ε R    τότε   lim_(x->xo) ( f(x) )^ν = λ_ο^ν.

23. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης  φ(χ) = χ^½  δεν περνά κάτω από τον άξονα χ'χ.

24. Αν  φ(χ)=ημχ.συνχ  τότε   φ'(χ) = συν²χ - ημ²χ = 1 - 2.ημ²χ = 2.συν²χ -1.

25. Η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης της  φ(χ)  στο σημείο  (χ_ο, φ(χ_ο))  είναι παράλληλη στον άξονα  χ'χ, σημαίνει ότι ο συντελεστής διεύθυνσης  λ  ισούται με μηδέν  ή  άλλως  φ'(χ_ο) = λ = 0.

26. Έστω οι συναρτήσεις  f, g  παραγωγίσιμες στο R τότε ισχύει :  ( f . g )' (x) = f '(x) . g(x) - f(x) . g'(x).

27. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης  f(x) = (x-1)^½   είναι  το  Α = (1, +οο).

28. Η συνάρτηση  φ(χ)=συνχ   είναι γνησίως  α ύ ξ ο υ σ α  στο διάστημα  (0, π/2).

29. Η συνάρτηση  φ(χ) = (4-χ²)^½   έχει  πεδίο ορισμού  Α = [-2, 2]  και  1η παράγωγος είναι :  φ'(χ) = χ . (4-χ²)^-½  

30. Αν μια συνάρτηση  φ(χ)  είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα  Δ  τότε ισχύει :  ( ημ φ(χ) )' = - συν(φ(χ)) . φ'(χ).

31. Έστω η συνάρτηση  f(x)=2.x/(x²-1) ,  η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής της παράστασης στο σημείο  (0, f(0))  είναι :  y = -2.x

32. Έστω η συνάρτηση  f  στο  x=x_ο  η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής της παράστασης είναι παράλληλη στην ευθεία  (ε) : y=-4.x+1  σημαίνει ότι : f '(x_o) = -4

33. Έστω η συνάρτηση  g  στο  x=x_o  η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης  είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας  xOy   σημαίνει ότι  g'(x_ο) = 1

34. Έστω η συνάρτηση  h  στο  x=x_o  η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης σχηματίζει γωνία 135° με τον άξoνα  x'x  τότε  h'(x_o) = -1

35. Αν μια συνάρτηση  ψ(χ)  είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Α  τότε ισχύει :  ( συν ψ(χ) )' = - ημ(ψ(χ)) . ψ'(χ).

36. Ισχύει ότι :  ( χ^2ν )' = 2ν.χ^2ν-1 ,   ν ε Ν - {0,1}.

37. Ισχύει ότι :   lim_(x->3) [ (x+1)^½ -2 ] / ( x² -2.x -3 ) = 1/16.

38. Έστω η συνάρτηση :  f(x) = - x³/3 + 3.x² -4.x -4  τότε η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο  Μ(3, 2).

39. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης  ψ(χ)   στο σημείο  (χ_ο, ψ(χ_ο))  είναι  λ = ψ(χ_ο).

40. Αν σε ένα διάστημα Δ  ισχύει  χ₁ < χ₂  ( χ₁,χ₂ ε Δ )  και   ψ(χ₁) < ψ(χ₂) ,  τότε η συνάρτηση  ψ(χ)  είναι  φθίνουσα στο Δ.

41. Ισχύει ότι :  ( χ . συνχ )' = συνχ - χ . ημχ.

       Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

1.  Έστω  f(x) = 2.x³ - x² - 4.x -6     Μελετήστε την μονοτονία της συνάρτησης, βρείτε τα ακρότατα.  Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο  (-1, f(-1)) 

2.  Έστω   f(x) = x³ - x² - x   μελετήστε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία - ακρότατα.  Βρείτε σε ποιά σημεία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης σχηματίζει γωνία 135° με τον άξονα x'x.  Δείξτε ότι :  lim_(x->1) ( f(x)+1 ) / (x^½ -1) = 0  (0, 0) , (2/3, -22/27)

3.  Έστω η συνάρτηση  φ(χ) = εφχ     βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο  (π/3, φ(π/3))

4.  Έστω  φ  συνεχής συνάρτηση  για την οποία ισχύουν :  χ² + φ²(χ) = 25 και  φ(0)=-5,   βρείτε  (1) τον τύπο της συνάρτησης,  (2) το πεδίο ορισμού της,  (3) την εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο  (1, φ(1)),  (4)  σημείο όπου η εφαπτομένη ευθεία είναι παράλληλη προς την ευθεία (ε) : ψ = -χ + 7

5. Σώμα κινείται ευθύγραμμα και η θέση του δίνεται από τη σχέση : S(t) = t².(2t/3 -7) + 2.(10.t+1)    ( S->m, t->sec ), o<t<10.  Βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ταχύτητα γίνεται ελάχιστη, καθώς και την ταύτητα αυτή.  ( 7/2sec, -9/2m/s )