Θέμα Δ
Τα σώματα Σ₁, μάζας m₁ = 1 kg, και Σ₂, μάζας m₂ = 3 kg, του σχήματος είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο και εφάπτονται μεταξύ τους.   Το σώμα Σ₁ είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m.  Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά d = 0,4 m από τη θέση φυσικού μήκους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Κάποια χρονική στιγμή το νήμα κόβεται και το σύστημα των σωμάτων Σ₁ και Σ₂  κινείται προς τα δεξιά. Μετά την αποκόλληση το σώμα Σ₂ συνεχίζει να κινείται σε λείο δάπεδο και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το σώμα Σ₃,  μάζας m₃ = 2 kg.
Πάνω στο σώμα Σ₃ έχουμε τοποθετήσει πηγή S ηχητικών κυμάτων, αμελητέας μάζας, η οποία εκπέμπει συνεχώς ήχο συχνότητας  f_s = 1706 Hz.  Πάνω στο σώμα Σ₁ υπάρχει δέκτης Δ ηχητικών κυμάτων, αμελητέας μάζας.
Δ1.   Να προσδιορίσετε τη θέση στην οποία θα αποκολληθεί το σώμα Σ₂ από το σώμα Σ₁, τεκμηριώνοντας την απάντησή σας.

Δ2.   Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σώματος Σ₁, καθώς και το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελ εί το σώμα Σ₁ αφού αποκολληθεί από το σώμα Σ₂. 

Δ3.   Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωματώματος των σωμάτων Σ₂ και Σ₃  μετά την κρούση  και το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια κατά την κρούση. 

Δ4.   Να υπολογίσετε τη συχνότητα την οποία καταγράφει ο δέκτης Δ κάποια χρονική στιγμή μετά την κρούση κατά την οποία το σώμα Σ₁ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προς τα αριστερά.

Δίνεται ότι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ_ηχ = 340 m/s και η ηχητική πηγή δεν καταστρέφεται κατά την κρούση.

  το σώμα Σ₂  θα αποκολληθεί από το σώμα Σ₁  τη στιγμή που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος  

    ω² = k / (m₁ + m₂)  =  100 / 4  => ω = 5 rad/s         T = 2π/ω = 2π/5 s   

 εξίσωση ταλάντωσης    x(t) = 0,4 ημ(5t + 3π/2)    θετική φορά προς τα δεξιά

x(0) = 0,4 ημ(3π/2) = - 0,4 m           υ(t)  =  2 συν(5t + 3π/2)              α(t)  =  - 10 ημ(5t + 3π/2)  

            ΣF = (m₁ + m₂) a  =  4  {  - 10 ημ(5t + 3π/2)  }  =  - 40 ημ(5t + 3π/2)

για το ελατήριο έχουμε :   ΣF = (m₁ + m₂) a  =>  F_{ελατηρίου} (t)  =  - 40 ημ(5t + 3π/2)  

t = 0         F_{ελατηρίου} (0)  =  - 40 ημ(3π/2)  =  - 40 (-1) =  + 40 N  το ελατήριο είναι συσπειρωμένο και η δύναμη ελατηρίου είναι προς τη θετική κατεύθυνση ( δεξιά )   

t = T/4 = 2π/20 s   F_{ελατηρίου} (2π/20)  =  - 40 ημ(5 2π/20 + 3π/2)  =  - 40 ημπ =  0   φυσικό μήκος

t = T/2 = 2π/10 s   F_{ελατηρίου} (2π/10)  =  - 40 ημ(5 2π/10 + 3π/2)  =  - 40 ημ(π/2) =  - 40 N   το ελατήριο είναι επιμηκυμένο και η δύναμη ελατηρίου είναι προς την αρνητική κατεύθυνση ( αριστερά )   

t = 3T/4 = 6π/20 s   F_{ελατηρίου} (3π/10)  =  - 40 ημ(5 3π/10 + 3π/2) = - 40 ημ3π = 0   φυσικό μήκος

την στιγμή της αποκόλλησης τα σώματα έχουν ταχύτητα  υ = 2 m/s 

το σώμα (2)  θα συνεχίσει με την ίδια ταχύτητα  διότι το επίπεδο είναι λείο,   ενώ το σώμα (1)  θα δεχθεί την δύναμη του ελατηρίου που είναι αντίρροπη της ταχύτητάς του, διότι το ελατήριο θα αρχίσει να επιμηκύνεται, άρα  το σώμα (1)  θα κάνει επιβραδυνόμενη κίνηση

    ω₁² = k / m₁  = 100 / 1  => ω₁ = 10 rad/s         T₁ = 2π/ω₁ = 2π/10 = π/5 s

 όταν το σώμα Σ₂  αποκολληθεί από το σώμα Σ₁  βρίσκονται στη Θ.Ι.  και έχουν ταχύτητα  υ = 2 m/s    

 εκείνη τη στιγμή το Σ₁  έχει ενέργεια κινητική   Κ = ½ m₁  v²  = ½  k  A²  =>   1  2²  = 100  A²  =>  A = 0,2 m  

 εξίσωση ταλάντωσης  Σ₁ :   x₁ (t) = 0,2 ημ10t     θετική φορά προς τα δεξιά

                υ₁ (t)  =  2 συν10t          α₁ (t)  =  - 20 ημ10t 

πλαστική κρούση  

  διατήρηση της ορμής :  m₂  v₂ = ( m₂ + m₃ ) v_2,3  =>  3  2  =  5  v_2,3  => v_2,3 = 1,2 m/s

Q  =  K_2,3  -  K₂   =  0,5  5  1,2²  -  0,5  3  2²  =  3,6  -  6  =  - 2,4 J     

το συσσωμάτωμα κινείται προς τα δεξιά ( ηχητική πηγή )   ενώ το Σ₁  κινείται προς τα αριστερά 

  f₁  =  f_s  ( v_ηχ - υ₁ ) /  ( υ_ηχ + υ_2,3 )  =  1706  ( 340 - 2 ) / ( 340 + 1,2 )  =  1706  338 / 341,2  =  5  338  =  1690 Ηz

γενικά έχουμε :  

   f₁  =  f_s  ( v_ηχ + υ₁ ) /  ( υ_ηχ + υ_2,3 )  =>     f₁  =  1706  ( 340 + 2 συν10t ) /  ( 340 + 1,2 )   =>  

                 =>    f₁ (t) =  5  ( 340 + 2 συν10t ) =>   f₁ (t) =  1700 + 10 συν10t   

  t = T₁ / 4  =  π/20 s       f₁ (π/10) =  1700 + 10 συν(10 π/20)  =  1700 + 10 (0) =  1700 Hz  

            ο δέκτης είναι στιγμιαία ακίνητος στην θέση  x = +A = + 0,2 m 

  t = T₁ / 2  =  π/10 s       f₁ (π/10) =  1700 + 10 συν(10 π/10)  =  1700 + 10 (-1) =  1690 Hz  

   ο δέκτης διέρχεται από την θέση  x = 0  με ταχύτητα υ =  2 συν(10 π/20) = - 2 m/s     κινείται αντίθετα ως προς την πηγή

  t = 3T₁ / 4  =  3π/20 s       f₁ (π/10) =  1700 + 10 συν(10 3π/20)  =  1700 + 10 (0) =  1700 Hz  

            ο δέκτης είναι στιγμιαία ακίνητος στην θέση  x = -A = - 0,2 m 

  t = T₁   =  π/5 s       f₁ (π/10) =  1700 + 10 συν(10 π/5)  =  1700 + 10 (+1) =  1710 Hz  

   ο δέκτης διέρχεται από την θέση  x = 0  με ταχύτητα υ = 2 συν(10 π/5) = + 2 m/s       κινείται προς την πηγή

ΘΕΜΑ Δ

Ένας μοτοσικλετιστής κινούμενος με ταχύτητα υ₀ πλησιάζει προς μια ακίνητη ηχητική πηγή, που εκπέμπει ήχο συχνότητας fs=680Hz. Όταν ο μοτοσικλετιστής πλησιάσει σε απόσταση d₁=150m από την πηγή, φρενάρει ομαλά και εκτελώντας ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση σταματά αφού διανύσει διάστημα d_ολ=200m, δηλαδή ξεπερνά την ηχητική πηγή κατά 50m. Τη στιγμή που ο μοτοσικλετιστής προσπερνά την πηγή αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f_Α=660Hz. H ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα είναι υ_ηχ=340m/s.

Να υπολογίσετε:   

A) την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή τη στιγμή που φτάνει στην ηχητική πηγή.

B) την επιτάχυνση του μοτοσικλετιστή και το συνολικό χρόνο κίνησης, μέχρι ο μοτοσικλετιστής να σταματήσει.

Γ) τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μοτοσικλετιστής τη χρονική στιγμή που αρχίζει να εκτελεί

   ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

Δ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μοτοσικλετιστής σε

   συνάρτηση με το χρόνο κίνησής του.

Θεωρείστε ως t=0 τη χρονική στιγμή που αρχίζει η ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

  f₁  =  f_S  ( v_ηχ  -  v₁ ) / v_ηχ  =>    660 =  680 ( 340  -  v₁ ) / 340  =>  660  =  2 ( 340  -  v₁ )   =>    

                                       =>  660  =  680  -  2v₁    =>  v₁  =  10 m/s

    0  = υ₁  -  α t₂  =>  v₁  =  a t₂   

    d₂  =  v₁ t₂ - 0,5 a t₂²  =>   50  =  10 t₂ - 0,5 10 t₂  => t₂  =  10 sec   

     a =   v₁  / t₂   = 10 / 10 = 1 m/s²    

  v₁ = υ₀  -  α t₁  =>   10  = υ₀  -  1 t₁  =>  v₀  =  10 + t₁   

  d₁ =  v₀ t₁ - 0,5 a t₁²  =>  150  = (10 + t₁) t₁ - 0,5 1 t₁²  =>  150  =  10 t₁ +  t₁² - 0,5 t₁²  => 

                      =>    0  =  - 150  +  10 t₁ +  0,5 t₁²  =>  =>    0  =  - 300  +  20 t₁ +  t₁²  => 

    Δ  =  400 + 1200 = 1600                t₁  =  - 10  +  20  =  10 sec           t₁ + t₂ = 10 + 10 = 20 sec      v₀ = 10 + t₁  =  20 m/s 

  f '  =  f_S  ( v_ηχ  + v₀ ) / v_ηχ  =>    f '  =  680 ( 340  + 20 ) / 340  =  2  360  =  720 Hz

από  τη στιγμή που επιβραδύνεται ο μοτοσυκλετστης  πλησιάζει  την  ακίνητη πηγή ηχητικών κυμάτων  με ταχύτητα  

  v₁ = υ₀  -  α t  =>    υ₁  =  20  -  1 t   =>  v₁  =  20 - t       όπου  0 £ t < 10 sec  

αντιαμβάνεται  συχνότητα ήχου :   f₁  =  f_S ( v_ηχ + v₁ ) / v_ηχ  =  680 [ 340 + ( 20 - t ) ]  / 340  =  2 ( 360 - t ) =>   f₁ = 720 - 2t   

   όταν φθάνει στην ηχητική πηγή έχει ταχύτητα  10 m/s  και αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου   f = 720 - 2 10 = 700 Hz

τη στιγμή που προσπερνά την πηγή  έχει ταχύτητα  10 m/sπροσπερνά και απομακρύνεται από την ακίνητη πηγή

επιβραδυνόμενος   με ταχύτητα v₂ = υ₀'  -  α (t - 10)  =>   υ₂  =  10  -  1 (t - 10)   =>  v₂  =  20 - t      όπου  10 s < t £ 20 s  

αντιαμβάνεται  συχνότητα ήχου :   f₂  =  f_S ( v_ηχ - v₂ ) / v_ηχ  =  680 [ 340 - ( 20 - t ) ]  / 340  =  2 ( 320 + t ) =>   f₂ = 640 + 2t   

  τη στιγμή που προσπερνά την πηγή  με ταχύτητα  10 m/s  αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου

    f '  =  f_S  ( v_ηχ  -  v ) / v_ηχ  =>    f '  =  680 ( 340  - 10 ) / 340  =>  f '  =  2 ( 340  -  10 )   =>   f '  =  660 Hz  =  ( 640 + 2 10 ) Hz  

  όταν σταματά ο μοτοσυκλετιστής αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου   f_τελική  =  ( 640 + 2 20 ) Hz   =  680 Hz

                        συνοπτικά έχουμε :

             t (sec)       0                                                                    10                                                                  20

             f (Hz)      720             f₁ = 720 - 2t                       700   660                 f₂ = 640 + 2t                 680

             x(m)        0                                                                    150                                                                 200

             στο σημείο   t = 10 s   η συνάρτηση  f(t)   είναι ασυνεχής

ΘΕΜΑ Δ

Ένα σώμα, Σ₁, μάζας m₁=2kg, ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Σε απόσταση d=40cm από το σώμα Σ₁ βρίσκεται ακίνητο δεύτερο σώμα, Σ₂, μάζας m₂ =4kg, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Στο σώμα Σ₁ υπάρχει ενσωματωμένος δέκτης ήχου, Δ, και στο σώμα Σ₂ πηγή ήχου, S, συχνότητας fs=1020 Hz. Συμπιέζουμε το ελατήριο κατά A=50cm και αφήνουμε το σώμα Σ₁ ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Όταν το σώμα Σ₁ φτάσει στη θέση του σώματος Σ₂ συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά μ' αυτό.

Να υπολογίσετε:

A) την ταχύτητα του σώματος Σ₁ ελάχιστα πριν συγκρουστεί με το σώμα Σ₂.

B) τις συχνότητες των ήχων που ανιχνεύει ο δέκτης, ελάχιστα πριν τη σύγκρουση και ελάχιστα μετά.

Γ) το λόγο της μέγιστης προς την ελάχιστη συχνότητα που ανιχνεύει ο δέκτης κατά την ταλάντωσή του,

  μετά την κρούση.

Δ)  τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος Σ₁, όταν ο δέκτης του ανιχνεύει τον ήχο της πηγής με

   συχνότητα f_Α=1020Hz.

(Α)      ω² = k / m₁  =  200 / 2  => ω = 10 rad/s         T = 2π/ω = π/5 s   

 εξίσωση ταλάντωσης    x(t) = 0,5 ημ(10t + 3π/2)    θετική φορά προς τα δεξιά

x(0) = 0,5 ημ(3π/2) = - 0,5 m           υ(t)  =  5 συν(10t + 3π/2)            α(t)  =  - 50 ημ(10t + 3π/2)  

            ΣF = m₁ a  =  2  {  - 50 ημ(10t + 3π/2)  }  =  - 100 ημ(10t + 3π/2)

για το ελατήριο έχουμε :   ΣF = m₁  =>  F_{ελατηρίου} (t)  =  - 100 ημ(10t + 3π/2)  

  F_{ελατηρίου} (0)  =  - 100 ημ(3π/2)  =  +100 Ν  οριζόντια με φορά προς τα δεξιά =  200 N/m  0,5 m  =  k A

   όταν  x = + 0,4 m  =>  0,5 ημ(10t + 3π/2)  =  +0,4  =>  ημ(10t + 3π/2) = +0,8  

  τότε   συν(10t + 3π/2) = +0,6  ή   -0,6   άρα   υ = +3 m/s    ή   -3 m/s 

  επειδή το σώμα Σ₁  κινείται προς τα δεξιά  (θετική φορά)  τότε υ = +3 m/s 

                  ο δέκτης αντιλαμβάνεται  μήκος κύματος  λ_δ =  λ =  υ_ηχ / f_S  =  340 / 1020 m  =  1/3 m

                     και  συχνότητα ήχου  f_δ = ( υ_ηχ + υ(t) ) / λ =   f_S ( υ_ηχ + υ(t) ) / υ_ηχ  =

                            =  1020  ( 340 + 5 συν(10t + 3π/2) ) / 340  =   3  ( 340 + 5 συν(10t + 3π/2) )  =

                          =>     f_δ (t)  =  1020 + 15 συν(10t + 3π/2) )     μέχρι να συγκρουστούν τα σώματα

    συγκρούεται μετωπικά - ελαστικά με το Σ₂    

  v₁'  =  v₁ (m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)  =  3 (2 - 4) / (2 + 4)  =  - 1 m/s  

  v₂'  =  2 v₁ m₁ / (m₁ + m₂)  =  2 3 2 / (2 + 4)  =  + 2 m/s  

(Β)

ελάχιστα πριν την κρούση :  ο δέκτης πλησιάζει την ακίνητη πηγή,   η ταχύτητα του ήχου ως προς τον δέκτη είναι  υ_ηχ + υ₁ = 340 + 3 = 343 m/s    

ο δέκτης αντιλαμβάνεται  μήκος κύματος  λ_δ =  λ =  υ_ηχ / f_S  =  340 / 1020 m  =  1/3 m

 και  συχνότητα ήχου  f_δ = (υ_ηχ + υ₁) / λ =  f_S ( υ_ηχ + υ₁ ) / υ_ηχ  =  1020  343 / 340 =  3 343 = 1029 Hz

ελάχιστα μετά την κρούση :  ο δέκτης απομαρύνεται από την πηγή,   η ταχύτητα του ήχου ως προς τον δέκτη είναι  υ_ηχ - |υ₁'| = 340 - 1 = 339 m/s      

  η πηγή απομακρύνεται από τον δέκτη με ταχύτητα  υ₂'   συνεπώς   ο δέκτης αντιλαμβάνεται μήκος κύματος  λ_δ = (υ_ηχ + υ₂') / f_S 

ο δέκτης αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου  f_δ' =  f_S (υ_ηχ -|υ₁'|) / (υ_ηχ + υ₂') =  1020  (340 - 1) / (340 + 2) =  1020  339 / 342  Hz

(Γ)

μετά την κρούση το Σ₁  είναι σε απομάκρυνση  x = +0,4m  και έχει ταχύτητα v = -1m/s

1/2 200 Α'²  =  1/2  2 1²  +  1/2  200  0,4²    =>   200 Α'²  =  2  +  200  0,16  = 34  =>  Α'² = 0,17   =>   Α'  =  0,4123 m =  0,17^½  m

εξίσωση ταλάντωσης    x(t) = 0,17^½ ημ(10t + φ)    θετική φορά προς τα δεξιά

                                      x(0) = 0,17^½ ημφ  =  +0,4 m    

    υ(t)  =  0,17^½ 10  συν(10t + φ)  =>     υ(0) = 0,17^½ 10  συνφ  =  - 1 m/s                εφφ =  - 4   

    a(t) =  - 100 0,17^½ ημ(10t + φ)

                 ο δέκτης αντιλαμβάνεται  μήκος κύματος  λ_δ =  λ =  υ_ηχ / f_S  =  340 / 1020 m  =  1/3 m

                     και  συχνότητα ήχου  f_δ = ( υ_ηχ + υ(t) ) / λ =   f_S ( υ_ηχ + υ(t) ) / υ_ηχ  =

                            =  1020  ( 340 + 5 συν(10t + 3π/2) ) / 340  =   3  ( 340 + 5 συν(10t + 3π/2) )  =

                          =>     f_δ (t)  =  1020 + 15 συν(10t + 3π/2) )     μέχρι να συγκρουστούν τα σώματα

  μετά την κρούση :  ο δέκτης κινείται με ταχύτητα  υ(t)  =  0,17^½ 10  συν(10t + φ) ,   η ταχύτητα του ήχου ως προς τον δέκτη είναι  υ_ηχ + υ(t)   =  340  + 0,17^½ 10  συν(10t + φ)    

  η πηγή απομακρύνεται από τον δέκτη με ταχύτητα  υ₂'   συνεπώς   ο δέκτης αντιλαμβάνεται μήκος κύματος  λ_δ = (υ_ηχ + υ₂') / f_S 

ο δέκτης αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου  f_δ' =  f_S (υ_ηχ + υ(t)) / (υ_ηχ + υ₂') = 

                                      = 1020 [ 340  + 0,17^½ 10  συν(10t + φ) ] / (340 + 2)   =>                       

                 =>    f_δ' =   1020/342  [ 340  + 0,17^½ 10  συν(10t + φ) ]    

   f_{δ,μεγιστη}' =   1020/342  ( 340  + 0,17^½ 10 )             f_{δ,ελάχιστη}' =   1020/342  ( 340  -  0,17^½ 10 ) 

(Δ)     f_δ' =   1020/342  [ 340  + 0,17^½ 10  συν(10t + φ) ]   =  1020 Hz   =>

         =>     [ 340  + 0,17^½ 10  συν(10t + φ) ]   =  342   =>

         =>      17^½   συν(10t + φ)    =  2   =>     συν(10t + φ)    =  2 / 17^½     =>

         =>    ημ(10t + φ)    =  ± (13/17)^½    

ρυθμός μεταβολής ορμής : 

dp/dt  =  ΣF = m₁ a  =  2  { - 100 0,17^½ ημ(10t + φ) }  =   - 200 0,17^½ (± (13/17)^½ ) =  ± 20 13^½ N