μηχανική στερεού σώματος

Αβαρής ράβδος μήκους 3d (d=1m) μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα, που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το Ο. Στο άκρο Α που βρίσκεται σε απόσταση 2d από το Ο υπάρχει σημειακή μάζα m_Α και στο σημείο Γ, που βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο υπάρχει επίσης σημειακή μάζα m_Γ = 6 kg. Στο άλλο άκρο της ράβδου, στο σημείο Β, είναι αναρτημένη μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος, τροχαλία μάζας Μ = 4 kg από την οποία κρέμονται οι μάζες m₁ και m₂ = m₃ =1 kg. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα Ο΄. Το σύστημα ισορροπεί με όλα τα μέλη του ακίνητα και τη ράβδο στην οριζόντια θέση.

A₁. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στις μάζες m₁ , m₂ , m₃ καθώς και στην τροχαλία. Να υπολογίσετε την τιμή της μάζας m₁.

Α₂. Να υπολογίσετε την τιμή της μάζας m_Α

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει τις μάζες m₂ , m₃. Η ράβδος  συνεχίζει να ισορροπεί σε οριζόντια θέση υπό την επίδραση κατάλληλης ροπής ζεύγους δυνάμεων. Η m₁ κατέρχεται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου a₁=2m/s²  ενώ η μάζα m₂ ανέρχεται. Το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας.

Α₃. Να υπολογίσετε τη ροπή του ζεύγους δυνάμεων που ασκείται στη ράβδο, ώστε αυτή να ισορροπεί σε οριζόντια θέση.

Μετά από λίγο κόβουμε το νήμα Ο΄Β, που συνδέει την τροχαλία με τη ράβδο. Η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το Ο.

Με δεδομένο ότι δεν εμφανίζεται τριβή στον άξονα κατά την περιστροφή της ράβδου, η μηχανική ενέργεια του συστήματος των μαζών m_Α και  m_Γ διατηρείται σταθερή.

Α₄. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση καθώς και την επιτάχυνση της μάζας m_Γ την ίδια στιγμή.

Όταν η σημειακή μάζα m_Α φτάνει στο κατώτατο σημείο, δηλαδή τη στιγμή που η ράβδος είναι κατακόρυφη, συγκρούεται πλαστικά με ακίνητη σημειακή μάζα m₄ = 5kg.

Α₅.  Να υπολογίσετε τη γραμμική ταχύτητα της σημειακής μάζα m_Α αμέσως μετά την κρούση καθώς και την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση.

Α₆. Να υπολογίσετε το συνφ της γωνίας φ που σχηματίζει η ράβδος με την κατακόρυφη τη στιγμή που μηδενίζεται η γωνιακή της ταχύτητα.                                                  Δίνεται: g=10 m/s² 

Α1.    ισορροπία Σ3 :  m₃ g  = T_2,3 = 10 N           ισορροπία Σ2 :  m₂ g  + T_2,3  =  T_2,τρ  = 10 + 10 = 20 N    

  ισορροπία Σ1 :  m₁ g  =  T_1,τρ    

 ισορροπία τροχαλίας :  Στ(Ο') = 0  => T_1,τρ R = T_2,τρ R  =>   T_1,τρ  = T_2,τρ  = 20 N  =>  m₁ = 2 kg       

                                   ΣF_y  =  0  =>  T_τρ,ραβ  =  Μ_τρ g +  2 T_1,τρ  =  40 + 2 20 => T_τρ,ραβ  = 80 N  

 ισορροπία ράβδου :   Στ(Ο) = 0  =>   m_Α g (ΟΑ)  +   m_Γ g (ΟΓ)  = T_τρ,ραβ (ΟΒ)  =>    m_Α g 2m  +  60N 1m  = 80N 1m  =>  m_A = 1 kg 

Α3.     m₁ g  -  T_1,τρ  =  m₁ a₁  =>   20  -  T_1,τρ  =  4  =>  T_1,τρ  =  16 N        

  a₁  = R α_γων      Στ(Ο') =  T_1,τρ R - T_2,τρ R  =  ½  M R²  α_γων  =>   T_1,τρ  - T_2,τρ   =  ½  M  α₁  =>  

                               =>    16  - T_2,τρ   =  ½  4  2  =>   T_2,τρ  = 12 Ν  

     T_2,τρ  -  m₂ g  =  m₂ a₂  =>   12  -  10  =  1 a₂  =>   a₂  =  2 m/s²      το σώμα (2)  ανέρχεται με επιτάχυνση   a₂ = 2 m/s²  

   ΣF_y  =  0  =>  T_τρ,ραβ  =  Μ_τρ g +  T_1,τρ  + T_2,τρ  =  40 + 16  + 12  =>  T_τρ,ραβ  = 68 N        

  ισορροπία  ράβδου :  Στ(Ο)  =   m_Α g (ΟΑ)  +   m_Γ g (ΟΓ)  - T_τρ,ραβ (ΟΒ)  =   10  2  +   60  1  -  68  1   =  12 Nm    αριστερόστροφη ροπή

  για να ισορροπεί οριζόντια η ράβδος  πρέπει  να ασκηθεί   δεξιόστροφη ροπή  με μέτρο  12 Nm    

Α4.     m_A g 2d  +  m_Γ g d   =    ½ m_A v_A²   +   ½ m_Γ v_Γ²    =>     

    =>   m_A g 2d  +  m_Γ g d    =    ½ m_A ω² 4d²  +   ½ m_Γ ω² d²    =>

    =>   10 2  +  60     =    ½ 1 ω² 4  +   ½ 6 ω²      =>

    =>   20  +  60    =    2 ω²   +   3 ω²   =>      ω²  =  80 / 5  =  16  =>   ω  =  4 rad/s  

 η μάζα  m_Γ     έχει κεντρομόλο επιτάχυνση   α_κ(Γ)  =  υ_Γ² / d  =  ω² d  =  16 1  =  16 m/s²       

Α5.  διατήρηση στροφορμής :   m_A v_A 2d  +  m_Γ v d  =  m_A ω 4d²  +  m_Γ  ω d²  =  ( m_A + m₄ ) ω' 4d²  +  m_Γ ω' d²  =>  

    =>   1  4  4  +   6  4  1   =  ( 1 + 5 )  ω'  4  +   6  ω' 1  =>    16  + 24   =  30 ω'  =>   ω' =  4/3 rad/s    

     ΔK  =  Κ_τελ  -  Κ_αρχ  =  ½ ( m_A + m₄ ) ω'² 4d²  +   ½ m_Γ ω'² d²   -  ( ½ m_A ω² 4d²  +   ½ m_Γ ω² d² )  =  ½  6  16/9  4  +   ½  6  16/9   -  ( ½ 1  16 4  +   ½ 6 16 )  =  240/9  -  80  =  - 480/9 Joule   =>  ΔΚ  =  - 160/3 Joule 

Α6.     διατήρηση ενέργειας :      ½ ( m_A + m₄ ) ω'² 4d²  +   ½ m_Γ ω'² d²   =   ( m_A + m₄ )  g  2d (1 - συνφ)   +    m_Γ  g  d (1 - συνφ) =>

  =>   ½  6  16/9  4  +   ½  6  16/9   =   60  2 (1 - συνφ)   +   60  1 (1 - συνφ)    =>

  =>    64/3  +   16/3   =   120 (1 - συνφ)   +   60 (1 - συνφ)    =>

  =>   80/3  = 180  - 180 συνφ  =>  180 συνφ = 180  - 80/3  = 460/3  =>  συνφ = 460/540 = 46/54  => συνφ = 23/27