ΘΕΜΑ Γ
Η λεπτή ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΓ του σχήματος που έχει μήκος (ΑΓ)=l=4m και μάζα m=6kg στηρίζεται με άρθρωση στο σημείο Δ όπου (ΑΔ)=1m διατηρείται οριζόντια με τη βοήθεια αβαρούς και μη εκτατού νήματος ΑΒ του οποίου το άλλο άκρο (Β) είναι δεμένο μόνιμα στο έδαφος. Στο άκρο Γ της ράβδου βρίσκεται ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100N/m στο κάτω άκρο του οποίου είναι δεμένο μικρό σώμα Σ μάζας m=1kg το οποίο ισορροπεί.
Θετική κατεύθυνση : κατακόρυφη προς τα επάνω και οριζόντια προς τα δεξιά.
Γ1. Βρείτε την δύναμη που ασκείται στην ράβδο στην άρθρωση σημείο Δ.
Ανυψώνουμε κατακόρυφα το σώμα Σ μέχρι το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του μήκος και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει Α.Α.Τ.
Γ2. Να γράψετε την εξίσωση της τάσης του νήματος στο άκρο του Β και της δύναμης που ασκείται στην ράβδο στην άρθρωση στο σημείο Δ, συναρτήσει του χρόνου.
Ενώ το σώμα Σ ταλαντώνεται δεύτερο σώμα Σ' μάζας m'=1kg κινούμενο κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα υ0 συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με το σώμα Σ. Η κρούση γίνεται τη στιγμή που το σώμα Σ βρίσκεται στην κατώτατη θέση της ταλάντωσής του.
Γ3. Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυσης του Σ συναρτήσει του χρόνου εάν το νήμα είναι συνεχώς τεντωμένο ενώ το σώμα Σ ταλαντώνεται με το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης. Πόση είναι η ταχύτητα υ0;
επίλυση
Γ1. ισορροπία σώματος Σ : ΣF = 0 =>
=> Fελατ + mg = 0 => 100 N/m Δl0 - 1 kg 10 m/s2 = 0 => Δl0 = 0,1 m επιμήκυνση Fελατ = +10 N
στο άκρο Γ της ράβδου ασκείται αντίθετη δύναμη από το ελατήριο με μέτρο F'ελατ = 10 Ν F'ελατ = -10 N
ΔΑ = -1m ΔΚ = +1m ΔΓ = +3m Mg = -60N F'ελατ = -10N τ = r x F
ροπές ως προς Δ : Στ(Δ) = 0 => ΔΑ x Τ + ΔΚ x Mg + ΔΓ x F'ελατ = 0 =>
=> (-1m) Τ + 1m (-60Ν) + 3m (-10Ν) = 0 => Τ = -90 Ν τάση νήματος στο άκρο Α της ράβδου κατακόρυφη προς τα κάτω
Τ' = -Τ = +90 Ν στο άκρο Β του νήματος κατακόρυφη προς τα επάνω
ισορροπία ράβδου ΑΓ: ΣF = 0 => FΔ + Μg + Τ + F'ελατ = 0 => FΔ - 60Ν - 90Ν - 10Ν = 0 => FΔ = +160 Ν
Γ2. απλή αρμονική ταλάντωση σώματος Σ : k = mω2 => 100 = 1 ω2 => ω = 10 rad/s f = 5/πHz T = π/5s
y = 0,1 ημ(10t + π/2) υ = 1 συν(10t + π/2) α = - 10 ημ(10t + π/2) = - 100 y
ΣF = mα => Fελατ + mg = mα => Fελατ - 10 = -10 ημ(10t + π/2) => Fελατ(t) = 10 - 10 ημ(10t + π/2)
F'ελατ(t) = - Fελατ(t) = - 10 + 10 ημ(10t + π/2) = - 10 + 100y δύναμη ελατηρίου στο άκρο Γ της ράβδου
F'ελατ(0) = - 10 + 10 ημ(π/2) = 0 αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος
F'ελατ(π/20) = - 10 + 10 ημ(10 π/20 + π/2) = - 10 Ν = F'ελατ(3π/20)
F'ελατ(π/10) = - 10 + 10 ημ(10 π/10 + π/2) = - 20 Ν
ροπές ως προς Δ : Στ(Δ) = 0 => ΔΑ x Τ + ΔΚ x Mg + ΔΓ x F'ελατ = 0 =>
=> (-1m) Τ + 1m (-60Ν) + 3m ( -10 + 10 ημ(10t + π/2) ) = 0 =>
=> Τ(t) = - 90 + 30 ημ(10t + π/2) = - 90 + 300y όπου - 0,1 m £ y £ + 0,1 m τάση νήματος στο άκρο Α της ράβδου κατακόρυφη προς τα κάτω
Τ(0) = - 90 + 30 = - 60 Ν Τ(π/20) = - 90 + 30 ημ(10 π/20 + π/2) = - 90 + 30 ημπ = - 90 Ν = Τ(3π/20)
T'(t) = 90 - 30 ημ(10t + π/2) τάση του νήματος στο άκρο Β κατακόρυφη προς τα επάνω μέγιστο μέτρο = 120 Ν , ελάχιστο μέτρο = 60 Ν
ισορροπία ράβδου ΑΓ : ΣF = 0 => FΔ + Μg + Τ + F'ελατ = 0 =>
=> FΔ - 60 - 90 + 30 ημ(10t + π/2) - 10 + 10 ημ(10t + π/2) = 0 =>
=> FΔ(t) = 160 - 40 ημ(10t + π/2) = 160 - 400y όπου - 0,1 m £ y £ + 0,1 m
αρχικά t=0 y = +0,1m T = 60 N και Mg = 60 N κατακόρυφα προς τα κάτω άρα FΔ(t) = 120 Ν κατακόρυφα προς τα επάνω
Γ3. όταν το Σ είναι στην κατώτατη θέση της ταλάντωσής του έχει ταχύτητα μηδέν και επειδή τα δύο σώματα έχουν ίσες μάζες τότε ανταλλάσσουν ταχύτητες άρα το Σ αποκτά ταχύτητα υ0 κατακόρυφη προς τα επάνω ενώ το Σ' ακινητοποιείται στιγμιαία και μετά θα κάνει ελευθερη πτώση.
η τάση του νήματος στο άκρο Α της ράβδου είναι Τ = - 90 + 300y όπου - 0,1m £ y £ + 0,1m για την ταλάντωση του σώματος Σ
οριακά έχουμε Τ = 0 => y = 90 / 300 m = 0,3 m
συνεπώς το νέο πλάτος ταλάντωσης θα είναι : Α' = 0,3 m η θέση ισορροπίας παραμένει η ίδια όπως και η ω
τότε : y' = 0,3 ημ(10t + φ) => - 0,1 = 0,3 ημφ => ημφ = -1/3 συνφ = +[ 1 - (-1/3)2 ]½ = +8½/3
υ' = 3 συν(10t + φ) t=0 v' = 3 συνφ = 3 8½/3 = 8½m/s = v0 κατακόρυφη προς τα πάνω