άξονας x :  ευθύγραμμη ομαλή     x = v₀ t =  3.t     t = 8s   x = 24 m

  άξονας y :  ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη    a = F/m = 1/2 m/s²     y = 0,5 a t² =  0,5  0,5  t² = t²/4       v_y = a t =  t/2             

  t = 8s       y = 8²/4 = 16 m         v_y = 8/2 = 4 m/s   

    v₁² = 3² + 4² = 5²  =>  v₁ = 5 m/s    εφφ = v_y / v₀ = 4/3               (x , y)  =  ( 24 m , 16 m )

v₁'  =  v₁ (m₁ - m₂)/(m₁ + m₂)  +  2 v₂ m₂ / (m₁ + m₂)  =  5 (2 - 3) / 5  +  2 v₂ 3 / 5  =>  

  0  =  - 1  +  v₂ 6/5  =>  v₂ = 5/6 m/s     με κατεύθυνση αντίρροπη της  v₁   

επειδή μετά τη κρούση ασκείται η F  πάνω στη Α  κατά τον άξονα y  αυτή θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη   στον άξονας y  χωρίς αρχική ταχύτητα    a = F/m = 1/2 m/s²     y = 0,5 a t² =  0,5  0,5  t² = t²/4       v_y = a t =  t/2             για  t = 10 - 8 = 2 s       y = 2²/4 = 1 m          v_1,y = 2/2 = 1 m/s  

  η θέση της Α  τη στιγμή  t = 10 s  είναι   (x , y)  =  ( 24 m , 17 m )

αν μετά την κρούση η  Α  έχει ταχύτητα ίση με την αρχική της  (κατά τον άξονα x)

  v₁'  =  v₀  =>  v₁ (m₁ - m₂)/(m₁ + m₂)  +  2 v₂ m₂ / (m₁ + m₂)  =  3 m/s  =>  

 =>  3  (2 - 3)/5  +  2 v₂ 3 / 5  =  3  =>  - 3/5  +  2 v₂ 3 / 5  =  3  =>   v₂ 6/5  =  18/5  =>  v₂ = 3 m/s

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Ο, ηρεμεί μια σφαίρα Α μάζας m₁=2kg. Σε μια στιγμή t=0 η σφαίρα δέχεται κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτήσει αρχική ταχύτητα μέτρου υ_ο=3m/s, ενώ ταυτόχρονα δέχεται μια σταθερή δύναμη μέτρου F=1Ν, κάθετη στην αρχική ταχύτητα. Ας δεχτούμε το σημείο Ο ως αρχή ενός συστήματος αξόνων x,y όπου η αρχική ταχύτητα έχει την διεύθυνση του άξονα x και η δύναμη την διεύθυνση του άξονα y, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή t₁=8s, η σφαίρα Α συγκρούεται ελαστικά με σφαίρα Β, μάζας m₂=3kg, ενώ η δύναμη F συνεχίζει να ασκείται πάνω της και μετά την κρούση. Οι σφαίρες είναι λείες και δεν αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής, στη διάρκεια της κρούσης.

i)   Αν η κρούση είναι κεντρική, ενώ μετά την κρούση η σφαίρα Α αποκτά μηδενική ταχύτητα:

α)  Να βρεθεί η ταχύτητα της Β σφαίρας, ελάχιστα πριν την κρούση.

β)  Να βρεθεί η θέση της σφαίρας Α την χρονική στιγμή t₂=10s.

ii)   Αν μετά την κρούση η σφαίρα έχει ταχύτητα ίση με την αρχική της ταχύτητα υ_ο:

α)  Να βρεθεί η ελάχιστη ταχύτητα της Β σφαίρας, λίγο πριν την κρούση.

β)  Να βρεθεί η θέση της σφαίρας Α την χρονική στιγμή t₂=10s.

γ)  Να συγκριθούν τα έργα της δύναμης F, από 0-t₁ και της δύναμης που ασκήθηκε στην Α σφαίρα κατά την κρούση.

Σώμα μάζας m₁ κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου υ₁ = 15m/s
κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m₂. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται
αμελητέα.   Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας m₁ κινείται αντίρροπα με ταχύτητα που έχει μέτρο υ₁' = 9m/s.

α. Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών .

β. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m₂ αμέσως μετά την κρούση.

γ. Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m₁ που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας m₂ λόγω της κρούσης.

δ. Να υπολογισθεί πόσο θα απέχουν τα σώματα όταν σταματήσουν.

ε. Να υπολογισθεί η μεταβολή της ορμής των σωμάτων λόγω της κρούσης αν m₁ = 1 kg.

Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε σώματος είναι μ=0,1.

 a)    v₁' = v₁ (m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)  =>  - 9  =  15 (m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)  => 

=>  - 9 (m₁ + m₂)  =  15 (m₁ - m₂)   =>  - 9 m₁ - 9 m₂ = 15 m₁ - 15 m₂  =>   6 m₂ = 24 m₁ =>   m₂ = 4 m₁ 

β)     v₂'  =  2 m₁ v₁ / (m₁ + m₂)  =  2 m₁ 15 / 5m₁   =>  v₂' = +6 m/s         

γ)    (Κ₁' - Κ₁) / Κ₁  =   ( v₁'/v₁ )²  -  1  =  ( 9/15 )²  -  1  = ( 3/5 )²  -  1  =  0,36 - 1 = - 0,64           - 60 %

δ)    α = μ g = 0,1  10   = 1 m/s²    επιβράδυνση σωμάτων   

  ½  m₁ (v₁')²  =  Τ₁ s₁  =  μ m₁ g s₁  =>    ½  (v₁')² =  μ g s₁  =>  s₁  =  (v₁')² / 2μg  =  9² / (2 0,1 10)  =  40,5 m

  ½  m₂ (v₂')²  =  Τ₂ s₂  =  μ m₂ g s₂  =>    ½  (v₂')² =  μ g s₂  =>  s₂  =  (v₂')² / 2μg  =  6² / (2 0,1 10)  =  18 m

          s₁ + s₂ = 40,5 m + 18 m = 58,5 m   αποσταση σωμάτων

ε)     Δp₁ =  m₁ v₁'  -  m₁ v₁  =  1 kg  (- 9 m/s)  -  1 kg  15 m/s  =>   Δp₁ =  - 24 kg m/s            

        Δp₂ =  m₂ v₂'  -  m₂ v₂  =  4 kg  6 m/s  -  4 kg  0  =>  Δp₂ = + 24 kg m/s           

 m₁ v₁ ημ30°  =  (m₁ + m₂) u  =>  0,1  60  1/2  =  3 u  =>  u = 1 m/s   οριζόντια προς τα δεξιά

 Δp_1,x =  m₁ u  -  m₁ v₁ ημ30°  =  0,1  1  -  0,1 60 1/2  =  0,1  -   3  =  - 2,9 kg m/s

 Δp_1,y =  0  -  m₁ v₁ συν30°  =  0  -  0,1 60 √3/ 2  =   - 3√3 kg m/s

Δp²  =   2,9²  +  (3√3)²  =  8,4  + 27 =  35,4  =>  Δp  = √35,4 kg m/s

 Δp_2,x =  m₂ u  -  0  =  2,9 kg m/s

ΘΕΜΑ  Β
Η σφαίρα του σχήματος κινείται σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβές. Η σφαίρα προσκρούει στον λείο κατακόρυφο τοίχο υπό γωνία πρόσπτωσης φ=30°. Στη διάρκεια της επαφής, η δύναμη F που δέχεται η σφαίρα από τον τοίχο είναι κάθετη στον τοίχο. Η σφαίρα μετά την κρούση έχει κινητική ενέργεια ίση με το 1⁄4 της κινητικής ενέργειας που είχε πριν την κρούση Κ’=Κ/4. Η σφαίρα μετά την κρούση κινείται:
(i) κάθετα στον τοίχο, στη διεύθυνση της δύναμης F

(ii) παράλληλα στον τοίχο
(iii) σε διεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ=30° με την κάθετη στον τοίχο στο σημείο πρόσπτωσης
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

ΘΕΜΑ  Γ
Στη θέση Ο, σε ορισμένο ύψος από το έδαφος, συγκρατούμε δυο σφαίρες Α και Β με μάζες m₁=1kg και m₂=2kg. Σε μια στιγμή αφήνουμε την Β να πέσει και μετά από λίγο αφήνουμε την Α. Η σφαίρα Β συγκρούεται με το έδαφος και επιστρέφοντας κατά την άνοδο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με την Α, η οποία κατέρχεται, έχοντας τη στιγμή της κρούσης ταχύτητα μέτρου υ₁=3m/s. Μετά την κρούση η σφαίρα Α επιστρέφει στο σημείο Ο με μηδενική ταχύτητα. Να υπολογίσετε:
Γ1. τη μεταβολή της ορμής και τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας A κατά την κρούση των δύο σφαιρών.
Γ2. την ταχύτητα υ₂ της σφαίρας Β οριακά πριν την κρούση
Γ3. την απώλεια της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση της σφαίρας Β με το έδαφος.
Δίνεται g=10m/s².  Οι σφαίρες θεωρούνται υλικά σημεία. Θετική φορά του κατακόρυφου άξονα λαμβάνουμε αυτή του βάρους.

Γ1.   η σφαίρα Α κατεβαίνοντας έχει ταχύτητα  υ₁=3m/s   επειδή ανεβαίνοντας μετά την κρούση φθάνει στην αρχική θέση Ο με μηδενική ταχύτητα αυτό σημαίνει ότι  αμέσως μετά την κρούση έχει ταχύτητα  υ₁'=-3m/s    οπότε :  Δp₁ =  m₁ v₁'  -  m₁ v₁  =  1 kg  (- 3 m/s)  -  1 kg  3 m/s  =>   Δp₁ =  - 6 kg m/s       

  ΔΚ₁  =  Κ₁' - Κ₁  =  ½ m₁ (v₁')²  -  ½ m₁ v₁²  =  ½  1  (-3)²  -  ½  1  3²  =  0  

Γ2.   v₁' = v₁ (m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)  +  2 m₂ v₂ / (m₁ + m₂)  =>

  =>  - 3  =  3 (1 - 2) / (1 + 2)  +  2 2 v₂ / (1 + 2)    =>  - 3  =  - 1  +  4 v₂ / 3  =>  v₂ = - 1,5 m/s    

Γ3.     το σημείο πουγίνεται η κρούση απέχει από το δάπεδο απόσταση h  

σε εκείνο το σημείο η σφαίρα Α κατεβαίνοντας έχει ταχύτητα μέτρου  υ₁=3m/s  τόση ταχύτητα έπρεπε να έχει η σφαίρα Β αν η κρούση με το δάπεδο ήταν ελαστική   όμως έχει ταχύτητα μέτρου  υ₂=1,5m/s     οπότε 

  ΔΚ₂  =  Κ₂' - Κ₂  =  ½  2  1,5²  -  ½  2  3²  =   2,25  -  9  =  - 6,75 J