ΑΣΚΗΣΗ  8 
Το σώμα μάζας m = 10 kg ισορροπεί ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k = 250 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο. Ασκούμε στο σώμα δύναμη κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου έτσι ώστε το ελατήριο να επιμηκύνεται το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται με την επιμήκυνση του ελατηρίου σύμφωνα με τη σχέση F = 75 + 250x (SI). Η δύναμη F καταργείται όταν η επιμήκυνση του ελατηρίου γίνει x = 0,2 m. Ο λόγος υmax/υ′max όπου υmax η μέγιστη ταχύτητα του σώματος όταν ασκείται η δύναμη και υ′max η μέγιστη ταχύτητα του σώματος αφού καταργηθεί η δύναμη  είναι:    α. (√3)/2       β. 1/2       γ. 1

Βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος συναρτήσει του χρόνου.

 

 ΑΣΚΗΣΗ  9 
Το σώμα Σ μάζας   m = 1 kg  του σχήματος είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς   k = 400 N/m.  Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο.  Το σύστημα ελατήριο – σώμα Σ ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο.  Τη χρονική στιγμή    t0 = 0  ασκείται στο σώμα Σ σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου   F  με αποτέλεσμα το σύστημα να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους  A = 0,4 m.       Να βρεθεί :
α)  Το μέτρο F  της δύναμης.
β)  Η εξίσωση  x = f(t)  της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας.
γ)  Η εξίσωση   Fελατ = f(t)   της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα.
δ)  Το πλάτος  Α'  και η ολική ενέργεια  Ε'  της νέας ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα, αν κάποια στιγμή που το σώμα βρίσκεται στην ακραία θετική θέση ταλάντωσης, καταργηθεί η δύναμη  F.  Βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος συναρτήσει του χρόνου.
 
 

    F = 75 + 250 x           F = 0   =>  x = - 75 / 250 = - 0,3 m         Fελατ = - k x = - 250 N/m  (- 0,3 m) = 75 N  

 

  ΣF  =  F  +  Fελατ =  75 + 250 x -  250 x  =  75 N σταθερή δύναμη   άρα το σώμα θα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα  με επιτάχυνση   α = ΣF / m = 75 N / 10 kg =  7,5 m/s2    

το σώμα διανύει διάστημα  x = 0,2 m   σε χρόνο t

 x =  ½ a t2  =>   0,2 m =  ½  7,5 m/s2  t2  =>  t2  =  4/75  =  4/25  1/3 =  0,16 / 3  =>  t = 0,4/√3 s          

 v =  a t  =  7,5  0,4/√3  =  0,75  4/√3  =  3/4  4/√3  =  √3 m/s  

K =  ½ m v2  =  ½  10  3 =  15 J          Uελατ = ½ k x2 =  ½  250  0,22  =  5 J           15 J + 5 J = 20 J         

 

το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται από  75 Ν  όταν  x = 0   μέχρι  75 +  250 . 0,2  =  125 Ν  όταν x = 0,2 m    μετά η δύναμη καταργείται,    

στο διάστημα  ( 0 , 0,2 m )  η δύναμη παράγει έργο :  WF  =  (75 + 125) N  0,2 m / 2  = 20 J    

το έργο αυτό γίνεται ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος : Ε =  ½ k A2 => 20 J =  ½  250 N/m  A2  => A=0,4m

   ω2 = k / m = 250 / 10  =>  ω = 5 rad/s    

  x(t) = 0,4 ημ(5t + θ)          x(0) = 0,4 ημθ  =  + 0,2  =>  ημθ = + 0,5 => θ = 30° = π/6 rad

  x(t) = 0,4 ημ(5t + π/6)       v(t) =  2 συν(5t + π/6)        α(t) = - 10 ημ(5t + π/6)   

 η μέγιστη ταχύτητα του σώματος είναι  v'max =  ω Α =  5 rad/s   0,4 m  =  2 m/s

  οπότε έχουμε :  v / v'max =  √3 / 2     (α)   

  dK/dt  =  m v a  =  10  2 συν(5t + π/6)  [ - 10 ημ(5t + π/6) ]  =  - 200 ημ(5t + π/6) συν(5t + π/6)

  dU/dt  =  k x v  =  250   0,4 ημ(5t + π/6)   2 συν(5t + π/6)  =  + 200 ημ(5t + π/6) συν(5t + π/6)

 
 
 
 
 
 
 
 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(Α)    στην ισορροπία το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος,  ασκείται η δύναμη  F  οπότε το ελατήριο επιμηκύνεται
 ΣF  =  F  +  Fελατ  =  F  -  k x                   όταν  x = A = 0,4 m :   ΣF =  F - k x =  F - 400  0,4 =  F - 160
στη Θέση Ισορροπίας της ταλάντωσης : ΣF = 0  =>  F - k.A = 0  =>  F = 400 . 0,4 = 160 N         
 
(Β)   ω2 = k/m = 400  =>  ω = 20 rad/s        τη στιγμή μηδέν το σώμα βρίσκεται στην θέση  x = - A   ως προς την ταλάντωση :   x(t) = 0,4 ημ(20.t + 3π/2)     v(t) = 8 συν(20.t + 3π/2)     a(t) = -160 ημ(20.t + 3π/2)
 
(Γ)   ΣF  = - D x  =>   F  +  Fελατ  = - k x(t)    =>  
  =>   Fελατ  =  - F -  k x(t)  =>   Fελατ  =  - 160 - 400  0,4 ημ(20.t + 3π/2)   =>
  =>   Fελατ(t) =  - 160 - 160 ημ(20.t + 3π/2)  =  - 160  - 400 x =  - 400 ( 0,4 + x )  - 0,4 m £  x  £ + 0,4 m
                 
(Δ)   όταν  F = 0   το σώμα βρίσκεται στην ακραία θετική θέση δηλαδή το ελατήριο έχει επιμήκυνση  0,8 m    ενώ η νέα θέση ισορροπίας είναι η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου  συνεπώς το νέο πλάτος ταλάντωσης του σώματος θα είναι : Α' = 0,8 m = 2.Α        x(t) =  0,8 ημ(20.t + π/2)   x(0)  =  0,8 ημ(π/2)  = +0,8 m
  x(t) = 0,8 ημ(20t + π/2)    v(t) = 16 συν(20t + π/2)    α(t) = - 320 ημ(20t + π/2)   
Για τη νέα ολική ενέργεια της ταλάντωσης έχουμε :  Ε' = ½.k.(A')2 = ½  400 N/m  0,82 m2 =>  E' = 128 J 
στο διάστημα ( 0 , 0,4 m )  η δύναμη παράγει έργο :  WF =  F A = 160 N  0,4 m  = 64 J     το ελατήριο έχει δυναμική ενέργεια :   Uελατ = ½ k A2  =  ½  400  0,42 = 32 J  το σώμα έχει κινητική ενέργεια :   K =  ½ m v2  =  ½  1  82 = 32 J                          128 J = 64 J + 32 J + 32 J           

  dK/dt  =  m v a  =  1  16 συν(20t + π/2) [ - 320 ημ(20t + π/2) ]  =  - 5120 ημ(20t + π/2) συν(20t + π/2)  =  +5120 συν20.t ημ20.t

  dU/dt  =  k x υ  =  400   0,8 ημ(20t + π/2)   16 συν(20t + π/2) = + 5120 ημ(20t + π/2) συν(20t + π/2)  =  -5120 συν20.t ημ20.t