φυσική
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
|
φυσική Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ |
(Α) Οι σφαίρες του σχήματος κινούνται επάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγμή συγκρούονται πλαστικά. Εάν το συσσωμάτωμα που δημιουργείται κινείται με ταχύτητα κάθετη στην ταχύτητα υ1 με μέτρο υκ = υ1.√3/2 , βρείτε το πηλίκο των μαζών m1/m2.
(Α)
διατήρηση ορμής στον άξονα x'x : m1 v1 - m2 v2 συν60° = 0 => m1 v1 = m2 v2 ½ (1)
διατήρηση ορμής στον άξονα y'y : 0 + m2 v2 συν30° = (m1 + m2) v1 √3/2 =>
=> m2 v2 √3/2 = (m1 + m2) v1 √3/2 => m2 v2 = (m1 + m2) v1 (2)
(1) * (2) => m1 v1 m2 v2 = m2 v2 ½ (m1 + m2) v1 => m1 = ½ (m1 + m2) =>
=> 2 m1 = m1 + m2 => m1 = m2
(Β) Φέρνουμε τα εκκρεμή του σχήματος, σε οριζόντια θέση έτσι ώστε τα τεταμένα νήματα να βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ευθεία και την χρονική στιγμή t0=0 αφήνουμε τα σφαιρίδια ελεύθερα να κινηθούν. Αντίσταση αέρα μηδενική, τριβές αμελητέες. Βρείτε το πηλίκο |L1|/|L2| μεταξύ των μέτρων των στροφορμών των σφαιριδίων πριν την κεντρική ελαστική κρούση τους και μετά από αυτή, εάν m1 = 2m2. Θετική κατεύθυνση οριζόντια δεξιά.
(Β)
διατήρηση ενέργειας : m g l = ½ m v2 => v2 = 2.g.l οπότε |v1|= |v2|= √(2.g.l)
|L1|/|L2|= ( m1|v1|l ) / ( m2|v2|l ) = m1 / m2 => |L1|/|L2|= 2 πριν την κρούση
v1' = v1 (m1 - m2) / (m1 + m2) + 2 m2 v2 / (m1 + m2) =
= √(2.g.l) (2m2 - m2) / (2m2 + m2) - 2 m2 √(2.g.l) / (2m2 + m2) =
= 1/3 √(2.g.l) - 2/3 √(2.g.l) => v1' = - 1/3 √(2.g.l)
v2' = v2 (m2 - m1) / (m1 + m2) + 2 m1 v1 / (m1 + m2) =
= - √(2.g.l) (m2 - 2m1) / (2m2 + m2) + 2 2m2 √(2.g.l) / (2m2 + m2) =
= + 1/3 √(2.g.l) + 4/3 √(2.g.l) => v2' = + 5/3 √(2.g.l)
|L1|/|L2|= ( m1|v1'|l ) / ( m2|v2'|l ) = ( 2m2 1/3 √(2.g.l) l ) / ( m2 5/3 √(2.g.l) l ) => |L1|/|L2| = 2/5 μετά την κρούση
(Γ) Ομογενής δίσκος πολύ μικρού πάχους ακτίνας R = 0,2 m, εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Κ και είναι κάθετος στο επίπεδό του. H γωνιακή ταχύτητά του μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου.
Γ1) Γράψτε τις εξισώσεις της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου συναρτήσει του χρόνου και βρείτε τη γωνιακή μετατόπιση του δίσκου στο χρονικό διαστήμα 2s-5s.
Γ2) Θεωρούμε στοιχειώδη μάζα Δm = 1μg σε απόσταση R/2 από το κέντρο του δίσκου. Βρείτε το διάνυσμα της στροφορμής της στοιχειώδους μάζας στο χρονικό διάστημα 0-8s.
Γ3) Αν ο δίσκος κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο κυλιόμενος (χωρίς ολίσθηση) επάνω σε οριζόντιο δάπεδο βρείτε την δύναμη που δέχεται η στοιχειώδης μάζα όταν βρεθεί στο σημείο Α τη στιγμή t1=1s.
|
|
 |
(Γ)
1) Γράψτε τις εξισώσεις της γωνιακής ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου.
[ 0 , 4s ] αγων = Δω / Δt = ( 0 - 40 rad/s ) / (2s - 0 ) = - 20 rad/s2 ω(t) = - 20.t + 40
ω(4) = - 20.4 + 40 = - 80 + 40 => ω(4) = - 40 rad/s
[ 4s , 8s ] αγων = Δω / Δt = ( 0 - (- 40 rad/s) ) / (8s - 4s ) = + 10 rad/s2
ω = 10.t + β => - 40 = 10.4 + β => β = - 80 ω(t) = 10.t - 80 ή ω(t) = 10.(t - 4) - 40
Να βρεθεί η γωνιακή μετατόπιση του δίσκου στο χρονικό διάστημα 2s-5s
ω(t) = 10.t - 80 => ω(4) = 10.4 - 80 => ω(4) = - 40 rad/s
ω(5) = 10.5 - 80 => ω(5) = - 30 rad/s
από τα εμβαδά του διαγράμματος ω(t)
χρονικό διάστημα [ 2s , 4s ] μια ακτίνα του δίσκου "διαγράφει γωνία" (- 40).(4 - 2) / 2 = - 40 rad
χρονικό διάστημα [ 4s , 5s ] μια ακτίνα του δίσκου "διαγράφει γωνία" [- 40 + (- 30)].(5 - 4) / 2 = - 35 rad
άρα στο χρονικό διάστημα [ 2s , 5s ] μια ακτίνα του δίσκου "διαγράφει γωνία" - 75 rad
2) στροφορμή : L = m v r = m ω r2 = 10-6 kg ω (0,1 m)2 = 10-8 ω => L(t) = 10-8 ω(t)
[ 0 , 4s ] ω(t) = - 20.t + 40 L(t) = 10-8 ω(t) = 10-8 (- 20.t + 40)
[ 4s , 8s ] ω(t) = 10.t - 80 L(t) = 10-8 ω(t) = 10-8 (10.t - 80)
3) [ 0 , 4s ] acm = αγων R = - 20 rad/s2 0,2 m = - 4 m/s2 vcm = ω R = (- 20.t + 40 ) 0,2 = - 4.t + 8 (m/s)
[ 4s , 8s ] acm = αγων R = 10 rad/s2 0,2 m = + 2 m/s2 vcm = ω R = ( 10.t - 80 ) 0,2 = 2.t - 16 (m/s)
v(1) = - 4.1 + 8 = + 4 m/s acm(1) = - 4 m/s2 ω(1) = - 20.1 + 40 = + 20 rad/s αγων(1) = - 20 ra/s2
το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης στο σημείο Α : ακ = ω2 R/2 = 202 0,1 = 40 m/s2
το μέτρο της επιτάχυνσης του σημείου Α είναι : αΑ2 = ( αγωνR/2 + acm )2 + ακ2 = ( -20 0,1 + (- 4) )2 + 402 =
= ( - 6 )2 + 402 = 36 + 1600 = 1636 => αΑ = √1636 m/s2 = 40,45 m/s2
εφφ = ακ / ( αγωνR/2 + acm ) = 40 / 6 = 20/3
η στοιχειώδης μάζα στο σημείο Α δέχεται δύναμη ομόρροπη της επιτάχυνση με μέτρο :
F = Δm aA = 10-6 kg 1636 m/s2 = √1636 10-6 N
| (Δ) H διπλή τροχαλία μάζας Μτροχ, = 0,5 kg αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους (1) και (2) με ακτίνες R1 = 0,2 m και R2 = 0,1 m. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα x'x που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας των δύο κυλίνδρων. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου (1) έχουμε τυλίξει πολλές φορές αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε συνδέσει το άκρο Γ ράβδου ΑΓ. Το νήμα σχηματίζει γωνία φ με την οριζόντιο (ημφ=0,8). Γύρω από τον κύλινδρο (2) έχουμε τυλίξει άλλο αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει σώμα Σ μάζας m. Η ράβδος ΑΓ μάζας Μ = 0,2 kg και μήκους L = 1,2 m ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. |  |
Δ1. Υπολογίστε την δύναμη που δέχεται η ράβδος στο άκρο της Α και τη μάζα του σώματος Σ.
Tη στιγμή t0 = 0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τη ράβδο με την τροχαλία οπότε η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την άρθρωσή της Α και η διπλή τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα x'x.
Δ2. Βρείτε την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας αν το σώμα Σ κατεβαίνει κατακόρυφα κατά 4m έως τη στιγμή t1=2s και την στροφορμή του σώματος ως προς το κέντρο Κ της τροχαλίας, την στιγμή t1.
Δ3. Aν είναι γνωστό ότι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου είναι ανάλογη της συνισταμένης των ροπών των δυνάμεων που ασκούνται στη ράβδο ως προς τον άξονα περιστροφής της στο σημείο Α σύμφωνα με την σχέση Στ(Α) = Ι αγων και αν η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή t0 = 0 είναι αγων = 12,5 r/s2 :
Δ3 α) βρείτε την επιτάχυνση του άκρου Γ της ράβδου και τον συντελεστή αναλογίας Ι
Δ3 β) βρείτε πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή που σχηματίζει γωνία 60° με την οριζόντιο
Δ3 γ) βρείτε την επιτάχυνση του άκρου Γ της ράβδου όταν αυτή έρχεται σε κατακόρυφη θέση όπου έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω = 5 r/s.
ΛΥΣΗ
Δ1. ροπές ως προς Α : M g L/2 = T1 ημφ L => 0,2 10 0,6 = T1 0,8 1,2 => T1 = 1,25 Ν
ροπές ως προς Γ : M g L/2 = FΑ,y L => 0,2 10 0,6 = FΑ,y 1,2 => FΑ,y = 1 Ν
ΣFx = 0 => T1 συνφ - FA,x = 0 => FA,x = T1 συνφ = 1,25 0,6 => FA,x = 0,75 N
FA2 = FA,x2 + FA,y2 = 0,752 + 12 = 0,252 ( 32 + 42 ) = 0,252 52 => FA = 1,25 N
εφθ = FA,y / FA,x = 1 / 0,75 => εφθ = 4/3
ισορροπία τροχαλίας : ροπές ως προς Κ : T1 R1 = T2 R2 => 1,25 Ν 0,2m = T2 0,1m => T2 = 2,5 N
ισορροπία Σ : m g = T2 => m 10 = 2,5 => m2 = 0,25 kg
Δ2. αcm = αγων,τροχ R2 h = ½ αcm t2 => 4 m = ½ αcm (2s)2 => αcm = 2 m/s2
αcm = αγων,τροχ R2 => αγων,τροχ = acm / R2 = 2 m/s2 / 0,1 m = 20 rad/s2
υcm = αcm t = 2 m/s2 2 s = 4 m/s L = m v r ημθ = m v R2 = 0,25 kg 4 m/s 0,1 m = 0,1 kg m2/s
Δ3. α) τη στιγμή t0=0 : α(Γ) = αγων (ΑΓ) = 12,5 rad/s2 1,2 m = 15 m/s2
η ράβδος έχει μηδενική ταχύτητα οπότε η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι μηδέν
Στ(Α) = Ι αγων => Μg L/2 = I αγων => 2 0,6 = I 12,5 => I = 12 / 125 => I = 0,096 kg m2
β) Στ(Α) = Ι αγων => Μg L/2 συν60° = I αγων => 2 0,6 ½ = 24/250 αγων => αγων = 25/4 rad/s2
γ) το άκρο Γ έχει κεντρομόλο επιτάχυνση ακ = ω2 (ΑΓ) = 52 1,2 = 30 m/s2 κατακόρυφη προς τα πάνω
η επιτρόχιος επιτάχυνση αεπιτροχ, = αγων (ΑΓ) είναι μηδέν διότι θ = 90° οπότε συνθ = 0
