Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στην θέση Α, ηρεμεί μια σφαίρα μάζας 4kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, δεμένη στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=50Ν/m, με φυσικό μήκος lο=3m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σημείο Ο του επιπέδου. Σε μια στιγμή η σφαίρα δέχεται ένα στιγμιαίο κτύπημα αποκτώντας ταχύτητα υο=10m/s, κάθετη στον άξονα του ελατηρίου, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Η σφαίρα ακολουθώντας μια καμπύλη τροχιά, μετά από λίγο περνά από την θέση Β, όπου το μήκος του ελατηρίου είναι l1=5m.
(α) Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας υ1 της σφαίρας στο σημείο Β.
(β) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ταχύτητα υ1 με τον άξονα του ελατηρίου.
(γ) Να υπολογισθεί η επιτάχυνση της σφαίρας στις θέσεις Α και Β.
(δ) Να υπολογισθεί η ακτίνα R ενός κύκλου και να προσδιορισθεί το κέντρο του Κ, ο οποίος μπορεί να προσεγγίσει την τροχιά της σφαίρας στη θέση Β (η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς στο Β).
(ε) Να εξετάσετε τον ρόλο της επιτάχυνσης στη θέση Β, όπως την ερμηνεύει ένας παρατηρητής στο Ο και ένας άλλος παρατηρητής στο κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, του παραπάνω κύκλου.
(στ) Να υπολογισθεί η στροφορμή της σφαίρας και ο ρυθμός μεταβολής της, ως προς το Κ, τη στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση Β.
διατήρηση ενέργειας από θέση Α έως θέση Β :
½ m v02 = ½ m v12 + ½ k (l1 - l0)2 => 4 102 = 4 v12 + 50 (5 - 3)2 => 400 = 4 v12 + 200 => v12 = 50 => v1 = 5√2 m/s
διατήρηση στροφορμής :
m v0 l0 ημ90° = m v1 l1 ημθ => 10 3 1 = 5√2 5 ημθ => ημθ = 3√2/5
ακ(Α) = v02/ l0 = 100 / 3 m/s2
ακ(B) = (v1 ημθ)2/ l1 = ( 5√2 3√2/5 )2 / 5 m/s2 = 36/5 m/s2