1ο ΘΕΜΑ
Στο bungee jumping ο αθλητής ή η αθλήτρια πραγματοποιούν άλμα από μία πλατφόρμα, αμελητέου πάχους,
που έχει τοποθετηθεί πάνω από μία λίμνη, ένα ποτάμι ή την θάλασσα.
Στα πόδια τους προσδένεται η άκρη ελαστικού νήματος, η άλλη άκρη του οποίου στερεώνεται ακλόνητα στην
πλατφόρμα. Η συμπεριφορά του νήματος περιγράφεται με καλή προσέγγιση από το Νόμο του Hooke, 
ενώ η μάζα του θεωρείται αμελητέα.
Φτάνοντας στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού, ο άνθρωπος πρέπει να έχει μηδενική ταχύτητα και επιτάχυνση μέτρου 𝛼 = 2𝑔.
Ένας αθλητής μάζας 𝑚 = 70 𝑘𝑔 χρησιμοποιεί ελαστικό νήμα φυσικού μήκους 𝐿, το οποίο είναι πολύ μεγαλύτερο από το ύψος του και αφήνει το σώμα του να πέσει (δηλαδή έχει μηδενική αρχική ταχύτητα) από την πλατφόρμα, η οποία απέχει 90𝑚 από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Θεωρώντας ότι ο αθλητής ξεκινά την στιγμή 𝑡_𝑜 = 0, ότι στον τόπο όπου πραγματοποιείται το άλμα και για όλο το διανυόμενο ύψος, η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει σταθερή τιμή 𝑔 = 10 𝑚/𝑠² και ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, να:
Α.1.  αποδείξετε ότι το νήμα που θα χρησιμοποιηθεί πρέπει να έχει φυσικό μήκος 𝐿 = 30𝑚
και σταθερά ελαστικότητας 𝑘 = 35 𝑁/𝑚,
Α.2.  υπολογίσετε το μήκος 𝐿₁ του νήματος στην θέση ισορροπίας του ανθρώπου,
Α.3.  υπολογίσετε την μέγιστη ταχύτητα 𝜐_𝑚𝑎𝑥 που αναπτύσσει ο άνθρωπος στην διάρκεια του άλματος.
Α.4.  υπολογίσετε την χρονική στιγμή 𝑡₁ που η ταχύτητα του ανθρώπου μηδενίζεται για δεύτερη φορά.

a = 2g = ω²Α => 20  = k/m A => 20  = k/70 A =>  k A = 1400   (1)

  ισορροπία σώματος : m g = k x₀  = 700    (2)

διατήρηση ενέργειας :  ½ k (x₀ + A)²  =  m g h  =>  k (x₀ + A)²  =  2 70 10 90    (3)

  (1) / (2) => A = 2 x₀    (4)         

   (3) , (4) => k (3x₀)²  =  2 70 10 90  => k 9 x₀²  =  2 70 10 90  => k x₀² = 14000   (5)

  (5) / (2) => x₀ = 20 m  επιμήκυνση ελαστικού νήματος όταν ο αθλητής ισορροπεί   

 πλάτος ταλάντωσης :  (4) =>   Α = 40 m       

   90 m = L + x₀ + A  = L + 20m + 40m  = L + 60m  =>  L = 30 m        

L₁ = A + L = 40m + 30m =>  L₁ = 70 m           

σταθερά ελαστικότητας :  (2) => k 20 = 700 =>  k = 35 N/m                

ω² = k/m = 35 / 70 = 1/2       ω = 1/√2 rad/s    T = 2π/ω = π.2√2 s

   v_max = ω Α = 1/√2 40 =>  v_max = 20√2 m/s                              

κατ' αρχήν ελεύθερη πτώση : 30 m = 0,5 10 m/s t => t = √6 s
t = √6 s + T/12 + T/4 = √6 s + π.2√2/12 s + π.2√2/4 s = √6 s + π.√2/6 s + π.√2/2 s
= √6 s + π.2√2/3 s

Β.1.  Τροχός ακτίνας 𝑅 = 1𝑚 κινείται σε οριζόντιο λασπωμένο έδαφος εκτελώντας κύλιση χωρίς ολίσθηση με σταθερή ταχύτητα 𝜐_𝑐𝑚. Κάποια χρονική στιγμή, έστω 𝑡 = 0, αποκολλώνται από τα σημεία Α, Β και Δ της περιφέρειάς του τρία μικρά κομμάτια λάσπης. Θεωρώντας την αφετηρία του συστήματος αναφοράς στο σημείο Γ του σχήματος, να σχεδιάσετε υπό κλίμακα τις μετατοπίσεις 𝛥𝑥_𝛢, 𝛥𝑥_𝛣 και 𝛥𝑥_𝛥 καθώς και την μετατόπιση 𝛥𝑥_𝑐𝑚 την χρονική στιγμή 𝑡_𝐴 όπου το κομμάτι από το σημείο Α φτάνει στο έδαφος. Να κάνετε το ίδιο για τις χρονικές στιγμές 𝑡_𝛣 και 𝑡_𝛥 όπου καθένα από τα άλλα δύο κομμάτια φτάνει στο έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας 𝑔.

  2R = h = ½ g t_A²  =>  t_A = √(4R/g) = 2/√g        R = h = ½ g t_B²  =>  t_B = √(2R/g) = t_Δ   = √(2/g)      

  𝛥𝑥_𝛢 = t_A v_cm =  2/√g v_cm         𝛥𝑥_B = R + t_B v_cm = R + √(2/g) v_cm = R + 𝛥𝑥_𝛢 √2 

  𝛥𝑥_Δ = - R + √(2R/g) v_cm = - R + 𝛥𝑥_𝛢 √2       𝛥𝑥_𝑐𝑚 = t_A v_cm = √(4R/g) v_cm 

  𝛥𝑥_𝛢 = t_Β v_cm = √(2R/g) v_cm         𝛥𝑥_B = R + t_B v_cm = R + √(2R/g) v_cm = R + 𝛥𝑥_𝛢           

  𝛥𝑥_Δ = - R + √(2R/g) v_cm = - R + 𝛥𝑥_𝛢          𝛥𝑥_𝑐𝑚 = t_B v_cm = √(2R/g) v_cm = 𝛥𝑥_𝛢