Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής, διαδίδεται χωρίς απώλειες, ένα αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ=2m/s, πλάτος Α=0,4m και μήκος κύματος λ=2m το οποίο τη στιγμή to=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο παίρνουμε σαν αρχή του προσανατολισμένο άξονα x΄x, με θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση. Το σημείο Ο απέχει κατά 3m από το άκρο Κ της χορδής, το οποίο έχει προσδεθεί σε κατακόρυφο τοίχο, όπως στο σχήμα, ενώ αρχίζει την ταλάντωσή του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση του άξονα y, προς τα πάνω.

434434.PNG 

  1. Να γράψετε την  εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο, καθώς και την εξίσωση του κύματος y1=f(x,t),για  το κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά.
  2. Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης, εξαιτίας του παραπάνω κύματος, του σημείου Σ στην θέση x1=2,5m.
  3. Αφού βρείτε την εξίσωση y=f(t) για την απομάκρυνση του άκρου Κ της χορδής εξαιτίας του ανακλώμενου κύματος, να βρείτε την εξίσωση y2=f(x,t) για το κύμα το οποίο ανακλάται στο Κ.
  4. Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ, εξαιτίας του κύματος το οποίο διαδίδεται προς τα αριστερά, καθώς και την εξίσωση y=f(t) της απομάκρυνσής του, λόγω συμβολής των  δύο κυμάτων.
  5. Αφού βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται πάνω στην χορδή, να σχεδιάσετε την μορφή της στην περιοχή μεταξύ των σημείων Ο και Κ, τη χρονική στιγμή t=2,25s. Να υπολογίσετε την παραπάνω στιγμή την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ.

 

  v = λ / Τ  =>  Τ = 1 s     f = 1 Hz     ω = 2π rad/s 

y = A ημ2π(t/T – x/λ)  =>  y = 0,4 ημ2π(t – x/2)  =>  y = 0,4 ημ(2πt – πx)          y(O) = 0,4 ημ(2πt)  t > 0

y(Σ),O = 0,4 ημ(2π.t – π.2,5)  =>  y(Σ),O = - 0,4 συν(2π.t)    (1)     t > 2,5/2 = 1,25 s 

 

το κύμα φθάνει στο Κ :  y(Κ) = 0,4 ημ(2π.t – π.3)    t > 1,5 s  

το κύμα ανακλάται στο Κ  και παρουσιάζει διαφορά φάσης  π  (ακλόνητο σημείο)  y(Κ) = 0,4 ημ(2π.t – π.3 + π)  =>  y(Κ) =  0,4 ημ(2π.t - 2π)      t > 1,5 s 

 

το κύμα από το Κ  φθάνει στο Σ  μετά από χρόνο  τ = (3m - x(Σ)) / 2m/s = (1,5 - x/2) s = (1,5 - 2,5/2) s = 1/4 s = 0,25 s   και  από το Ο  τ' = 3/2 s + 1/4 s = 7/4 s =  1,75 s

y'(Σ),K = 0,4 ημ(2π.(t - (1,5 - x(Σ) /2)) - 2π) =  0,4 ημ(2π.t + π.x(Σ) - 3π - 2π)  => y'(Σ),K,  =  0,4 ημ(2π.t + π.x(Σ) - 5π)    => y'(Σ),K  =  0,4 ημ(2π.t + π.2,5 - 5π)   => y'(Σ),K  =  0,4 ημ(2π.t - 2,5π)    t > 1,75 s   (2)       

 

(1) , (2) =>  y(Σ) συνολικά = 0,8 ημ(2π.t – 5π/2)         έχουμε κοιλία

  υ(Σ)  = 0,8 2π συν(2π.t – 5π/2)  =  1,6.π συν(2π.t – 5π/2)  

  t = 2,25 s    υ(Σ)  =  1,6.π συν(2π.2,25 – 2,5.π)  =  1,6.π συν(2π) = + 1,6.π m/s

 

στο σημείο Σ φθάνουν δύο κύματα  α) από το σημείο Ο  που κινείται προς τα δεξιά  και  β) από το σημείο Κ  που κινείται προς τα αριστερά    τα δύο κύματα συμβάλλουν 

      0,4 ημ(2πt – πx)  +  0,4 ημ(2π.t + π.x - 5π)  = 

=  0,8  ημ(2πt – πx  +  2π.t + π.x - 5π) / 2    συν [ 2πt – πx  -  (2π.t + π.x - 5π) ] / 2  =   

=  0,8  ημ(2πt - 5π/2)   συν(- π.x + 5π/2)  =  0,8  συν(- π.x + 5π/2)  ημ(2πt - 5π/2)   =

=  0,8  συν(5π/2 - π.x)  ημ(2πt - 5π/2)   =  0,8  ημ(π.x)  [ - συν(2πt) ]  =  - 0,8 ημ(π.x) συν(2πt)  =  y(Σ) συνολικά

στο σημείο  - 0,8 ημ(π.x) συν(2πt)  =  y(Σ)   

  t = 2,25 s     υ(Σ)  =  - 0,8 ημ(π.2,5) 2π [- ημ(2π. 2,25) ]  =  + 1,6π  1  ημ(4,5π)  = + 1,6π m/s

 

το κύμα από το σημείο Ο σε χρόνο 2,25 s   διανύει  διάστημα  2,25 s  2 m/s  = 4,5 m = 3 m (= OK)  + 1,5 m         είναι στη θέση  x = 1,5 m             ενώ το κύμα από το σημείο Κ  σε χρόνο 2,25 s - 1,5 s = 0,75 s   διανύει  διάστημα  0,75 s  2 m/s  = 1,5 m          άρα συμβαίνει συμβολή κυμάτων  από τη θέση  x = 1,5 m  έως τη θέση  Κ  xΚ = 3 m     για χρονικό διάστημα  0,75 s = 3 Τ/4      ενώ  από το σημείο Ο  θέση x = 0 m      έως τη θέση x = 1,5 m      έχουμε τρέχον κύμα που προέρχεται από το σημείο Ο