ΣF  =  - b v - D x = m dv/dt  =>   m x"  +  b x'  +  D x =  0 =>  m ρ² + b ρ + D =  0   

   Δ = b² - 4mD = b² - 4 m m ω₀² = - 4m² ( ω₀² - (b/2m)² ) = - 4m² ω²      ω₀² - Λ² = ω² 

  ρ_1,2  = ( - β ± Δ^½ ) / 2α  = ( - b ± j2mω ) / 2m  =  - b/2m  ±  jω = - Λ  ±  jω    Λ = b/2m

x(t) =  B₁ e^ρ₁t + B₂ e^ρ₂t  =  B₁ e ^{(- Λ  +  jω)t}  + B₂ e ^{(- Λ  -  jω)t}  =  e^-Λt ( B₁ ημωt + B₂ συνωt )

 μια λύση είναι :   x(t) = A₀ e^-Λt συνωt      

v = dx/dt  = - Λ A₀ e^-Λt συνωt  -  ω A₀ e^-Λt ημωt = - A₀ e^-Λt ( Λ συνωt + ω ημωt )  

a = dv/dt = Λ² A₀ e^-Λt συνωt + ω Λ A₀ e^-Λt ημωt + ω Λ A₀ e^-Λt ημωt - ω² A₀ e^-Λt συνωt => 

           =>   a(t)  = A₀ e^-Λt  { ( Λ² - ω² ) συνωt + 2ω Λ ημωt }   

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2mg - T = 2ma               T - Bil = ma                  Bvl = iR => i = Blv/R

2mg - Bil = 3ma  =>  2mg -  B² l² v/R = 3m dv/dt ⁽¹⁾

παρατηρούμε ότι το μέτρο της επιτάχυνση μειώνεται με τον χρόνο ενώ η ταχύτητα της ράβδου αυξάνεται   μετά από πολύ χρόνο  η επιτάχυνση μηδενίζεται και η ταχύτητα αποκτά οριακή τιμή   η (1)  =>  2mg -  B² l² v_ορ /R = 0  =>  υ_ορ = 2mRg/B²l²    

 για  υ = υ_ορ/2 = mRg/B²l²   η (1) =>  2mg -  B²l²/R  mRg/B²l² = 3m α₁  => 

                  =>   2mg -  mg = 3m α₁  =>  α₁ = g/3         

   αρχικά  υ = 0   i = 0   οπότε η  2mg - Bil = 3m a₀  => 2mg - 0 = 3m a₀  =>  α₀ = 2g/3

      οπότε    α₀ / α₁ = 2            

  (1)  =>   2g -  B²l² v/mR =  3 dv/dt  =>

=>  - B²l²/mR  ( v  -  2mRg / B²l² )  =  3 dv/dt  =>

=>  dv / ( v  -  2mRg / B²l² )  =  - B²l²/3mR dt   =>

=>  ln [ ( v  -  2mRg / B²l² ) / ( - 2mRg / B²l² ) ]  =  - B²l²/3mR dt   =>

=>  v(t)  = 2mRg/B²l²  ( 1 - e^{-B2l2/3mR dt} )                a(t)  =  2g/3 e^{-B2l2/3mR dt}      

t=0  v=0   a₀ = 2g/3        t®¥   a=0    v_ορ = 2mRg/B²l²    v₁ = v_ορ/2 = mRg/B²l²       

2mg -  B²l² v₁ /R = 3m a₁  =>  2mg  -  B²l²/R  mRg/B²l²  = 3m a₁  => 

=>  2mg  -  mg  = 3m a₁  =>   mg  = 3m a₁  => a₁ = g/3          α₀ / α₁ = 2    

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

μαθηματική ανάλυση :

   E  -  L di/dt  =  i ( r + R )  =>   -  L di/dt  =  i ( r + R )  -  E   =>

 =>   -  L di/dt  = ( r + R ) [ i  -  E/( r + R ) ]   =>   di / [ i  -  E/( r + R ) ]  =  - ( r + R )/L  dt  =>

 =>  ln { [ i  -  E/( r + R ) ] / [ I₀ - E/( r + R ) ] } =  - ( r + R )/L ^. t  =>

 =>  i(t)  =  E/( r + R )  +  [ I₀  -  E/( r + R ) ]  e^{- ( r + R )/L . t}   =>   i(t)  =  24/11  + ( 2 - 24/11 ) ^. e^{- 110 . t}        

  =>   i(t)  =  24/11  -  2/11 ^. e^{- 110 . t}             

   i(0)  =  24/11  -   2/11 ^. e⁰  =  2 A                            t ® ¥      i ®  24/11 Α

di/dt  =  [ I₀  -  E/( r + R ) ]  [ - ( r + R ) / L ]  ^. e^{- ( r + R )/L . t}  =>  di/dt  =  [ E  -  I₀ ( r + R ) ] / L ^. e^{- ( r + R )/L . t}    

di/dt  =  [ 24  -  2 ^. 11 ] / 0,1 ^. e^{- 110 . t}    =>  di/dt  =  20 ^. e^{- 110 . t}    

    t = 0      di/dt  =  20 A/s                        t ® ¥      di/dt  ®   0

U = ½ L i²    

   dU/dt  =  L  i  didt  =  0,1   ( 24/11  -  2/11 ^. e^{- 110 . t} )   20 ^. e^{- 110 . t}  

   t = 0     dU/dt  =  0,1   2   20  = 4 J/s                t ® ¥      dU/dt  ®   0

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 i = B l v / R      

 - F_L = m a   =>  - B i l = m a =>  a = - B i l / m  =>  a = - B² l² v / mR  = dv/dt  =>

     =>   dv / v = (- B² l² / mR ) dt  =>  ln(v/v₀)  = (- B²l²/ mR ) t   =>  v(t)  =  v₀ e^-Λt ,  Λ = B²l²/ mR  

 επιτάχυνση αγωγού :   a(t)  = - Λ v₀ e^-Λt ,   Λ = B²l²/ mR  

  dx/dt = v₀  e^-Λt  =>  dx = v₀  e^-Λt dt  = - v₀/Λ  d(e^-Λt)  =>  x(t) - x(0) = - (v₀/Λ) (e^-Λt - 1) =>

                           =>  x(t) = (v₀/Λ) ( 1 - e^-Λt )  ,  Λ = B²l²/ mR

       x(0) = 0         x(¥)  =  v₀ mR / B²l²    

..................................................................................................................................................................

  Ε_επαγ  =  Β υ l  =  i ( R₁  +  R₂ )  =>  2 T  v  0,5 m  =  i  ( 2 Ω  +  8 Ω )  =>  10 i  =  v  =>   i  =  0,1 v           

  P_R2  =  I² R₂  =>  8 Watt = I² 8 Ω  =>  I = 1 A     αρχική τιμή ρεύματος 

άρα  10 i  =  v  => 10 Ι = v₀  =>  v₀  = 10 m/s    αρχική ταχύτητα αγωγού

  ΣF =  m a  =>  F  -  F_L  =  m a  =>  F  -  B i l  =  m a  =>   0,5  -  2   0,1 v  0,5  =  0,1 a  =>  a = 5 - v    αρχικά  την χρονική στιγμή t = 0   v = v₀    a = a₀ = 5 - v₀ = 5 - 10 = - 5 m/s²   

  όταν  α = 0    τότε  v =  5 m/s =  v_ορ   οριακή ταχύτητα αγωγού 

  a  =  5  -  v  =  dv/dt  =>  dv / (5 - v)  =  dt  =>  dv / (v - 5)  =  - dt  =>  ln [ (v - 5 )/( 10 - 5) ]  =  - t  =>

=>   v - 5 =  5 e^-t    =>  v(t) =  5 + 5 e^-t      v(0) = 5 + 5 = 10 m/s         

       a = dv/dt =>   a(t) = - 5 e^-t       a(0) = - 5 m/s²  

   Ε_επαγ  =  Β υ l  =  2T 0,5m  ( 5 + 5 e^-t )  =  5 + 5 e^-t  =  Ε_επαγ(t) 

a  =  5  -  v    αρχικά  την χρονική στιγμή t = 0      v = v₀ = 4 m/s            a = a₀ = 5 - v₀ = 5 - 4 = +1 m/s²   

a  =  5  -  v  =  dv/dt  =>  dv / (5 - v)  =  dt  =>  dv / (v - 5)  =  - dt  =>  ln [ (v - 5 )/( 4 - 5) ]  =  - t  =>

=>  v - 5 =  -1 e^-t  =>  v(t) = 5 - e^-t    v(0) = 5 - 1 = 4 m/s      a = dv/dt =>  a(t) =  e^-t    a(0) = +1 m/s²