Θέμα 1ο

Στον κυκλικό επιταχυντή LHC του CERN ο οποίος πρόκειται να τεθεί σε λειτουργία το 2007,πρωτόνια, σε δύο δέσμες, θα επιταχύνονται με τη βοήθεια κοιλοτήτων ραδιοσυχνότητας σχεδόν στην ταχύτητα του φωτός c, αποκτώντας μια ενέργεια E=7TeV δηλαδή E=1,12 10^-6 J το καθένα. Στη συνέχεια τα πρωτόνια θα συγκρούονται έχοντας τόσο μεγάλες ενέργειες ώστε να δημιουργούνται πιθανώς νέα στοιχειώδη σωματίδια. Ο δακτύλιος μέσα στον οποίο θα κινούνται τα πρωτόνια έχει ακτίνα r=4243 m και βρίσκεται σε βάθος 100 m κάτω από την επιφάνεια του εδάφους. Η δύναμη Lorenz που θα οφείλεται σε 1232 υπεραγώγιμα μαγνητικά δίπολα (ηλεκτρομαγνήτες) τοποθετημένα πάνω στον δακτύλιο κατά μήκος της δέσμης των πρωτονίων, θα δρα ως κεντρομόλος δύναμη για την κυκλική κίνηση των πρωτονίων. (Υπεραγωγός είναι το υλικό εκείνο στο οποίο υπάρχει πλήρης απουσία ηλεκτρικής αντίστασης και αυτό στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητών του LHC επιτυγχάνεται με υγρό Ήλιο και σε θερμοκρασία 1,9 Κ)

α)  Υπολογίστε / εκτιμήστε την κεντρομόλο δύναμη σε κάθε πρωτόνιο, λαμβάνοντας υπ’ όψη ότι η ενέργεια των πρωτονίων δίνεται από τη σχέση ισοδυναμίας μάζας και ενέργειας του Einstein Ε=mc² και ότι όπως αποδεικνύεται ο τύπος της κεντρομόλου και στις υψηλές ταχύτητες έχει την ίδια μορφή με εκείνη που έχει στην κλασική μηχανική με την προϋπόθεση ότι το m είναι αυτό που υπεισέρχεται στην εξίσωση E=m c².

β)  Θα υπάρχουν δύο δέσμες πρωτονίων με 2835 ομάδες σε κάθε δέσμη και 1,05 10¹¹ πρωτόνια σε κάθε ομάδα. Να υπολογίσετε την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος της μιας δέσμης των πρωτονίων. Δίνεται το φορτίο κάθε πρωτονίου e=1,602 10-19C και η ταχύτητα του φωτός c=3 10⁸ m/s.

γ)  Από την τιμή της κεντρομόλου δύναμης σε κάθε πρωτόνιο, υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο Β.

δ)  Ένα πλήθος αναγκαίων διατάξεων, όπως αντλίες κενού, RF κοιλότητες, μετρητικές διατάξεις, όργανα υψηλής τάσης, τετραπολικοί μαγνήτες (οι οποίοι αποτρέπουν την απόκλιση της δέσμης) και βεβαίως οι τεράστιοι ανιχνευτές στοιχειωδών σωματιδίων όπως οι ATLAS και CMS παρεμβάλλονται στον δακτύλιο και τα 1232 μαγνητικά δίπολα δεν καλύπτουν ολόκληρη την περίμετρο του δακτυλίου αλλά μόνο ένα κλάσμα της. Για το λόγο αυτό το μαγνητικό πεδίο που απαιτείται είναι κατά 51,4% αυξημένο σε σχέση με αυτό που βρήκατε στο ερώτημα γ. Να υπολογίσετε αυτό το απαιτούμενο μαγνητικό πεδίο Β. Το κάθε δίπολο έχει μήκος 14,3 m. Να υπολογίσετε το συνολικό μήκος που καλύπτουν τα δίπολα και την ακτίνα του κύκλου που έχει περίμετρο το μήκος αυτό.

ε)  Ο ανιχνευτής CMS περιέχει το μεγαλύτερο σωληνοειδές που έχει ποτέ κατασκευασθεί, με συνολικό μήκος 12,5 m και 2180 σπείρες στις οποίες κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα Ι=19500 Α. Αν μ₀=4π 10^-7 Τ m / A , να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο Β στο εσωτερικό του σωληνοειδούς. Δίνεται: Κ_μ=μ₀/4π και ότι σπείρες θα είναι υπεραγωγοί σε θερμοκρασία 4.2 Κ.

στ)  Αν ένα ηλεκτρόνιο κινούμενο με ταχύτητα υ₀=6.10⁴m/s εισέλθει στο εσωτερικό του σωληνοειδούς του ερωτήματος ε από τη μια του άκρη, έτσι ώστε η ταχύτητά του να σχηματίζει με τον άξονα του σωληνοειδούς γωνία φ=600 και εξέλθει από την άλλη του άκρη, να βρείτε το χρόνο κίνησης και το μήκος της τροχιάς που διαγράφει το ηλεκτρόνιο μέσα στο
σωληνοειδές.

ζ)  Στον LEP ο οποίος ήταν ο προηγούμενος επιταχυντής του CERN υπήρχαν 500 ηλεκτρομαγνήτες με αντίσταση R=0,08Ω ο καθένας, στους οποίους κυκλοφορούσε ηλεκτρικό ρεύμα 500 A για την παραγωγή μαγνητικού πεδίου 0,3 T. Να υπολογίσετε την απώλεια ισχύος στις αντιστάσεις των ηλεκτρομαγνητών και προσπαθήστε να δικαιολογήσετε τη χρήση των υπεραγώγιμων ηλεκτρομαγνητών στον LHC.

η)  Το κάθε μαγνητικό δίπολο περιέχει υπεραγώγιμα σύρματα τα οποία απέχουν 45 mm από το κέντρο του δακτυλίου (σχήμα 1). Στα σύρματα αυτά κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα 12000 Α. Σε αντιδιαμετρικά σύρματα τα ρεύματα είναι αντίθετα, όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Να υπολογίσετε τον αριθμό των συρμάτων στηριζόμενοι στην τιμή του απαιτούμενου μαγνητικού πεδίου Β την οποία υπολογίσατε στο ερώτημα δ. Τα σύρματα είναι ευθύγραμμοι ρευματοφόροι αγωγοί.

θ)  Να βρείτε τη δύναμη ανά μονάδα μήκους σε κάθε σύρμα από το μαγνητικό πεδίο του αντιδιαμετρικού του σύρματος.