1η περίπτωση :
το πηνίο έχει μηδενική ωμική αντίσταση
στο κύκλωμα πηνίο - λαμπτήρα : 0 = L . di/dt + iλ . R = 0 ( δεν υπάρχει πηγή )
V = VKM = | VL | = VR τότε V = V0 . ημωt = L . di/dt = iλ . R
V0 . ημωt - L . di/dt = 0 => di/dt = V0 / L . ημωt => iL (t) = - (V0 / ωL) . συνωt = (V0 / ωL) . ημ(ωt - π/2) για το πηνίο
V0 . ημωt = iλ . R => iλ (t) = V0 / R. ημωt για τον λαμπτήρα
i = iL (t) + iλ (t) i = - (V0 / ωL) . συνωt + V0 / R. ημωt = I . ημ(ωt + φ) = Ι . ( ημωt . συνφ + συνωt . ημφ )
εξισώνουμε τους συντελεστές ως προς τα συνωt και ημωt :
συνωt : - (V0 / ωL) = Ι . ημφ
ημωt : V0 / R = Ι . συνφ εφφ = - (1 / ωL) / (1 / R) και I2 = ( V0 / ωL )2 + ( V0 / R )2
=> I = V0 . [ ( 1 / ωL )2 + ( 1 / R )2 ]1/2 = V0 . ( 1/Z ) = V0 / Z = Ι πλάτος της έντασης του ρεύματος
Ζ : εμπέδηση κυκλώματος 1 / Z2 = 1/ (ωL)2 + 1/ R2 = ( 1 / ZL )2 + ( 1 / R )2
από τις σχέσεις εφφ = ημφ / συνφ και ημ2 φ + συν2 φ = 1 έχουμε : εφ2 φ + 1 = 1 / συν2 φ (4) και 1/εφ2 φ + 1 = 1 / ημ2 φ (5)
η (5) => 1 / ημ2 φ = (- ωL / R)2 + 1 => ημ2 φ = R2 / [ (ωL)2 + R)2 ] => ημφ = - R / [ (ωL)2 + R)2 ]½ => ημφ = - R / Z
η (4) => 1 / συν2 φ = (- R / ωL )2 + 1 => συνφ = (ωL) / [ (ωL)2 + R)2 ]½ = ZL / Z => συνφ = ZL / Z
...........................................................................................................................................................................................
2η περίπτωση
το πηνίο έχει ωμική αντίσταση Rπ
V = VKM = Vπ = Vλ τότε V = V0 . ημωt = L . di/dt + iπ . Rπ = iλ . Rλ
V0 . ημωt = iλ . Rλ => iλ (t) = (V0 / Rλ) . ημωt για τον λαμπτήρα
V0 . ημωt = L . diπ / dt + iπ . Rπ (1) iπ (t) = Α . ημ(ωt + φ) = Α . ( ημωt . συνφ + συνωt . ημφ ) για το πηνίο
diπ / dt = Α . ω . ( συνωt . συνφ - ημωt . ημφ ) η (1) => V0 . ημωt = Α . ω . ( συνωt . συνφ - ημωt . ημφ ) + Α . ( ημωt . συνφ + συνωt . ημφ ) . Rπ
εξισώνουμε τους συντελεστές ως προς τα συνωt : 0 = Α . ωL . συνφ + Α . ημφ . Rπ => ωL . συνφ = - ημφ . Rπ => - ωL / Rπ = εφφ
από τις σχέσεις εφφ = ημφ / συνφ και ημ2 φ + συν2 φ = 1 έχουμε : εφ2 φ + 1 = 1 / συν2 φ (4) και 1/εφ2 φ + 1 = 1 / ημ2 φ (5)
η (4) => 1 / συν2 φ = ( - ωL / Rπ )2 + 1 => συν2 φ = Rπ 2 / [ (ωL)2 + Rπ2 ] => συνφ = Rπ / [ (ωL)2 + Rπ2 ]½ => συνφ = Rπ / Ζπ όπου Ζπ = [ (ωL)2 + Rπ2 ]½
η (5) => 1 / ημ2 φ = ( - Rπ / ωL )2 + 1 => ημφ = - (ωL) / [ (ωL)2 + Rπ2 ]½ => ημφ = - ωL / Ζπ όπου Ζπ = [ (ωL)2 + Rπ )2 ]½
εξισώνουμε τους συντελεστές ως προς τα ημωt : V0 = - Α . ωL . ημφ + Α . συνφ . Rπ => V0 = - Α . ωL .( - ωL / Ζπ ) + Α .( Rπ / Ζπ ) . Rπ => V0 = Α . (ωL)2 / Ζπ + Α . Rπ2 / Ζπ =>
=> V0 = Α . [ (ωL)2 + Rπ2 ] / Ζπ => V0 = Α . Ζπ2 / Ζπ => Α = V0 / Ζπ άρα iπ (t) = Α . ημ(ωt + φ) = iπ (t) = V0 / Ζπ . ημ(ωt + φ) , εφφ = - ωL / Rπ , Ζπ = [ (ωL)2 + Rπ )2 ]½
i = iπ (t) + iλ (t) i = (V0 / Ζπ) . ημ(ωt + φ) + (V0 / Rλ) . ημωt = I . ημ(ωt + θ) =>
=> (V0 / Ζπ) . ( ημωt . συνφ + συνωt . ημφ ) + (V0 / Rλ) . ημωt = Ι . ( ημωt . συνθ + συνωt . ημθ )
εξισώνουμε τους συντελεστές ως προς τα συνωt και ημωt :
συνωt : (V0 / Ζπ) . ημφ = Ι . ημθ => (V0 / Ζπ) . ( - ωL / Ζπ ) = Ι . ημθ => - V0 .ωL / Ζπ2 = Ι . ημθ (2)
ημωt : (V0 / Ζπ) . συνφ + (V0 / Rλ) = Ι . συνθ => (V0 / Ζπ) . Rπ / Ζπ + (V0 / Rλ) = Ι . συνθ => V0 . [ (Rπ / Ζπ2 ) + (1 / Rλ) ] = Ι . συνθ (3)
(2) : (3) => εφθ = - ωL . Rλ / ( Rλ . Rπ + Ζπ2 ) ή εφθ = - ωL . Rλ / ( Rλ . Rπ + [ (ωL)2 + Rπ ]2 )
(2) 2 + (3) 2 => I2 = V02 . { ( ωL / Ζπ2 ) 2 + [ ( Rπ / Ζπ2 ) + (1 / Rλ) ]2 } =
= V02 . { (ωL)2 / Ζπ4 + ( Rπ . Rλ + Ζπ2 )2 / Ζπ4 . Rλ2 } = V02 . { (ωL)2 . Rλ2 + ( Rπ . Rλ + Ζπ2 )2 } / Ζπ4 . Rλ2 = I2
πλάτος της έντασης του συνολικού ρεύματος : Ι = V0 . { (ωL)2 . Rλ2 + ( Rπ . Rλ + Ζπ2 )2 }1/2 / Ζπ2 . Rλ