συν(ωt + φ)  =  συνωt . συνφ  -   ημωt . ημφ

i = dq/dt       i =  I . ημ(ωt + φ)     q =  - I/ω . συν(ωt + φ)       di/dt  =  I.ω . συν(ωt + φ)

V  =  V_L  =  V_C  = V_R     =>     V₀ . ημωt   =  L . di_L / dt  =  q/C  =  i_R . R  

το πηνίο έχει  μηδενική ωμική αντίσταση

1ος τρόπος :     V₀ . ημωt   =  L . di_L /dt  =>    di_L  = V₀ / L . ημωt . dt    =>    i_L  =  - V₀ / ωL . συνωt   =  V₀ / L.ω . ημ(ωt - π/2)   

2ος τρόπος :     V₀ . ημωt   =  L . I_0,L .ω . συν(ωt + φ)  =>   V₀ . ημωt   =  L . I_0,L . ω .( συνωt . συνφ  -   ημωt . ημφ )  =>  

                    =>   0   =  L . I_0,L .ω . συνφ   =>     φ =  π/2   ή   - π/2      τότε   ημφ  =  1  ή   -1      

                           και      V₀  =  -  L . I_0,L .ω . ημφ   => I_0,L  =   V₀  / L.ω     άρα     i_L (t)  =   V₀ / L.ω . ημ(ωt - π/2)      για το πηνίο

V₀ . ημωt   =   q/C   =>      q (t)  =   C . V₀ . ημωt  =  - I_0,C / ω . συν(ωt + θ)   =>     C . V₀ . ημωt  =  - I_0,C / ω . ( συνωt . συνθ  -   ημωt . ημθ ) =>

               0  =  - I_0,C / ω .   συνθ    =>   συνθ  =  0  =>    θ  =  π/2   ή   - π/2      τότε  ημθ = 1  ή  -1

              C . V₀ .   =   I_0,C / ω . ημθ   =>    ωC . V₀   =   I_0,C     άρα    i_C (t) =  ωC.V₀ . ημ(ωt + π/2)          για τον πυκνωτή

V₀ . ημωt   =    i_R . R   =>    i_R (t) =  V₀ / R .  ημωt       για την αντίσταση  

το ολικό ρεύμα :    i   =   i_L   +   i_C   +    i_R    =>   i   =     V₀ / L.ω . ημ(ωt - π/2)    +    ωC.V₀ . ημ(ωt + π/2)   +  V₀ / R .  ημωt     =>      

                  i   =   -  V₀ / L.ω . συνωt      +    ωC.V₀ . συνωt    +  V₀ / R .  ημωt     =>  

                  i   =  V0  . ( ωC  -  1 / L.ω ) . συνωt    +  V₀ / R .  ημωt     =    Ι . ημ(ωt + φ)  =  Ι . ( ημωt . συνφ  +   συνωt . ημφ )    => 

   V0  . ( ωC  -  1 / L.ω )    =   Ι .  ημφ   (1)   =>       (1)  / (2)  =>   εφφ  =  ( ωC  -  1 / L.ω ) . R

           V₀ / R     =     Ι .  συνφ        (2)        =>         (1) ²  + (2) ²  =>    Ι²  =    V0 ² . {  ( ωC  -  1 / L.ω )²  +    ( 1 / R )²  }   =  V0² / Ζ²      Ι =  V0 / Ζ 

η εμπέδηση  Ζ  του κυκλώματος :   1 / Ζ²    =   {  ( ωC  -  1 / L.ω )²  +   ( 1 / R )²  }