Α Σ Κ Η Σ Η       

Δίνεται η συνάρτηση :   g(x) =    Φ ( x² - 2.x + 4 )     

να βρεθεί το πεδίο ορισμού     

να μελετηθεί ως προς την μονοτονία  και τα ακρότατα

να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο  Α ( 2, g(2) )

να  υπολογισθεί το όριο :   lim _(x->2)  [ g(x) - 2 ] / ( x² - 3.x + 2 )

                            Ε Π Ι Λ Υ Σ Η      

πεδίο ορισμού

πρέπει η υπόριζος ποσότητα να είναι θετική  :   x² - 2.x + 4  ³  0   η διακρίνουσα του τριωνύμου :  Δ = β² - 4.α.γ  =  (-2)² - 4.1.4  =  4 - 16  = -12  < 0    άρα  το τριώνυμο είναι ομόσημο του  α  = 1  >  0     άρα είναι θετικό   για κάθε τιμή του  χ ε R        το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι  A = R.

μονοτονία  και   ακρότατα

πρέπει να βρούμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης :

g' (x) =  [ ( x² - 2.x + 4 )^½  ] '  =   ( x² - 2.x + 4 )'  /  2 . ( x² - 2.x + 4 )^½    =       ( 2.x - 2 )  /  2 . ( x² - 2.x + 4 )^½    =   ( χ - 1 )  /  ( x² - 2.x + 4 )^½         

ο παρονομαστής είναι θετικός διότι είναι τετραγωνική ρίζα    οπότε έχουμε :     g' (x)  > 0   =>   χ - 1 > 0   =>  χ > 1       η  g(x)  είναι αύξουσα 

g' (x) < 0   =>   χ - 1 < 0   =>   χ < 1   η  g(x)  είναι φθίνουσα  

συνεπώς  στο  χ = 1  η  συνάρτηση παρουσιάζει  ελάχιστο     η  g(1)  = ( 1² - 2.1 + 4 )^1/2   = ( 1 - 2  + 4 )^1/2  = 3^1/2  

εξίσωση εφαπτομένης 

  ψ = λ . χ + β       χ = 2,        ψ = g(2)  = ( 2² - 2.2 + 4 )^1/2   = ( 4 - 4 + 4 )^1/2   = ( 4 )^1/2  =  2        και     λ = g' (2) =   ( 2 - 1 )  /  ( 2² - 2.2 + 4 )^1/2    =    1 /  ( 4 - 4 + 4 )^1/2    =  1/2  =   0,5

οπότε  έχουμε :    ψ = λ . χ + β  =>   2 =  0,5 . 2  +  β  =>   2 = 1 + β  =>   β = 1      άρα η εξίσωση εφαπτομένης της συνάρτησης στο  σημείο  Α ( 2, g(2) )  είναι  η ευθεία :  ψ = 0,5 . χ + 1   

lim _(x->2)  [ g(x) - 2 ] / ( x² - 3.x + 2 )   =   lim _(x->2)  [ ( x² - 2.x + 4 )^1/2   - 2 ] / ( x² - 3.x + 2 )            κάνουμε γινόμενο τον παρονομαστή :  χ² - 3.χ + 2 =  χ² - χ - 2.χ + 2 =  χ.(χ - 1) - 2.(χ - 1)  =  (χ  - 1) . (χ - 2)    και   πολλαπλασιάζουμε  αριθμητή και παρονομαστή με την συζυγή παράσταση που είναι : [ ( x² - 2.x + 4 )^1/2  + 2 ]  

  οπότε  έχουμε :   lim _(x->2)  [ ( x² - 2.x + 4 )^1/2   - 2 ] . [ ( x² - 2.x + 4 )^1/2  + 2 ] / ( x - 1 ) . ( x - 2 )  . [ ( x² - 2.x + 4 )^1/2  + 2 ]   =   

                              =  lim _(x->2)  [ ( x² - 2.x + 4 )  -  4 ]  / ( x - 1 ) . ( x - 2 ) . [ ( x² - 2.x + 4 )^1/2  + 2 ]   =

                              =  lim _(x->2)  [ x² - 2.x  ]  / ( x - 1 ) . ( x - 2 ) . [ ( x² - 2.x + 4 )^1/2  + 2 ]   =    

                              =  lim _(x->2)  x . ( x - 2 )  / ( x - 1 ) . ( x - 2 ) . [ ( x² - 2.x + 4 )^1/2  + 2 ]   =            απλοποιούμε το  ( χ - 2 )

                              =  lim _(x->2)   x / ( x - 1 ) . [ ( x² - 2.x + 4 )^1/2  + 2 ]   =                    θέτουμε όπου   χ  το  2     και  κάνουμε πράξεις

                               =  lim _(x->2)   2 / ( 2 - 1 ) . [ ( 2² - 2.2 + 4 )^1/2  + 2 ]   =      2 /  [ ( 4 )^1/2  + 2 ]   =   2  /  [ 2 + 2 ]   =    1/2