π ρ ό β λ η μ α

Κυκλικό πλαίσιο έχει  Ν = 10 περιελίξεις  (σπείρες),  κάθε σπείρα έχει εμβαδόν επιφάνειας Α = 10 dm²   στρέφεται με συχνότητα  f = 10 Hz   μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 0,1 Τ.  

α)   Εκφράστε την μαγνητική ροή  Φ  που διέρχεται μέσα από τις σπείρες του πλασίου συναρτήσει του χρόνου t.    

β)   Βρείτε την 1η πράγωγο της συνάρτησης  Φ(t).

γ)   Βρείτε την εξίσωση της εναλλασσομένης τάσης που παράγεται από επαγωγή στα άκρα του πλαισίου.

δ)   Το πλαίσιο  συνδέεται με   πηνίο    πυκνωτή    λαμπτήρα     όπως στο σχήμα

   i)    το πηνίο έχει  Ν' = 1000 σπείρες    εμβαδόν κάθε σπείρας  Α' = 10 cm²    και  μήκος  l = 10 cm      βρείτε την  επαγωγική αντίδραση   ω.L   του              πηνίου     και   εκφράστε  το  ρεύμα που το διαρρέει συναρτήσει του χρόνου  i_L (t)

   ii)    ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα  C = 10 mF     βρείτε την  χωρητική αντίδραση   1/ω.C   του πυκνωτή     και   εκφράστε  τον  ρεύμα που το                 διαρρέει συναρτήσει του χρόνου  i_C (t)

   iii)   ο λαμπτήρας έχει ωμική αντίσταση  R = 10 Ω     εκφράστε  το  ρεύμα που τον διαρρέει συναρτήσει του χρόνου  i_R (t)

α)     η γωνιακή ταχύτητα  περιστροφής του πλαισίου ισούται με :    ω  =  2 . π . f   =>       ω  =  2 . π . 10 Hz  =>    ω  =  20.π rad/sec

          το εμβαδόν επιφάνειας κάθε σπείρας είναι :   Α = 10 dm² =  10 . 10 ^{- 2} m²  =>   Α =  10^-1 m²    

         η μαγνητική ροή που διέρχεται μέσα από τις σπείρες του πλαισίου είναι :

                   Φ(t) = Β . Α . Ν . συν(ω.t)      =>     Φ(t) = 0,1 Τ .  10^-1 m²  . 10 . συν(20.π.t)       =>     Φ(t) =  0,1 . συν(20.π.t)  Weber

β)     η  1η παράγωγος της συνάρτησης   Φ(t)   είναι :     Φ'(t)  =  [  0,1 . συν(20.π.t) ]'   =  - 20.π.0,1 . ημ(20.π.t)   =>   Φ'(t)  =  - 2.π. ημ(20.π.t)  

γ)      η εναλλασσομένη τάση που αναπτύσεται στα άκρα του πλαισίου έχει εξίσωση :  

                   V(t)  =  Ε_{επαγωγική}  =  - Φ'(t)      =>    V(t)  =  - [ - 2.π . ημ(20.π.t) ]  =    2.π. ημ(20.π.t)   Volt               V(t) =  2.π. ημ(20.π.t)  Volt

                   η μέγιστη τιμή της τάσης είναι  V₀ =  2.π  Volt    ( πλάτος τάσης )                       

δ)   i)    το εμβαδόν επιφάνειας κάθε σπείρας του πηνίου είναι :   Α' = 10 cm² =  10 . 10^-4 m²  =>  Α'  =  10^-3 m²    

                ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου  ισούται με :    L  =  μ₀ . Α' . (Ν')² / l     χωρίς σιδηροπυρήνα  

                            οπότε  έχουμε :   L =  μ₀ . Α' . (Ν')² / l  =    4.π.10^-7 Ν/Α² . 10^-3 m² . 1000² / 0,1 m    =>    L  =  4.π.10^-3  Henry         

             η επαγωγική αντίδραση του πηνίου ισούται με :   ω.L  =  20.π rad/sec . 4.π.10^-3  Henry  =>   ω.L  =  8.π².10^-2 Ω   =>   ω.L  =  0,8 Ω

             το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο  "καθυστερεί"  ως προς την τάση κατά  90°   οπότε :        

                  i_L (t)  =  V₀ / ω.L .  ημ(ω.t - 90°)        =>   i_L (t)  =  2.π / 0,8 .  ημ(20.π.t - 90°)     =>     i_L (t)  =  2,5.π . ημ(20.π.t - 90°)   Ampere

     ii)    ο πυκνωτής  έχει χωρητικότητα  C = 10 mF  =  10 . 10^-3 Farad  =  10^-2 Farad  

                   και  παρουσιάζει  χωρητική αντίδραση    1 / ω.C  =   1 / (20.π.10^-2 ) =  5/π Ω   =>   1 / ω.C  =  5/π Ω

                  το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή  "προηγείται"  ως προς την τάση κατά  90°   οπότε :        

                  i_C (t)  =  V₀ / (1/ω.C) .  ημ(ω.t + 90°)        =>   i_C (t)  =  2.π / (5/π) .  ημ(20.π.t + 90°)     =>     i_C (t)  =  4 . ημ(20.π.t + 90°)   Ampere    

                                                                                                        2.π / (5/π)  =  2.π² / 5  =  2 . 10 / 5  =  4

       iii)    ο λαμπτήρας έχει ωμική αντίσταση   10 Ω    το ρεύμα που τον διαρρέει είναι  συμφασικό  με την τάση   οπότε :  

                                           i_R (t) = V(t) / R       =>    i_R(t)  =   2.π / 10 . ημ(20.π.t)       =>          i_R (t) =   0,2.π. ημ(20.π.t)    Ampere