Ε.Ρ. ασκήσεις

Ε ν α λ λ α σ σ ό μ ε ν ο Ρ ε ύ μ α

5.46 Εναλλακτήρας αποτελείται από ορθογώνιο πλαίσιο 100 σπειρών, διαστάσεων 50 cm×20 cm,
που στρέφεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B = 0,02 Τ, με συχνότητα 900 στροφές/min,
γύρω από άξονα που είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της τάσης που παράγει. [ 18,84 V ]

5.47 Να υπολογιστεί η ενεργός τιμή της εναλλασσόμενης τάσης που επάγεται στα άκρα
ορθογωνίου πλαισίου εμβαδού Α = 500 cm² και N = 80 σπειρών όταν περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω = 48 rad/s
γύρω από άξονα που βρίσκεται στο επίπεδό του και είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου Β = 1,62 Τ. Αν το πλαίσιο έχει συνολική αντίσταση R = 10 Ω και στα άκρα του συνδεθεί εξωτερική αντίσταση R₁ = 100 Ω να υπολογιστεί η μεγαλύτερη τιμή του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα. [ 220 V, 2√2 A ]

5.48 Πηγή συνεχούς τάσης V_Σ = 100 V όταν συνδεθεί με αντιστάτη R προκαλεί την ίδια
θερμική ισχύ με πηγή εναλλασσόμενης τάσης συνδεόμενη με αντιστάτη 2R. Αν οι εσωτερικές αντιστάσεις των πηγών θεωρηθούν αμελητέες να υπολογίσετε το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης. [ 200 V ]

5.49 Η εναλλασσόμενη τάση V = 100√2.ημ(100πt) (SΙ), εφαρμόζεται στα άκρα αγωγού αντίστασης R = 50 Ω.
Να υπολογιστεί το ποσό θερμότητας που παράγεται στον αγωγό σε χρόνο Δt = 1 min. [ 1,2·10⁴ J ]

5.50 Αντίσταση R τροφοδοτείται με εναλλασσόμενο ρεύμα της μορφής i = I₀ .ημ(314t) και καταναλώνει μέση ισχύ 100 W.
α) Να υπολογιστεί η στιγμιαία ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση τη στιγμή t₁ = 5·10⁻³ s.
β) Αν Ι_εν = 0,4 Α ποια η τιμή της τάσης τη χρονική στιγμή t₂ = 2,5·10^-3 s; [ 200 W, 250 V ]

5.51 Ηλεκτρική λάμπα που έχει αντίσταση R = 40 Ω τροφοδοτείται με εναλλασσόμενη τάση της μορφής V = 80√2.ημ(100t) (SI).
Να υπολογιστεί η μέση ισχύς που καταναλώνει η λάμπα. [ 160 W ]

01. Ωμικός αντιστάτης αντίστασης R = 10 Ω διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα του οποίου
η στιγμιαία ένταση δίνεται από τη σχέση i = 10√2 ημ(200πt) (SI). Να υπολογίσετε :
α) τη συχνότητα και την περίοδο του ρεύματος.
β) την ενεργό ένταση του ρεύματος και την ενεργό τάση στα άκρα της R.
γ) την εξίσωση της στιγμιαίας ισχύος του ρεύματος σε συνάρτηση με τον χρόνο.
δ) τη χρονική στιγμή κατά την οποία η στιγμιαία ισχύς γίνεται πρώτη φορά ίση με τη μέση ισχύ.

[ α) 100 Hz, 0,01 s β) 10 A, 100 V γ) Ρ = 2·10 ημ (200πt) (SI) δ) 1/800 s ]

02. Ωμικός αντιστάτης αντίστασης R = 10 Ω διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα του οποίου η ένταση
μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση i = Ι ημ(ωt). Τις χρονικές στιγμές t₁ = 1/480 s και t₂ = 1/320 s
η ένταση γίνεται για πρώτη φορά i₁ = 10 Α και i₂ = Ι_εν αντίστοιχα. Να υπολογίσετε :
α) τη συχνότητα και το πλάτος του ρεύματος.
β) τις τιμές της τάσης στον αντιστάτη και τις τιμές της στιγμιαίας ισχύος του ρεύματος τις χρονικές στιγμές t₁ και t₂ .

[ α) 40 Hz, 20 A β) 100 V, 100√2 V, 10³ W, 2·10³ W ]

03. Μια θερμική συσκευή, που λειτουργεί κανονικά, διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα της μορφής i = 2 ημ(100πt), (SI).
Τη χρονική στιγμή t = 5·10^-3 s η τάση στα άκρα της συσκευής γίνεται για πρώτη φορά V₁ = 40 V. Να υπολογίσετε :
α) την ενεργό τάση στα άκρα της συσκευής.
β) την ωμική αντίσταση της συσκευής.
γ) τα στοιχεία κανονικής λειτουργίας της συσκευής.
δ) τον ρυθμό με τον οποίο απορροφά ηλεκτρική ενέργεια η συσκευή τη χρονική στιγμή t₂ κατά την οποία η ένταση του ρεύματος είναι i₂ = 0,7 Α. [ α) 20√2 V β) 20 Ω γ) 20√2 V, 40 W δ) 9,8 J/s ]

04. Κυκλικό αγώγιμο πλαίσιο με εμβαδόν Α = 10^-2 m² αποτελείται από Ν = 240 σπείρες,
έχει αμελητέα αντίσταση και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 50 rad/s.
Το πλαίσιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1 Τ, το οποίο είναι κάθετο
στον άξονα περιστροφής του πλαισίου. Στα άκρα του πλαισίου συνδέεται
θερμαντικό σώμα με στοιχεία κανονικής λειτουργίας 324 W και 90√2 V. Να υπολογίσετε
α) την ωμική αντίσταση του θερμαντικού σώματος.
β) τη μέγιστη τιμή της στιγμιαίας ηλεκτρικής ισχύος του θερμαντικού σώματος.
γ) ποια πρέπει να είναι η γωνιακή ταχύτητα του πλαισίου, ώστε το θερμαντικό σώμα να λειτουργεί κανονικά;

[ α) 50 Ω β) 288 W γ) 75 rad/s ]

05. Σε ένα μεταλλικό σύρμα ωμικής αντίστασης R = 200 Ω διαβιβάζονται ταυτόχρονα δύο εναλλασσόμενα
ρεύματα των οποίων οι εντάσεις δίνονται από τις σχέσεις : i₁ = 4 ημ(100πt) (SI) και i₂ = 4 ημ( 100πt + π/2 ) (SI)
α) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του συνολικού ρεύματος σε συνάρτηση με τον χρόνο.
β) Να υπολογίσετε την ενεργό ένταση του συνολικού ρεύματος.
γ) Να υπολογίσετε το φορτίο που περνά από μια διατομή του σύρματος το χρονικό διάστημα Δt = 2 s.
δ) Πόση ηλεκτρική ενέργεια μεταβιβάζεται στο σύρμα σε χρονικό διάστημα Δt = 2 s;
[ α) i = 4√2 ημ( 100πt+ π/4 ) (SI) β) 4 A γ) 0 C δ) 6400 J ]

06. Δύο αντιστάτες αντιστάσεων R₁ = 10 Ω, R₂ = 30 Ω αντίστοιχα, συνδέονται σε σειρά και στα άκρα
του συστήματός τους εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση που περιγράφεται από τη συνάρτηση V = 200√2 ημ(100πt) (SI)
α) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος, καθώς
και τις χρονικές εξισώσεις της τάσης στα άκρα κάθε αντιστάτη ξεχωριστά.
β) Να υπολογίσετε τη μέση ισχύ που απορροφά το κύκλωμα.
γ) Να βρείτε το λόγο των θερμοτήτων που εκλύονται στους δύο αντιστάτες, στο ίδιο χρονικό διάστημα.
δ) Να υπολογίστε τη στιγμιαία ισχύ που απορροφά το κύκλωμα τις χρονικές στιγμές
στις οποίες η ένταση του ρεύματος γίνεται ίση με την ενεργό της τιμή.
[ α) i = 5√2.ημ(100πt) (SI), V₁ = 50√2.ημ(100πt) (SI), V₂ = 150√2.ημ(100πt) (SI) β) 10³ W γ) Q₁ /Q₂ =1/3 δ) 10³ W ]

07. Στα άκρα ενός αντιστάτη αντίστασης R εφαρμόζεται η εναλλασσόμενη τάση V = V₀ .ημ(100πt) (SI).
O μέσος ρυθμός έκλυσης θερμότητας στον αντιστάτη είναι ΔQ/Δt = 10³ J/s
και η τιμή της τάσης τη χρονική στιγμή t = 25.T/12 είναι V = 100√2 V.
α) Να υπολογίστε το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης και την τιμή της αντίστασης R.
β) Να βρείτε τη θερμότητα που εκλύεται στον αντιστάτη, στο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ
δύο διαδοχικών μηδενισμών της εναλλασσόμενης τάσης.
γ) Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει τη στιγμιαία ισχύ που καταναλώνει ο αντιστάτης σε σχέση
με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες.
δ) Να βρείτε ποιες χρονικές στιγμές μέσα στην πρώτη περίοδο η στιγμιαία ισχύς ισούται με το μισό της μέγιστης τιμής της.

[ α) 200√2 V, 40 Ω β) 10 J γ) P = 2·10³ ημ² (100πt) (SI) δ) 1/400s, 3/400s, 5/400s, 7/400s,]

08. Στα άκρα αντιστάτη αντίστασης R = 100 Ω εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση V = V₀ .ημ(ωt).
Τη χρονική στιγμή t = 7.T/6 η ένταση του ρεύματος είναι ίση με i = √3 A.
α) Να βρείτε το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης.
β) Υπολογίστε τη θερμότητα που εκλύεται στον αντιστάτη σε χρονικό διάστημα Δt = 1 min.
γ) Υπολογίστε τη φάση της εναλλασσόμενης τάσης τη χρονική στιγμή που η στιγμιαία ισχύς του
ρεύματος γίνεται ίση με το 50% της μέγιστης τιμής της για πρώτη φορά.
δ) Η τάση που τροφοδοτεί τον αντιστάτη παράγεται από αγώγιμο πλαίσιο αμελητέας αντίστασης
που στρέφεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης μέτρου Β με γωνιακή ταχύτητα ω.
Διπλασιάζουμε ταυτόχρονα την ένταση του ομογενούς μαγνητικού πεδίου και τη γωνιακή ταχύτητα
περιστροφής του πλαισίου. Να βρείτε πόσο τοις εκατό (%) μεταβάλλεται η ενεργός τάση στα άκρα του αντιστάτη.
[ α) 200 V β) 12·10³ J γ) π/4 rad δ) 300% ]

09. Με σύρμα μήκους L = 16 m αμελητέας αντίστασης κατασκευάζουμε πλαίσιο με Ν=10 σπείρες.
Κάθε σπείρα έχει σχήμα τετραγώνου πλευράς α. Το πλαίσιο στρέφεται μέσα σε ομογενές
μαγνητικό πεδίο έντασης B = √2 T με γωνιακή ταχύτητα ω = 100 rad/s, γύρω από άξονα
που διέρχεται από τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του και είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές του πεδίου.
Την αρμονικά εναλλασσόμενη τάση που αναπτύσσεται στα άκρα
του πλαισίου την εφαρμόζουμε σε θερμική συσκευή με στοιχεία κανονικής λειτουργίας 120 V και 100 W.
Τη χρονική στιγμή t = 0 το πλαίσιο είναι κάθετο στο μαγνητικό πεδίο.
α) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της μαγνητικής ροής που περνά από κάθε σπείρα του πλαισίου
και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση μαγνητικής ροής-χρόνου σε αριθμημένους άξονες.
β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της εναλλασσόμενης τάσης

γ) Να εξετάστε αν η συσκευή λειτουργεί κανονικά. Αν όχι, να υπολογίστε την αντίσταση R_x
του αντιστάτη που πρέπει να συνδέσουμε σε σειρά με τη συσκευή, για να λειτουργήσει κανονικά.
δ) Να υπολογίσετε πόσο τοις εκατό (%) πρέπει να μεταβάλλουμε την ένταση του μαγνητικού πεδίου,
ώστε η συσκευή να λειτουργεί κανονικά, χωρίς την προσθήκη της R_x .
[ α) _{φ=0,16√2συν(100t)} (SI) β) V=160√2ημ(100t) (SI) γ) 48 Ω δ) -25% ]

10. Ένας αντιστάτης αντίστασης R = 200 Ω τροφοδοτείται από εναλλασσόμενη τάση V = V₀ . ημ(ωt).
Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της στιγμιαίας ισχύος στον αντιστάτη σε συνάρτηση με το χρόνο.

α) Να βρείτε την περίοδο, τη συχνότητα και το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης.
β) Υπολογίστε τη θερμότητα που εκλύεται στον αντιστάτη σε χρόνο ίσο με αυτόν που
χρειάζεται η τάση για να ολοκληρώσει 500 πλήρεις εναλλαγές.

γ) Ποια χρονική στιγμή η στιγμιαία ισχύς του εναλλασσόμενου ρεύματος ισούται με τη
μέση ισχύ για πρώτη φορά;
δ) Αντικαθιστούμε τον αντιστάτη με δύο άλλους αντίστασης 100 Ω ο καθένας, τους οποίους συνδέουμε
παράλληλα μεταξύ τους και στη συνέχεια στα άκρα του συστήματός τους εφαρμόζουμε
την ίδια εναλλασσόμενη τάση. Να βρείτε πόσο τοις εκατό (%) μεταβάλλεται η μέση ισχύς στο κύκλωμα.
[ α) 0,02 s, 50 Hz, 200 V β) 10³ J γ) 1/400 s δ) 300% ]

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.46 Εναλλακτήρας αποτελείται από ορθογώνιο πλαίσιο 100 σπειρών, διαστάσεων 50 cm×20 cm,
που στρέφεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B = 0,02 Τ, με συχνότητα 900 στροφές/min,
γύρω από άξονα που είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της τάσης που παράγει. [ 18,85 V ]

το εμβαδόν του πλαισίου είναι : Α = 50 cm×20 cm = 1000 cm² = 1000 . 10^-4 m² = 0,1 m²

η γωνιακή ταχύτητα ω = 2.π.f = 2 .π . 900 στροφές/min = 2 . π . 900/60 στροφές/sec = 2 . π . 15 στροφές/sec = 30.π rad/s

το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης είναι : V₀ = B . A . N .ω = 0,02 Τ . 0,1 m² . 100 . 30.π rad/s = 6.π Volt = 18,85 Volt

το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης είναι : V₀ = B . A . N .ω = 1,62 Τ . 500 . 10^-4 m² . 80 . 48 rad/s = 3.110.400 . 10^-4 Volt = 311,04 Volt

η ενεργός τάση είναι : V_εν = 0,707 . V₀ = 0,707 . 311,04 V = 220 V

η ενεργός ένταση του ρεύματος : Ι_εν = V_εν / ( R + R₁ ) = 220 V / 110 Ω = 2 Α

η μεγαλύτερη τιμή που διαρρέει το κύκλωμα είναι : Ι₀ = Ι_εν . √2 = 2.√2 A

5.48 Πηγή συνεχούς τάσης V_Σ = 100 V όταν συνδεθεί με αντιστάτη R προκαλεί την ίδια
θερμική ισχύ με πηγή εναλλασσόμενης τάσης συνδεόμενη με αντιστάτη 2.R. Αν οι εσωτερικές αντιστάσεις των πηγών θεωρηθούν αμελητέες να υπολογίσετε το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης. [ 200 V ]

P₁ = i² . R = V_Σ² / R P₂ = I_εν² . 2.R = V_εν² / 2.R V₀ = V_εν . √2

αλλά Ρ₁ = Ρ₂ => V_Σ² / R = V_εν² / 2.R => V_Σ² = V_εν² / 2 => 2 .V_Σ² = V_εν² => √2 .V_Σ = V_εν => √2 .100 V = V_εν => √2 .100 V. √2 = V₀ => V₀ = 200 Volt

πλάτος της τάσης : V₀ = 100√2 V => ενεργός τάση : V_εν = 100 V

ενεργός ένταση ρεύματος : Ι_εν = V_εν / R = 100 V / 50 Ω = 2 Α

ποσό θερμότητας : Q_θερμ. = Ι_εν² . R . t = 4 . 50 . 60 Joule = 12.000 Joule

5.50 Αντίσταση R τροφοδοτείται με εναλλασσόμενο ρεύμα της μορφής i = I₀ .ημ(314.t) και καταναλώνει μέση ισχύ 100 W.
α) Να υπολογιστεί η στιγμιαία ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση τη στιγμή t₁ = 5·10⁻³ s.
β) Αν Ι_εν = 0,4 Α ποια η τιμή της τάσης τη χρονική στιγμή t₂ = 2,5·10^-3 s; [ 200 W, 250 V ]

μέση ισχύς : P_M = Ι_εν² . R

κυκλική συχνότητα : ω = 2 . π . f => f = ω / 2.π = 314 / 2.3,14 = 50 Hz περίοδος T = 1/f = 0,02 sec

t₁ = 5·10⁻³ s = T / 4 => i = I₀ => P₁ = I₀² . R = 2 . Ι_εν² . R = 2 . 100 W = 200 Watt

P_M = Ι_εν² . R => R = P_M / Ι_εν² = 100 W / (0,4 A)² = 100 / 0,16 Ω = 10000 / 16 Ω

την στιγμή t₂ = 2,5·10^-3 s έχουμε ω . t₂ = 100 . π . 2,5·10^-3 = π . 0,25 = π/4 αλλά ημ(π/4) = √2 / 2

οπότε V = V₀ · ημ(314.t) = I₀ · R · ημ(314.t) = Ι_εν · √2 · R · ημ(314.t) = 0,4 · √2 · (10000 / 16) · (√2 / 2) = 4000 / 16 = 1000 / 4 = 250 V

5.51 Ηλεκτρική λάμπα που έχει αντίσταση R = 40 Ω τροφοδοτείται με εναλλασσόμενη τάση της μορφής V = 80√2·ημ(100t) (SI).
Να υπολογιστεί η ενεργός ένταση του ρεύματος και η μέση ισχύς που καταναλώνει η λάμπα. Ποιά η εξίσωση του ρεύματος [ 160 W ]

πλάτος της τάσης : V₀ = 80√2 V => ενεργός τάση : V_εν = 80 V

ενεργός ένταση ρεύματος : Ι_εν = V_εν / R = 80 V / 40 Ω = 2 Α Ι₀ = 2√2 Α

μέση ισχύς : P_M = Ι_εν² · R = 2² · 40 = 160 Watt

η εξίσωση του ρεύματος : i = I₀ · ημ(ω·t) => i = 2√2 · ημ(100·t)

01. Ωμικός αντιστάτης αντίστασης R = 10 Ω διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα του οποίου
η στιγμιαία ένταση δίνεται από τη σχέση i = 10√2 ημ(200π.t) (SI). Να υπολογίσετε :
α) τη συχνότητα και την περίοδο του ρεύματος.
β) την ενεργό ένταση του ρεύματος και την ενεργό τάση στα άκρα της R.
γ) την εξίσωση της στιγμιαίας ισχύος του ρεύματος σε συνάρτηση με τον χρόνο.
δ) τη χρονική στιγμή κατά την οποία η στιγμιαία ισχύς γίνεται πρώτη φορά ίση με τη μέση ισχύ.

[ α) 100 Hz, 0,01 s β) 10 A, 100 V γ) Ρ = 2·10³ ημ² (200πt) (SI) δ) 1/800 s ]

(α) ω = 200·π rad/s => 2·π·f = 200.π rad/s => f = 100 Hz συχνότητα T = 1/f = 1/100 sec = 0,01 sec χρόνος περιόδου

(β) το πλάτος του ρεύματος είναι Ι₀ = 10√2 Α η ενεργός ένταση είναι Ι_εν = 10 Α η ενεργός τάση είναι V_εν = R · Ι_εν = 10 Ω · 10 Α = 100 V

(γ) η εξίσωση της στιγμιαίας ισχύος είναι Ρ = V · i = i² · R = 100·2·ημ² (200π·t) · 10 = 2· 10³ · ημ² (200π.t)

(δ) η μέση ισχύς είναι Ρ_Μ = Ι_εν · V_εν = Ι₀ · V₀ / 2

Ρ = Ρ_Μ => Ι₀ . V₀ . ημ² (200π.t) = Ι₀ . V₀ / 2 => ημ² (200π.t) = 1 / 2 =>

ημ(200π·t) = √2 / 2 = ημ(π/4) = ημ(3·π/4) => 200π.t = 2 κ·π + π/4 ή 200π.t = 2 κ·π + 3·π/4

ή ημ(200π·t) = - √2 / 2 = ημ(5·π/4) = ημ(7·π/4) => 200π·t = 2 κ·π + 5·π/4 ή 200π·t = 2 κ·π + 7·π/4

για 1η φορά : 200π.t = π/4 => t = 1/800 sec

02. Ωμικός αντιστάτης αντίστασης R = 10 Ω διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα του οποίου η ένταση
μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση i = Ι₀ · ημ(ωt). Τις χρονικές στιγμές t₁ = 1/480 s και t₂ = 1/320 s
η ένταση γίνεται για πρώτη φορά i₁ = 10 Α και i₂ = Ι_εν αντίστοιχα. Να υπολογίσετε :
α) τη συχνότητα και το πλάτος του ρεύματος.
β) τις τιμές της τάσης στον αντιστάτη και τις τιμές της στιγμιαίας ισχύος του ρεύματος τις χρονικές στιγμές t₁ και t₂ .

[ α) 40 Hz, 20 A β) 100 V, 100√2 V, 10³ W, 2·10³ W ]

(α) t₂ = 1/320 s i₂ = Ι_εν = I₀ / √2 i = Ι₀ ·ημ(ωt) => I₀ / √2 = Ι₀ ·ημ(ω/320) => 1 / √2 = ημ(ω/320) => ω/320 = π/4 => ω = 80·π rad/sec => f = 40 Hz

t₁ = 1/480 s i₁ = 10 Α i = Ι₀ .ημ(ωt) => 10 = Ι₀ .ημ(ω/480) => 10 = Ι₀ .ημ(80π/480) => 10 = Ι₀ .ημ(π/6) = Ι₀ ·1/2 => 20 Α = Ι₀

(β) V₁ = I₁ · R = 10 A · 10 Ω = 100 V Ρ₁ = V₁ · I₁ = 100 V · 10 Α = 1000 W

V₂ = I₂ · R = I₀ / √2 · 10 Ω = 20 / √2 A · 10 Ω = 100 √2 V Ρ₂ = V₂ · I₂ = 100√2 V · 20 / √2 Α = 2000 W

03. Μια θερμική συσκευή, που λειτουργεί κανονικά, διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα της μορφής i = 2 · ημ(100πt), (SI).
Τη χρονική στιγμή t = 5·10^-3 s η τάση στα άκρα της συσκευής γίνεται για πρώτη φορά V₁ = 40 V. Να υπολογίσετε :
α) την ενεργό τάση στα άκρα της συσκευής.
β) την ωμική αντίσταση της συσκευής.
γ) τα στοιχεία κανονικής λειτουργίας της συσκευής.
δ) τον ρυθμό με τον οποίο απορροφά ηλεκτρική ενέργεια η συσκευή τη χρονική στιγμή t₂ κατά την οποία η ένταση του ρεύματος είναι i₂ = 0,7 Α. [ α) 20√2 V β) 20 Ω γ) 20√2 V, 40 W δ) 9,8 J/s ]

(α) ω = 100·π rad/s => 2·π·f = 100.π rad/s => f = 50 Hz συχνότητα T = 1/f = 1/50 sec = 0,02 sec χρόνος περιόδου

η στιγμή t = 5·10^-3 s = 0,02 / 4 s = T / 4 τότε η τάση γίνεται μέγιστη V₀ = V₁ = 40 V η ενεργός τάση θα είναι V_εν = V₀ / √2 = 40 V / √2 = 20√2 V

(β) για t = 5·10^-3 s i₁ = 2 ημ(100πt) = 2 · ημ(100π·5·10^-3 ) = 2 · ημ (π/2) = 2 Α = i₁ R = V₁ / i₁ = 40 V / 2 A = 20 Ω

(γ) τα στοιχεία κανονικής λειτουργίας της συσκευής είναι : V_εν = 20√2 V και Ρ_Μ = V_εν² / R = ( 20√2 )² / 20 W = 400·2 / 20 = 40 W

(δ) Ρ₂ = i₂² · R = 0,7² · 20 = 0,49 · 20 = 9,8 J/s

04. Κυκλικό αγώγιμο πλαίσιο με εμβαδόν Α = 10^-2 m² αποτελείται από Ν = 240 σπείρες,
έχει αμελητέα αντίσταση και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 50 rad/s.
Το πλαίσιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1 Τ, το οποίο είναι κάθετο
στον άξονα περιστροφής του πλαισίου. Στα άκρα του πλαισίου συνδέεται
θερμαντικό σώμα με στοιχεία κανονικής λειτουργίας 324 W και 90√2 V. Να υπολογίσετε
α) την ωμική αντίσταση του θερμαντικού σώματος.
β) τη μέγιστη τιμή της στιγμιαίας ηλεκτρικής ισχύος του θερμαντικού σώματος.
γ) ποια πρέπει να είναι η γωνιακή ταχύτητα του πλαισίου, ώστε το θερμαντικό σώμα να λειτουργεί κανονικά;

[ α) 50 Ω β) 288 W γ) 75 rad/s ]

(α) Ρ_Μ = 324 W και V_εν = 90√2 V τότε Ρ_Μ= V_εν² / R => R = V_εν² / P_M = ( 90√2 )² / 324 Ω = 8100 · 2 / 324 Ω = 50 Ω

(β) V₀ = Β . Α . Ν . ω = 1 . 10^-2 . 240 . 50 V = 24 . 5 V = 120 V πλάτος εναλλασσόμενης τάσης από το αγώγιμο πλαίσιο

I₀ = V₀ / R = 120 V / 50 Ω = 2,4 Α P₀ = V₀. I₀ = 120 V . 2,4 A = 288 Watt

(γ) V₀ = 90√2 V . √2 = 180 V μέγιστη τάση λειτουργίας της συσκευής πρέπει : ω = 180 V / ( 1 Τ . 10^-2 m². 240 σπείρες ) = 1800/24 rad/s = 75 rad/s

(α) i = i₁ + i2 = 4 ημ(100πt) + 4 ημ( 100πt + π/2 ) => I₀ . ημ(100πt +θ) = I₀ . ημ(100πt) .συνθ + I₀ . συν(100πt) . ημθ = 4 ημ(100πt) + 4 συν(100πt)

εξισώνουμε τα συν(100πt) : I₀ . ημθ = 4

εξισώνουμε τα ημ(100πt) : I₀ .συνθ = 4 διαιρώντας κατά μέλη έχουμε : εφθ = 1 => θ = 45° = π/4 rad

υψώνοντας στο τετράγωνο και προσθέτοντας έχουμε : Ι₀² = 2. 4² => Ι₀ = 4√2 Α

άρα το συολικό ρεύμα είναι της μορφής : i = I₀ . ημ(100πt +θ) => i = 4√2 . ημ(100πt + π/4)

(β) η ενεργός ένταση του ρεύματος είναι Ι_εν = 4 Α

(γ) dq = i . dt Q = S₀² 4√2 . ημ(100πt + π/4) dt = - [ 4√2 / 100π . συν(100πt + π/4) ]²₀ = - 4√2 / 100π . [συν(100π . 2 + π/4) - συν(100π . 0+ π/4)] =

- 4√2 / 100π . [συν( π/4) - συν( π/4)] = 0

(δ) Q_θερμ. = I_εν² . R . t = 4² . 200 . 2 = 6400 Joule

[ α) 200√2 V, 40 Ω β) 10 J γ) P = 2·10³ ημ² (100πt) (SI) δ) 1/400s, 3/400s, 5/400s, 7/400s,]

(α) i = V / R => i = V₀ / R . ημ(ωt) => i = V₀ / R . ημ( 2π/Τ . t ) => √3 A = V₀ / 100 Ω . ημ( 2π/Τ . 7.T/6 ) => √3 A = V₀ / 100 Ω . ημ( 7π/3 ) =>

=> 100√3 = V₀ . ημ( 2π + π/3 ) => 100√3 = V₀ . ημ( π/3 ) => 100√3 = V₀ . √3/2 => 200 V = V₀

(β) η ενεργός τάση είναι Vεν = 200/√2 V = 100√2 V η ενεργός ένταση ρεύματος : i_εν = Vεν / R = 100√2 V / 100 Ω = √2 Α

η μέση ισχύς : Ρ_Μ = i_εν . Vεν = √2 Α . 100√2 V = 200 Watt η θερμότητα που αναπτύσσεται σε 1 min είναι : Q = Ρ_Μ . t = 200 Watt . 60 sec = 12.000 Joule

(γ) Ρ = ½ . Ρ₀ = Ρ_Μ τότε V = V_εν => V₀ .ημ(ωt) = V_εν => 200 .ημ(ωt) = 100√2 => ημ(ωt) = √2 / 2 => ωt = π/4 rad για πρώτη φορά

(δ) V₀ = B . A . N . ω αν διπλασιάσουμε ταυτόχρονα το Β και την ω τότε V₀' = 4 . V₀ συνεπώς η ενεργός τάση αυξάνεται κατά 300%

09. Με σύρμα μήκους L = 16 m αμελητέας αντίστασης κατασκευάζουμε πλαίσιο με Ν=10 σπείρες.
Κάθε σπείρα έχει σχήμα τετραγώνου πλευράς α. Το πλαίσιο στρέφεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης B = √2 T
με γωνιακή ταχύτητα ω = 100 rad/s, γύρω από άξονα που διέρχεται από τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του
και είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές του πεδίου. Την αρμονικά εναλλασσόμενη τάση που αναπτύσσεται στα άκρα
του πλαισίου την εφαρμόζουμε σε θερμική συσκευή με στοιχεία κανονικής λειτουργίας 120 V και 100 W.
Τη χρονική στιγμή t = 0 το πλαίσιο είναι κάθετο στο μαγνητικό πεδίο.
α) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της μαγνητικής ροής που περνά από κάθε σπείρα του πλαισίου
και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση μαγνητικής ροής-χρόνου σε αριθμημένους άξονες.
β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της εναλλασσόμενης τάσης

γ) Να εξετάστε αν η συσκευή λειτουργεί κανονικά. Αν όχι, να υπολογίστε την αντίσταση R_x
του αντιστάτη που πρέπει να συνδέσουμε σε σειρά με τη συσκευή, για να λειτουργήσει κανονικά.
δ) Να υπολογίσετε πόσο τοις εκατό (%) πρέπει να μεταβάλλουμε την ένταση του μαγνητικού πεδίου,
ώστε η συσκευή να λειτουργεί κανονικά, χωρίς την προσθήκη της R_x .
[ α) _{Φ=0,16√2συν(100t)} (SI) β) V=160√2ημ(100t) (SI) γ) 48 Ω δ) -25% ]

(α) 4 . α . N = L = 16 m => α = 0,4 m πλευρά πλαισίου το εμβαδόν επιφάνειας είναι : A = α² = 0,16 m²

μέσα από κάθε σπείρα του πλαισίου διέρχεται μαγνητική ροή : Φ = Β . Α . συν(ωt) = √2 T . 0,16 m² . συν(100t) => Φ = 0,16.√2. συν(100t)

για t = 0 το πλαίσιο είναι κάθετο στο μαγνητικό πεδίο άρα μέγιστη ροή

(β) το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης είναι : V₀ = B . A . N . ω = √2 . 0,16 . 10 . 100 = 160√2 Volt άρα η στιγμιαία τάση : V = 160√2.ημ(100t) (SI)

(γ) θερμική συσκευή με στοιχεία κανονικής λειτουργίας 120 V και 100 W i = 100 W / 120 V = 5/6 A = Ι_εν

R = V / i = 120 V / (5/6 A) = 720/5 Ω = 144 Ω αντίσταση συσκευής

η θερμική συσκευή δεν λειτουργεί κανονικά 120 V < 160 V συνεπώς συνδέουμε σε σειρά αντίσταση R_x R_ολ = R + R_x = 160 V / (5/6 A) = 192 Ω

άρα R_x = 192 Ω - 144 Ω = 48 Ω

(δ) το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης είναι : V₀ ' = B' . A . N . ω => 120√2 Volt = Β' . 0,16 . 10 . 100 => Β' = 120√2 / 160 => Β' = 3√2 / 4 Τ

ΔΒ = Β' - Β = 3√2 / 4 - √2 = - √2 / 4 Τ συνεπώς πρέπει να μ ε ι ώ σ ο υ μ ε την ένταση του μαγνητικού πεδίου 25%

α) Να βρείτε την περίοδο, τη συχνότητα και το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης.
β) Υπολογίστε τη θερμότητα που εκλύεται στον αντιστάτη σε χρόνο ίσο με αυτόν που χρειάζεται η τάση για να ολοκληρώσει 500 πλήρεις εναλλαγές.

γ) Ποια χρονική στιγμή η στιγμιαία ισχύς του εναλλασσόμενου ρεύματος ισούται με τη μέση ισχύ για πρώτη φορά;
δ) Αντικαθιστούμε τον αντιστάτη με δύο άλλους αντίστασης 100 Ω ο καθένας, τους οποίους συνδέουμε παράλληλα μεταξύ τους
και στη συνέχεια στα άκρα του συστήματός τους εφαρμόζουμε την ίδια εναλλασσόμενη τάση.
Να βρείτε πόσο τοις εκατό (%) μεταβάλλεται η μέση ισχύς στο κύκλωμα.
[ α) 0,02 s, 50 Hz, 200 V β) 10³ J γ) 1/400 s δ) 300% ]

(α) η περίοδος είναι Τ = 0,02 s η συχνότητα f = 1/T = 50 Hz η μέγιστη ισχύς Ρ₀ = 200 Watt η μέση ισχύς P_M = 100 Watt

P_M = V_εν² / R => PM . R = V_εν² => Vεν2 = PM . R = 100 W . 200 Ω = 20000 => Vεν = 100√2 V => V₀ = 200 V

(β) t = 500 . T = 500 . 0,02 sec = 10 sec Q = P_M . t = 100 W . 10 s = 1000 J

(γ) κυκλική συχνότητα : ω = 2π/Τ = 100π rad/s

Ρ = Ρ_Μ => 200 . ημ² ( 100πt ) = 100 => ημ² ( 100πt ) = 1/2 => ημ( 100πt ) = √2/2 = ημ (π/4) για πρώτη φορά : 100π.t = π/4 => t = 1/400 sec

(δ) η συνολική αντίσταση είναι : R' = 100 Ω . 100 Ω / ( 100 Ω + 100 Ω ) = 50 Ω τότε η μέση ισχύς : Ρ'_Μ = ( Vεν )² / R' = ( 100√2 )² / 50 = 20000 / 50 W = 400 W

η αύξηση της μέσης ισχύος είναι ΔΡ = 300 W άρα 300%