Ηλεκτρική συσκευή έχει ωμική αντίσταση  R,    διαρρέεται από συνεχές ρεύμα με ένταση  Ι₁   αλλά και εναλλασσόμενο με ένταση Ι₂ = Ι₀₂ .ημ(ωt + φ)    Να εκφράσετε το συνολικό ρεύμα συναρτήσει του χρόνου,  όπως επίσης την στιγμιαία ισχύ που καταναλώνεται στη συσκευή.

   i₁     &     i₂  =  Ι₀₂ .ημ(ω t + φ)     το συνολικό ρεύμα ισούται με το άθροισμα των επί μέρους ρευμάτων          

      i  =  i₁  +  i₂     =>     i  =   Ι₁   +   Ι₀₂ . ημ(ω t + φ)    

η ισχύς που καταναλώνεται στην συσκευή έχει τη μορφή :    P  =  V . i  =  i² . R    =>   P(t)  =  [ Ι₁  +  Ι₀₂ . ημ(ωt + φ) ]² . R

η θερμότητα που εκλύεται σε χρόνο μιας περιόδου είναι :   Q_θερμ  =  Σ Ρ(t) Δt  =  Σ { [ Ι₁  +  Ι₀₂ . ημ(ωt + φ) ]² . R . Δt }  =

  =     Σ { [ Ι₁² +  Ι₀₂² . ημ²(ωt + φ) +  2 . Ι₁ . Ι₀₂ . ημ(ωt + φ) ] . R . Δt }   =  

  =   Ι₁² . R . T   +   Σ { Ι₀₂² . ημ²(ωt + φ) . R . Δt }   +  Σ { 2 . Ι₁ . Ι₀₂ . ημ(ωt + φ) ] . R . Δt }  =  

  =   Ι₁² . R . T   +    Ι₀₂².R . Σ { ημ² (ωt + φ) . Δt }   +  2 . Ι₁ . Ι₀₂ . R . Σ { ημ(ωt + φ) ] . Δt }   = 

  =  Ι₁² . R . T   +    Ι₀₂².R . Σ { ( 1 - συν2(ωt + φ) ) / 2  . Δt }    +    0    =  

  =   Ι₁² . R . T   +    Ι₀₂².R / 2 . T   -   Ι₀₂².R/2 . Σ { συν2(ωt + φ) . Δt }   =     Ι₁² . R . T   +    Ι₀₂².R / 2 . T   -   0     =>   Q_θερμ = ( Ι₁²  +  Ι₀₂² / 2 ) .R .T 

 συν2ωt = συν²ωt - ημ²ωt  =  1 - ημ²ωt  - ημ²ωt  =  1 - 2. ημ²ωt  =>   ημ²ωt  =  ( 1 - συν2ωt ) / 2

Ηλεκτρική θερμάστρα έχει ωμική αντίσταση  R = 100 Ω   και  διαρρέεται από συνεχές ρεύμα με ένταση  Ι₁ = 2 Α  αλλά και εναλλασσόμενο με ένταση  Ι₂ = 2.ημ100πt    Να γίνει το διάγραμμα του συνολικού ρεύματος συναρτήσει του χρόνου,   το διάγραμμα της ισχύος Ρ  που καταναλώνει η θερμάστρα συναρτήσει του χρόνου,   να υπολογισθεί η μέση ισχύς που καταναλώνει η θερμάστρα,     να βρεθεί η στιγμιαία ισχύς που καταναλώνει η θερμάστρα τις χρονικές στιγμές  t₁ = 15 msec,   t₂ = 25 msec     t₃ = 40 msec     t₄ = 42,5 msec

Ηλεκτρική συσκευή έχει ωμική αντίσταση  R,  διαρρέεται από εναλλασσόμενα ρεύματα με εντάσεις :   i₁ = Ι₀ .ημω₁t   &   i₂ = Ι₀ .ημω₂t  όπου ω₁ »  ω₂  Να εκφράσετε το συνολικό ρεύμα συναρτήσει του χρόνου,  όπως επίσης την στιγμιαία ισχύ που καταναλώνεται στη συσκευή.

 i₁ = Ι₀ .ημω₁ t   &   i₂ = Ι₀ .ημω₂ t     το συνολικό ρεύμα ισούται με το άθροισμα των επί μέρους ρευμάτων            ημα + ημβ = 2 . ημ(α+β)/2 . συν(α-β)/2 

      i = i₁ + i₂     =>     i  =   Ι₀ .ημω₁ t   +  Ι₀ .ημω₂ t     =   2 . Ι₀ . ημ(ω₁ t + ω₂ t)/2 . συν(ω₁ t - ω₂ t)/2     =    2 . Ι₀ . ημ(ω₁ + ω₂)t/2 . συν(ω₁ - ω₂)t/2   

    τελικά       i(t)  =  2 . Ι₀ . συν(ω₁ - ω₂)t/2 . ημ(ω₁ + ω₂)t/2            

η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση :    P  =  V . i  =  i² . R    =>     P(t)  =   4 . Ι₀² . R . συν² (ω₁ - ω₂)t/2 . ημ² (ω₁ + ω₂)t/2    

η θερμότητα που εκλύεται σε χρόνο μιας περιόδου είναι :   Q_θερμ  =  Σ Ρ(t) Δt  =  Σ { 4 . Ι₀² . R . συν² (ω₁ - ω₂)t/2 . ημ² (ω₁ + ω₂)t/2 . Δt }  =

                 =   4 . Ι₀² . R .  Σ { συν² (ω₁ - ω₂)t/2 . ημ² (ω₁ + ω₂)t/2 . Δt }    =   

          =   4 . Ι₀² . R .  Σ { ( 1 + συν2(ω₁ - ω₂)t/2 ) / 2 . ( 1 - συν2(ω₁ + ω₂)t/2 ) / 2 . Δt }  =

 =       Ι₀² . R .  Σ { ( 1 + συν(ω₁ - ω₂)t )  . ( 1 - συν(ω₁ + ω₂)t ) . Δt }  =    

 =       Ι₀² . R .  Σ {  1 + συν(ω₁ - ω₂)t   -  συν(ω₁ + ω₂)t   -   συν(ω₁ - ω₂)t   .  συν(ω₁ + ω₂)t  . Δt }  =

  =       Ι₀² . R . Τ   +    Σ {  -  συν(ω₁ - ω₂)t  . συν(ω₁ + ω₂)t  . Δt }  =      Ι₀² . R . Τ   -   1/2 . Σ { [ συν2ω₁t   +  συν2ω₂t  ] . Δt }     =    Ι₀² . R . Τ     τελικό

συν(α+β) = συνα.συνβ - ημα.ημβ      

συν(α-β) = συνα.συνβ + ημα.ημβ           2.συνα.συνβ  =  συν(α + β)  +  συν(α - β)    

2 . συν(ω₁ - ω₂)t  . συν(ω₁ + ω₂)t  =    συν((ω₁ - ω₂)t + (ω₁ + ω₂)t)  +  συν((ω₁ - ω₂)t - (ω₁ + ω₂)t)    =      συν2ω₁t   +  συν2ω₂t     

Ηλεκτρικός  λαμπτήρας  πυρακτώσεως  έχει ωμική αντίσταση  R,  διαρρέεται από  δύο  εναλλασσόμενα ρεύματα με εντάσεις :   i₁ = Ι₀₁ .ημωt   &   i₂ = Ι₀₂ .ημ(ωt + φ)     Να εκφράσετε το συνολικό ρεύμα συναρτήσει του χρόνου,  όπως επίσης την στιγμιαία ισχύ που καταναλώνεται στον λαμπτήρα.

 i₁ = Ι₀₁ .ημωt   &   i₂ = Ι₀₂ .ημ(ωt + φ)    το συνολικό ρεύμα ισούται με το άθροισμα των επί μέρους ρευμάτων  και  θα είναι της μορφής :    i = Ι .ημ(ωt + θ) 

      i = i₁ + i₂     =>     Ι .ημ(ωt + θ)   =    Ι₀₁ .ημωt  +  Ι₀₂ .ημ(ωt + φ)   =    Ι₀₁ .ημωt   +  Ι₀₂ .ημωt .συνφ  +  Ι₀₂ .συνωt .ημφ   =>  

                         =>     Ι .ημωt .συνθ   +   Ι .συνωt .ημθ   =    Ι₀₁ .ημωt   +  Ι₀₂ .ημωt .συνφ  +  Ι₀₂ .συνωt .ημφ   =>  

 εξισώνουμε τα  ημωt :     Ι .ημωt .συνθ  =  Ι₀₁ .ημωt  +  Ι₀₂ .ημωt .συνφ    =>   Ι .συνθ  =   Ι₀₁  +  Ι₀₂ .συνφ    (1)

 εξισώνουμε τα συνωt :     Ι .ημθ   =   Ι₀₂ .ημφ   (2)  

  διαιρούμε κατά μέλη  (2) / (1)   =>   Ι .ημθ / Ι .συνθ  =  Ι₀₂ .ημφ  / ( Ι₀₁  +  Ι₀₂ .συνφ )   =>    εφθ  =  Ι₀₂ .ημφ / ( Ι₀₁  +  Ι₀₂ .συνφ ) 

  υψώνουμε στο τετράγωνο και προσθέτουμε τις σχέσεις  (1),  (2) :    Ι²  =   Ι₀₂² .ημ²φ  +   ( Ι₀₁  +  Ι₀₂ .συνφ )²   =>    

    =>     Ι²  =  Ι₀₂² .ημ²φ  +   Ι₀₁ ²  +   Ι₀₂ ² .συν² φ   +  2 . Ι₀₁ . Ι₀₂ . συνφ   =>         Ι²    =    Ι₀₁ ²  +  Ι₀₂ ²   + 2 . Ι₀₁ . Ι₀₂ . συνφ    τελικά    i(t) = Ι .ημ(ωt + θ) 

  η ισχύς που καταναλώνεται στον λαμπτήρα έχει τη μορφή :    P  =  V . i  =  i² . R    =>     P(t)  =   Ι² . ημ² (ωt + θ) . R

  η θερμότητα που εκλύεται σε χρόνο μιας περιόδου είναι :   Q_θερμ  =  Σ Ρ(t) Δt  =  Σ { Ι² . ημ² (ωt + θ) . R . Δt }  =   Ι².R . Σ { ημ² (ωt + θ) . Δt } = 

          =   Ι².R . Σ { ( 1 - συν2(ωt + θ) ) / 2  . Δt } =     Ι².R / 2 . T   -    Ι².R/2 . Σ { συν2(ωt + θ) . Δt }   =      Ι².R / 2 . T   -   0     =>   Q_θερμ  =  I² .R / 2 . T

   η ποσότητα    I² .R / 2  αντιπροσωπεύει την λεγομένη  ΜΕΣΗ  ΙΣΧΥ  του εναλλασσομένου ρεύματος   ΡΜ  =  I².R/2    όπου  Ι² = Ι₀₁² +  Ι₀₂²  + 2 .Ι₀₁ .Ι₀₂ .συνφ 

        η ενεργός ένταση του ρεύματος :  Ι_εν  =  Ι /Φ2  

συν2ωt = συν²ωt - ημ²ωt  =  1 - ημ²ωt  - ημ²ωt  =  1 - 2. ημ²ωt  =>   ημ²ωt  =  ( 1 - συν2ωt ) / 2