****************** Σ Τ Ε Ρ Ε Ό Σ Ώ Μ Α *************************

το Σ₂ κατέρχεται πάνω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο με επιτάχυνση α₂ : m₂ g ημθ - Τ₂ = m₂ a₂ (1)

το Σ₁ ανέρχεται κατακόρυφα με επιτάχυνση α₁ : Τ₁ - m₁ g = m₁ a₁ (2)

η τροχαλία στρέφεται με γωνιακή επιτάχυνση α_γων επειδή η μάζα της είναι αμελητέα έχουμε : Στ_(Ο) = 0 => Τ₂ r - T₁ R = 0 => Τ₂ r - T₁ 2r = 0 => T₂ = 2T₁ (3)

για τις ταχύτητες έχουμε : v₂ = v_B = ω r = ω R/2 = v_A / 2 = v₁ / 2 => v₂ = v₁ / 2 => v₁ = 2 v₂ => a₁ = 2 a₂ (5)

(4) , (5) => m₂ g ημθ - 2 m₁ g = m₂ a₂ + m₁ a₁ => m₂ g ημθ - 2 m₁ g = m₂ a₂ + m₁ 2 a₂ => ( m₂ ημθ - 2m₁ ) g = ( m₂ + 2m₁ ) a₂ => a₂ = g ( m₂ ημθ - 2m₁ ) / ( m₂ + 2m₁ )

το Σ₂ κατέρχεται πάνω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο με επιτάχυνση α₂ : m₂ g ημθ - Τ₂ = m₂ a₂ (1)

η ράβδος ΚΛ ανέρχεται κατακόρυφα με επιτάχυνση α₁ : Τ₁ - m₁ g = m₁ a₁ (2)

για τις ταχύτητες έχουμε : v₂ = v_B = ω r = ω R/2 = v_A / 2 = v₁ / 2 => v₂ = v₁ / 2 => v₁ = 2 v₂ => a₁ = 2 a₂ (5)

στα άκρα της ράβδου ΚΛ επάγεται τάση Ε_επαγ = Β v₁ (ΚΛ) η οποία είναι η ένδειξη του ιδανικού βολτομέτρου

v_O = ω 2R a_O = a_γων 2R => a_O = a_γων 2R = 2 m/s² επιτάχυνση στερεού

θ = 0,5 a_γων t² l = R θ = R 0,5 a_γων t² => 6 m = 0,5 1 m/s² t² => 12 s² = t²

ω = α_γων t = 1/0,1 rad/s² √12 = 10 2√3 = 20√3 rad/s γωνιακή ταχύτητα

Ομογενής τροχαλία μάζας Μ και αμελητέου πάχους αποτελείται από δύο συγκολλημένους δίσκους με ακτίνες r και R, όπου R =2r. Ο μικρότερος δίσκος ακτίνας r φέρει ένα αυλάκι στην περιφέρειά του γύρω από το οποίο είναι τυλιγμένο πολλές φορές λεπτό, αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο βαρύδι μάζας m. Η τροχαλία ακουμπά στην επιφάνεια κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης θ, όπου ημθ=1/10.

Αν όλη η διάταξη ισορροπεί στατικά και οριακά μέσα σε βαρυτικό πεδίο έντασης μέτρου g, στο οποίο η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, τότε

1) ο συντελεστής της μέγιστης στατικής (οριακής) τριβής μ_σ μεταξύ τροχαλίας και επιπέδου είναι ίσος με:

2) ο λόγος των μαζών του βαρυδίου προς της τροχαλίας m/M ισούται με

ισορροπία τροχού : Στ_(Κ) = 0 => Τ_τρ R = Τ_ν r => Τ_τρ R = Τ_ν R/2 => Τ_τρ = Τ_ν / 2 = mg / 2

ΣF_x = 0 => Τ_τρ - Mg ημθ - Τ_ν ημθ = 0 => mg / 2 - Mg 1/10 - mg 1/10 = 0 => M = 4m

ΣF_y = 0 => N - Mg συνθ - Τ_ν συνθ = 0 => N - 4mg συνθ - mg συνθ = 0 => N = 5mg συνθ

μ_σ = Τ_τρ / Ν = 1/2 mg / 5 mg συνθ = 1 / 10συνθ = 1/10 / συνθ = ημθ / συνθ => μ_σ = εφθ

Η δοκός του σχήματος, μήκους l=4m, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το μέσον της Ο, διαγράφοντας οριζόντιο επίπεδο (το σχήμα σε κάτοψη). Στο ένα άκρο της δοκού έχει προσκολληθεί μια μικρή σφαίρα Σ μάζας 0,1kg, δημιουργώντας έτσι ένα στερεό s. Στο διάγραμμα δίνεται η γωνιακή ταχύτητα του στερεού σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου η αρχική γωνιακή ταχύτητα έχει την κατεύθυνση που έχει σημειωθεί, ενώ η θέση της δοκού είναι αυτή του σχήματος με τη σφαίρα στη θέση Α.

t₁=0,5s ω = 4 rad/s α_γων = 0 v = ω r = ω l/2 L = m v r = m ω (l/2)² = 0,1kg 4r/s 2²m² = 1,6 kgm²/s dL/dt = Στ_(Ο) = m dω/dt (l/2)² = m α_γων (l/2)² = 0

t₂=2s θ = εμβαδόν τραπεζίου = (1s + 2s) 4r/s / 2 = 6 rad α_γων = Δω/Δt = (0 - 4r/s) / (2s - 1s) = - 4 r/s²

a = α_γων l/2 = - 4 r/s² 2 m = - 8 m/s² F = m a = 0,1 kg (- 8 m/s²) = - 0,8 N

dL/dt = Στ_(Ο) = m dω/dt (l/2)² = m α_γων (l/2)² = 0,1 kg (- 4 r/s²) 2²m² = - 1,6 kgm²/s

Το σώμα μάζας m=1Kg συνδέεται με το κάτω άκρο αβαρούς, μη ελαστικού νήματος μήκους l = 1,6m. To πάνω άκρο του νήματος συνδέεται σε σταθερό σημείο Α. Το σώμα είναι ακίνητο με το νήμα στην κατακόρυφη διεύθυνση. Δίνουμε στο σώμα οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ₀ =4√2 m/s προς τα δεξιά. Όταν το νήμα σχηματίζει γωνία θ=60⁰ με την κατακόρυφη διεύθυνση να βρεθούν:

α) Η γραμμική ταχύτητα του σώματος.
β) Η γωνιακή ταχύτητα του σώματος.
γ) Η κεντρομόλος δύναμη που ασκείται στο σώμα.
δ) Η τάση του νήματος
ε) Η δύναμη που ασκείται στο σώμα στη διεύθυνση της εφαπτομένης ( επιτρόχιος δύναμη )
ζ) Η κεντρομόλος επιτάχυνση του σώματος.
η) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας του σώματος ( επιτρόχιος επιτάχυνση )
θ) Η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος

διατήρηση ενέργειας : ½ m v₀² = m g h + ½ m v² => v₀² = 2gh + v² =>

mg ημ60° = m α_ε => g ημ60° = α_ε => α_ε = 10 √3/2 => α_ε = 5√3 m/s²

Η διπλή ομογενής τροχαλία του σχήματος, ακτίνας R=0,4m, κινείται κατακόρυφα με την επίδραση μιας κατάλληλης κατακόρυφης δύναμης F, η οποία ασκείται στο άκρο A νήματος, το οποίο έχουμε τυλίξει στο αυλάκι της. Η τροχαλία φέρει ομόκεντρη κυκλική προεξοχή ακτίνας r = 0,2m στην οποία έχουμε τυλίξει ένα δεύτερο νήμα, στο κάτω άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ. Σε μια στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος, στο οποίο ασκείται η δύναμη F, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Α=1,8m/s, με κατεύθυνση προς τα πάνω, ενώ το σώμα Σ ανεβαίνει επίσης κατακόρυφα, με ταχύτητα μέτρου υ_Σ=0,6m/s.

i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο της τροχαλίας, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της, γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το Ο.

Την παραπάνω στιγμή, το σημείο Α έχει κατακόρυφη επιτάχυνση μέτρου α_Α=3,4m/s², με φορά προς τα πάνω, ενώ το σώμα Σ, κατακόρυφη επιτάχυνση με φορά προς τα κάτω, μέτρου α_Σ=0,2m/s².

ii) Να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας.

iii) Να βρεθεί ένα σημείο Γ, της οριζόντιας διαμέτρου της τροχαλίας, το οποίο την στιγμή t₁ έχει μηδενική κατακόρυφη επιτάχυνση. Στη συνέχεια να υπολογιστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Γ.

(1) - (2) => ω ( R + r ) = 1,8 - 0,6 => ω ( 0,4 + 0,2 ) = 1,2 => ω = 1,2 / 0,6 = 2 rad/s

a_A = a_B = a_O + α_γων R = 3,4 m/s² (3) α_Σ = α_E = α_O - α_γων r = - 0,2 m/s² (4)

(3) - (4) => α_γων ( R + r ) = 3,4 + 0,2 => α_γων = 3,6 / 0,6 = 6 rad/s²

(3) => a_O + α_γων R = 3,4 => a_O + 6 0,4 = 3,4 => α_Ο = 3,4 - 2,4 = 1 m/s²

a_Γ,y = a_O + α_γων x = 0 => 1 m/s² + 6 rad/s² x = 0 => x = - 1/6 m αριστερά του κέντρου Ο

a_Γ² = ( a_O + α_γων x )² + ( ω² x )² = ( 1 + 6 (-1/6) )² + ( 2² 1/6 )² = (2/3)² = 4/9 => a_Γ = 2/3 m/s²

Μια ράβδος κινείται οριζόντια σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή το άκρο Α, έχει ταχύτητα µέτρου υ₁=1m/s, όπως στο σχήµα. Την ίδια στιγµή το σηµείο Β, το οποίο απέχει από το Α κατά
(ΑΒ)=1m, έχει ταχύτητα υ₂η οποία σχηµατίζει γωνία 45° µε τον άξονα της ράβδου.
Να βρεθεί η ταχύτητα, τη στιγµή αυτή, του σηµείου Γ, αν (ΑΓ)=3m;

η ταχύτητα v₂ του σημείου Β της ράβδου σχηματίζει με τον άξονά της γωνία 45° που αναλύεται σε μια συνιστώσα v_2x κατά τον άξονα και μια συνιστώσα v_2y κάθετη στον άξονα έχουμε v_2x = v_2y

συμπεραίνουμε ότι η ράβδο και μεταφέρεται και περιστρέφεται

το σημείο Α έχει ταχύτητα v₁ κατά τον άξονα της ράβδου εκτελεί μεταφορική κίνηση

η ράβδος περιστρέφεται περί το άκρο της Α με γωνιακή ταχύτητα ω συνεπώς v_2y = ω (ΑΒ) και v_2x = v₁ = 1 m/s άρα v_2y = ω (ΑΒ) = v_2x = v₁ = 1 m/s οπότε v₂ = √2 m/s

το σημείο Γ έχει συνιστώσα κατά τον άξονα v_3x = v₁ = 1 m/s και συνιστώσα κάθετη στον άξονα v_3y = ω (ΑΓ) = ω 3 (ΑΒ) = 3 m/s συνεπώς v₃² = v_3x² + v_3y² = 1² + 3² = 10 => v₃ = √10 m/s εφθ = v_3y / v_3x = 3

Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=1m, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση κατάλληλης δύναμης F. Κάποια στιγμή που ο δίσκος έχει γωνιακή ταχύτητα ω=1rad/s και γωνιακή επιτάχυνση α_γων=3rad/s², διανύσματα κατακόρυφης διεύθυνσης με φορά προς τα πάνω, το σημείο Α στο άκρο μιας ακτίνας στη διεύθυνση x, έχει επιτάχυνση μέτρου α_Α=5m/s² η οποία σχηματίζει γωνία θ (ημθ=0,6) με την ακτίνα, όπως στο σχήμα. Να υπολογιστούν:

1) η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Κ του δίσκου

2) η επιτάχυνση του αντιδιαμετρικού σημείου Β του δίσκου.

η επιτάχυνση του σημείου Α αναλύεται σε μια συνιστώσα κατά το άξονα ΑΚ : a_A,x = a_A συνθ = 5 m/s² 0,8 = 4 m/s² και μια συνιστώσα κάθετη στον άξονα ΑΚ : a_A,y = a_A ημθ = 5 m/s² 0,6 = 3 m/s²

ο δίσκος εκτελεί μεταφορική κίνηση και περιστροφική περί το κέντρο μάζας του Κ

το σημείο Α έχει επιτρόχια επιτάχυνση a_A,y = 3 m/s² κεντρομόλο επιτάχυνση α_κ = ω² R = (1 rad/s)¹ 1 m = 1 m/s¹ και μεταφορική επιτάχυνση a_cm του κέντρου μάζας Κ του δίσκου η κεντρομόλος α_κ και η μεταφορική a_cm του κέντρου μάζας είναι κατά τον άξονα ΑΚ ομόρροπες συνεπώς α_κ + a_cm = a_A,x => 1 m/s² + a_cm = 4 m/s² => a_cm = 3 m/s² δηλαδή το κέντρο μάζας Κ του δίσκου έχει επιτάχυνση a_cm = 3 m/s²

το σημείο Β έχει επιτρόχια επιτάχυνση με μέτρο a_Β,y = 3 m/s² κεντρομόλο επιτάχυνση α_κ = ω² R = (1 rad/s)¹ 1 m = 1 m/s¹ και μεταφορική επιτάχυνση a_cm = 4 m/s² του κέντρου μάζας Κ του δίσκου η κεντρομόλος α_κ και η μεταφορική a_cm του κέντρου μάζας είναι κατά τον άξονα ΑΚ αλλά αντίρροπες συνεπώς a_B,x = α_κ + a_cm => - 1 m/s² + 3 m/s² => a_B,x = 2 m/s² a_B² = a_B,x² + a_B,y² = 2² + 3² = 13 => a_B = √13 m/s²

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Τροχός έχει ακτίνα R και ηρεμεί με το επίπεδό του κατακόρυφο. Την χρονική στιγμή t₀=0 ο τροχός αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, προς τα δεξιά με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γων. Κάποια χρονική στιγμή t₁η ολική επιτάχυνση του σημείου Α της περιφέρειας του τροχού, το οποίο απέχει από το έδαφος απόσταση ίση με την ακτίνα του τροχού, έχει διεύθυνση κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω. Την στιγμή αυτή ο λόγος των μέτρων των ολικών επιταχύνσεων των σημείων Β, που είναι αντιδιαμετρικό του Α και του υψηλότερου σημείου Δ του τροχού έχει τιμή:

σημείο Γ στιγμιαία ακίνητο : υ_cm = ω R => α_cm = α_γων R

επειδή η συνολική επιτάχυνση του σημείου Α είναι κατακόρυφη προς τα κάτω άρα α_cm = α_κ = v²/R = ω²R

στο σημείο Β : α_Β² = ( α_cm + α_κ )² + ( α_γων R )² = ( α_γων R + α_γων R )² + ( α_γων R )² = 5 ( α_γων R )²

στο σημείο Δ : α_Δ² = ( α_cm + α_γων R )² + ( α_κ )² = ( α_γων R + α_γων R )² + ( α_γων R )² = 5 ( α_γων R )²

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Η λεπτή ομογενής ράβδος Ρ₁ μάζας m₁=m και μήκους l₁, ισορροπεί ακίνητη σε οριζόντια διεύθυνση, με τη βοήθεια μιας δεύτερης λεπτής και ομογενούς ράβδου Ρ₂, από άλλο υλικό, μάζας m₂=m και μήκους l₂, με l₁ = 1,6 l₂ όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Τα άκρα Α₁ και Α₂ των ράβδων είναι στερεωμένα σε αρθρώσεις στον ίδιο κατακόρυφο τοίχο ως προς τις οποίες μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές. Επιπλέον το άλλο άκρο της ράβδου Ρ₂ είναι χαλαρά καρφωμένο στο μέσον Μ της ράβδου Ρ₁ εξασφαλίζοντας με αυτόν τον τρόπο την ισορροπία του συστήματος. Στο σημείο σύνδεσης Μ των δύο ράβδων δεν αναπτύσσονται τριβές ενώ αν δεν είναι αρθρωμένες στον κατακόρυφο τοίχο επιτρέπεται η μεταξύ τους σχετική περιστροφή.

Να υπολογίσετε το πηλίκο των μέτρων των δυνάμεων F_A2/ F_A1 , όπου F_A1 και F_A2, οι δυνάμεις που δέχονται αντίστοιχα οι ράβδοι από τις αρθρώσεις.

l₁ = 1,6 l₂ άρα συνφ = l₁/2 / l₂ = 0,8 συνεπώς ημφ = 0,6

ισορροπία ράβδου 1 : ροπές ως προς Α₁ : Στ₍_Α1) = 0 => N_y (A₁M) - m₁ g (A₁M) = 0 => N_y = m₁ g = m g (1)

ισορροπία ράβδου 2 : ροπές ως προς Α₂ : Στ₍_Α2) = 0 => N_x l₂ ημφ - N_y l₂ συνφ - m₂ g l₂/2 συνφ = 0 =>

=> N_x 0,6 - N_y 0,8 - m₂ g 1/2 0,8 = 0 =>⁽¹⁾ N_x 0,6 - mg 0,8 - m g 1/2 0,8 = 0 => N_x 0,6 = mg 1,2 =>

Λεπτή ομογενής ράβδος (ΑΓ) μάζας Μ = 3 kg και μήκους L μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σημείο Ο για το οποίο ισχύει (ΑΟ) = L/4. Στο άκρο της Α είναι δεμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε σώμα Σ₁ μάζας m₁ που ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Στο άλλο άκρο της ράβδου είναι συνδεδεμένο το πάνω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100N/m που στο κάτω μέρος του ισορροπεί σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 1 kg. Δίνεται g = 10 m/s².
1) Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της μάζας m₁ ώστε το σύστημα των σωμάτων να ισορροπεί.
Στη συνέχεια αντικαθιστούμε το σώμα Σ₁ με σώμα Σ₃ μάζας m₃ = 1,5m₁. Προκαλούμε στο ελατήριο επιπλέον επιμήκυνση d και την χρονική στιγμή t₀ = 0 το αφήνουμε ελεύθερο.
Να υπολογίσετε :
2) τη μέγιστη τιμή του d ώστε η ράβδος να ισορροπεί σε όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης του Σ₂.
3) τη συνάρτηση του μέτρου της δύναμης που δέχεται το Σ₃ από το οριζόντιο επίπεδο με την απομάκρυνση της ταλάντωσης του Σ₂ θεωρώντας ότι d = d_max από το προηγούμενο ερώτημα και τη θετική φορά προς τα κάτω.
4) το μέγιστο μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας στη ράβδο στη διάρκεια της ταλάντωσης του Σ₂.

Απαντήσεις : 1) m1 = 6 kg, 2) d = 0,1 m, 3) Ν = 30 - 300x S.I.
4) F = 140 N

θετική κατεύθυνση : κατακόρυφη προς τα κάτω

ισορροπία Σ₂ : m₂ g = F_ελατ = k x₀ => F_ελατ = 10 N & x₀ = 10/100 = 0,1 m |F'_ελατ| = |F_ελατ| = 10 N

ροπές ως προς Ο : Στ(Ο) = 0 => Τ l/4 συνθ - Mg l/4 συνθ - F'_ελατ 3l/4 συνθ = 0 => Τ = Mg + 3F'_ελατ = 30 + 30 => T = 60 N

ισορροπία Σ₁ : m₁ g = T + N => m₁ 10 = 60 + 0 => m₁ = 6 kg η ελάχιστη μάζα όταν η αντίδραση από το δάπεδο είναι μηδέν Ν = 0

Α Α Τ σώματος Σ₂ k = m₂ ω² => ω² = k / m₂ = 100/1 => ω = 10 rad/s

x(t) = d ημ(10t + π/2) v(t) = d 10 συν(10t + π/2) α(t) = - d 100 ημ(10t + π/2)

ΣF = m₂ a => F_ελατ + m₂ g = m₂ α => F_ελατ = - 1 10 - 1 d 100 ημ(10t + π/2) => F_ελατ = - 10 - d 100 ημ(10t + π/2) F'_ελατ = 10 + d 100 ημ(10t + π/2)

ισορροπία Σ₃ : m₃ g = T + N => T = m₃ g - N = 90 - N m₃ = 1,5m₁ = 1,5 ^.6 kg = 9 kg

ροπές ως προς Ο : Στ(Ο) = 0 => Τ l/4 συνθ - Mg l/4 συνθ - F'_ελατ 3l/4 συνθ = 0 =>

=> 90 - N = 30 + 3 [ 10 + d 100 ημ(10t + π/2) ] => 90 - N = 30 + 30 + 3d 100 ημ(10t + π/2) =>

=> N = 30 - 3d 100 ημ(10t + π/2) => N = 30 - d 300 ημ(10t + π/2) ή Ν = 30 - 300 x

ημ(10t + π/2) = 1 => N = 30 - 3d όταν N = 0 τότε d = 0,1 m μέγιστη τιμή για να μην χαθεί η επαφή του Σ3 με το δάπεδο

ΣF_y = 0 => F_(O) - T - Mg - F'_ελατ = 0 => F_(O) = 90 - N + Mg + F'_ελατ =>

=> F_(O) = 90 - [ 30 - d 300 ημ(10t + π/2) ] + 30 + [ 10 + d 100 ημ(10t + π/2) ] =

ημ(10t + π/2) = 1 d = 0,1 m F_(O) = 100 + 0,1 400 = 140 N μέγιστη δύναμη που δέχεται η ράβδος στο στήριγμα Ο

Αβαρής ράβδος μήκους 3d (d=1m) μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα, που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το Ο. Στο άκρο Α που βρίσκεται σε απόσταση 2d από το Ο υπάρχει σημειακή μάζα m_Ακαι στο σημείο Γ, που βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο υπάρχει επίσης σημειακή μάζα m_Γ = 6 kg. Στο άλλο άκρο της ράβδου, στο σημείο Β, είναι αναρτημένη μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος, τροχαλία μάζας Μ = 4 kg από την οποία κρέμονται οι μάζες m₁και m₂ = m₃ =1 kg. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα Ο΄. Το σύστημα ισορροπεί με όλα τα μέλη του ακίνητα και τη ράβδο στην οριζόντια θέση.

A₁. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στις μάζες m₁, m₂, m₃ καθώς και στην τροχαλία. Να υπολογίσετε την τιμή της μάζας m₁.

Α₂. Να υπολογίσετε την τιμή της μάζας m_Α

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει τις μάζες m₂, m₃. Η ράβδος συνεχίζει να ισορροπεί σε οριζόντια θέση υπό την επίδραση κατάλληλης ροπής ζεύγους δυνάμεων. Η m₁κατέρχεται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου a₁=2m/s² ενώ η μάζα m₂ανέρχεται. Το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας.

Α₃. Να υπολογίσετε τη ροπή του ζεύγους δυνάμεων που ασκείται στη ράβδο, ώστε αυτή να ισορροπεί σε οριζόντια θέση.

Μετά από λίγο κόβουμε το νήμα Ο΄Β, που συνδέει την τροχαλία με τη ράβδο. Η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το Ο.

Με δεδομένο ότι δεν εμφανίζεται τριβή στον άξονα κατά την περιστροφή της ράβδου, η μηχανική ενέργεια του συστήματος των μαζών m_Ακαι m_Γδιατηρείται σταθερή.

Α₄. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση καθώς και την επιτάχυνση της μάζας m_Γτην ίδια στιγμή.

Όταν η σημειακή μάζα m_Αφτάνει στο κατώτατο σημείο, δηλαδή τη στιγμή που η ράβδος είναι κατακόρυφη, συγκρούεται πλαστικά με ακίνητη σημειακή μάζα m₄ = 5kg.

Α₅. Να υπολογίσετε τη γραμμική ταχύτητα της σημειακής μάζα m_Ααμέσως μετά την κρούση καθώς και την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση.

Α₆. Να υπολογίσετε το συνφ της γωνίας φ που σχηματίζει η ράβδος με την κατακόρυφη τη στιγμή που μηδενίζεται η γωνιακή της ταχύτητα.

Α1. ισορροπία Σ3 : m₃g = T_2,3 = 10 N ισορροπία Σ2 : m₂g + T_2,3 = T_2,τρ = 10 + 10 = 20 N

ισορροπία τροχαλίας : Στ(Ο') = 0 => T_1,τρ R = T_2,τρ R => T_1,τρ = T_2,τρ = 20 N => m₁ = 2 kg

ΣF_y = 0 => T_τρ,ραβ = Μ_τρ g + 2 T_1,τρ = 40 + 2 20 => T_τρ,ραβ = 80 N

ισορροπία ράβδου : Στ(Ο) = 0 => m_Αg (ΟΑ) + m_Γg (ΟΓ) = T_τρ,ραβ (ΟΒ) => m_Αg 2m + 60N 1m = 80N 1m => m_A = 1 kg

a₁ = R α_γων Στ(Ο') = T_1,τρ R - T_2,τρ R = ½ M R² α_γων => T_1,τρ - T_2,τρ = ½ M α₁ =>

T_2,τρ - m₂g = m₂ a₂ => 12 - 10 = 1 a₂ => a₂ = 2 m/s² το σώμα (2) ανέρχεται με επιτάχυνση a₂ = 2 m/s²

ΣF_y = 0 => T_τρ,ραβ = Μ_τρ g + T_1,τρ + T_2,τρ = 40 + 16 + 12 => T_τρ,ραβ = 68 N

ισορροπία ράβδου : Στ(Ο) = m_Αg (ΟΑ) + m_Γg (ΟΓ) - T_τρ,ραβ (ΟΒ) = 10 2 + 60 1 - 68 1 = 12 Nm αριστερόστροφη ροπή

για να ισορροπεί οριζόντια η ράβδος πρέπει να ασκηθεί δεξιόστροφη ροπή με μέτρο 12 Nm

η μάζα m_Γ έχει κεντρομόλο επιτάχυνση α_κ_(Γ) = υ_Γ² / d = ω² d = 16 1 = 16 m/s²

Α5. διατήρηση στροφορμής : m_A v_A 2d + m_Γ v d = m_A ω 4d² + m_Γ ω d² = ( m_A + m₄ ) ω' 4d² + m_Γ ω' d² =>

=> 1 4 4 + 6 4 1 = ( 1 + 5 ) ω' 4 + 6 ω' 1 => 16 + 24 = 30 ω' => ω' = 4/3 rad/s

ΔK = Κ_τελ - Κ_αρχ = ½ ( m_A + m₄ ) ω'² 4d² + ½ m_Γ ω'² d² - ( ½ m_A ω² 4d² + ½ m_Γ ω² d² ) = ½ 6 16/9 4 + ½ 6 16/9 - ( ½ 1 16 4 + ½ 6 16 ) = 240/9 - 80 = - 480/9 Joule = - 160/3 Joule

Α6. διατήρηση ενέργειας : ½ ( m_A + m₄ ) ω'² 4d² + ½ m_Γ ω'² d² = ( m_A + m₄ ) g 2d (1 - συνφ) + m_Γ g d (1 - συνφ) =>

=> 80/3 = 180 - 180 συνφ => 180 συνφ = 180 - 80/3 = 460/3 => συνφ = 460/540 = 46/54 = 23/27

01. Το στερεό του σχήματος αποτελείται από δίσκο (Ι) μάζας Μ και ακτίνας R και από μικρότερο δίσκο (ΙΙ) μάζας m και ακτίνας r , καρφωμένο στο σημείο Ο της περιφέρειας του δίσκου (Ι). Το σύστημα είναι σε κατακόρυφη θέση σε ισορροπία, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σημείο Α της περιφέρειας του δίσκου (Ι). Στρέφουμε το σύστημα των δίσκων περί το σημείο Α κατά πολύ μικρή γωνία θ (θ < 5°) και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Δείξτε ότι θα εκτελέσει Α.Α.Τ. και βρείτε την συχνότητα ταλάντωσης.

=> - Mg Rημθ - mg 2Rημθ = { ½ M R² + M R² + ½ m r² + m (2R)² } α_γων =>

=> - (M + 2m) g Rημθ = { 3MR² + 8mR² + m r² } α_γων => ημθ » θ πολύ μικρή γωνία θ < 5°

=> - (M + 2m)gR / { 3MR² + 8mR² + m r² } θ = α_γων => - ω² θ = α_γων

το στερεό θα εκτελέσει Α.Α.Τ. με σταθερά : D = (M + 2m)gR διότι Στ_(Α) = - (M + 2m) g R θ η συνισταμένη ροπή είναι ανάλογη της γωνίας θ

02. Δίσκος ακτίνας R = 0,2 m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η γωνιακή του ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Το διάστημα που έχει διανύσει ο δίσκος μέχρι την χρονική στιγμή t = 2 s είναι
α) s = 2 m β) s = 4 m γ) s = 50 m

υ = ω R a_γων = Δω / Δt = 10 rad/s / 2 s = 5 rad/s² θ = ½ α_γων t² = ½ 5 2² = 10 rad s = θ . R = 10 rad . 0,2 m = 2 m

03. Μία οριζόντια ράβδος ΑΒ μήκους L εκτελεί στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίση με ω γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το άκρο της Α. Το μέσο Μ της ράβδου έχει κεντρομόλο επιτάχυνση ίση με
α) α_κ = ω² L β) α_κ = ω² L/2 γ) α_κ = ω² L/4 δ) α_κ = ω L² /4

04. Ένας τροχός κυλάει σε οριζόντιο έδαφος και η ταχύτητα του ανώτερου σημείου του είναι κάποια στιγμή τριπλάσια απο την ταχύτητα του άξονα περιστροφής του. Η ταχύτητα του κατώτερου σημείου του θα είναι:
α) Ίση με την ταχύτητα του άξονα περιστροφής
β) Αντίθετη της ταχύτητας του άξονα περιστροφής
γ) Διπλάσια της ταχύτητας του άξονα περιστροφής
δ) Η μισή της ταχύτητας του άξονα περιστροφής.

05. Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια χρονική στιγμή το κέντρο μάζας του τροχού έχει ταχύτητα μέτρου υ_cm . Έστω Α το ανώτερο σημείο της περιφέρειας του τροχού και Γ ένα σημείο του τροχού που βρίσκεται στην οριζόντια
διάμετρο και απέχει απόσταση ΓΚ = R/2 από το κέντρο Κ του τροχού, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο λόγος υ_Γ /υ_Α των μέτρων των ταχυτήτων των σημείων Γ και Α είναι ίσος με
α) √3/4 β) √5/4 γ) 1/4

υ_Γ² = υ_cm ² + (ωR/2) ² = υ_cm ² + (ωR)² / 4 = υ_cm ² + υ_cm ² / 4 = 5/4 υ_cm ² => υ_Γ = √5/2 υ_cm συνεπώς υ_Γ / υ_Α = √5/4

06. Η τετράγωνη πλάκα ΚΛΜΝ πλευράς α, του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος σε αυτή. Στην πλάκα ασκούνται οι δυνάμεις F₁ και F₂ με μέτρα F₁ = F₂ = F. Η δύναμη που πρέπει να ασκηθεί στο στερεό για να ισορροπεί είναι:
α) η δύναμη F_Α , μέτρου F.
β) η δύναμη F_Β , μέτρου 2F.
γ) η δύναμη F_Γ , μέτρου 2F.

07. Στη ράβδο του σχήματος που έχει μήκος L, ενεργεί η σταθερού μέτρου δύναμη F. Να γίνει γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της ροπής της δύναμης ώς προς το άκρο Α της ράβδου, συναρτήσει της γωνίας φ που σχηματίζει η δύναμη με την ράβδο.

08. Η ράβδος ΑΒ ισορροπεί στηριζόμενη στο υποστήριγμα που διέρχεται από το μέσο της Κ. Σε απόσταση d από το Κ προς τα δεξιά υπάρχει σώμα μάζας m = 2 kg που είναι τοποθετημένο πάνω στη ράβδο. Σε απόσταση 2d προς τα αριστερά από το Κ υπάρχει ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m το οποίο συγκρατεί την ράβδο σε οριζόντια θέση. Αν g = 10 m/s² το ελατήριο
α) είναι στο φυσικό του μήκος
β) έχει συπείρωση Δℓ = 0,2 m
γ) έχει συπείρωση Δℓ = 0,1 m
δ) έχει επιμήκυνση Δℓ = 0,2 m

20 d = 2 d 100 x => x = 0,1 m συσπείρωση διότι η δύναμη ελατηρίου είναι κατακόρυφη προς τα κάτω

09. Ο τροχός ακτίνας R του σχήματος διαθέτει μικρό αυλάκι ακτίνας r γύρω απο το οποίο είναι τυλιγμένο λεπτό νήμα. Αν τραβήξουμε το νήμα ώστε ο τροχός να κυλίσει χωρις ολίσθηση τότε όταν το μήκος του οριζόντιου τμήματος του νήματος αυξηθεί κατά L, ο τροχός θα έχει μετατοπισθεί κατά :
α) L β) RL/r γ) rL/R δ) (R+r)L/r
το άκρο Α του νήματος θα έχει μετατοπιστεί κατά :
α) L β) RL/r γ) rL/R δ) (R+r)L/r

υ_Α = υ_Κ + ωr = ω R + ω r x_A = υ_A Δt = ( ω R + ω r ) Δt = θ ( R + r ) = L ( R + r ) /r

v_K = ω R => α_K = α_γων R L = r θ θ = ½ α_γων t² ω = α_γων t

10. Η τροχαλία του σχήματος έχει τυλιγμένο στο αυλάκι της αβαρές και μη εκτατό νήμα του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερά δεμένο στην οροφή. Αφήνουμε το δίσκο ελεύθερο και αυτός κατέρχεται με σταθερή επιτάχυνση, ενώ το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να γλυστρά στο αυλάκι του. Ο λόγος υ_Α /υ_Γ των μέτρων των
ταχυτήτων των σημείων Α και Γ που βρίσκονται στη κατακόρυφη διάμετρο του δίσκου είναι
α) 1/2 β) 1 γ) 2

11. Ένα στερεό αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους κολλημένους μεταξύ τους που έχουν ακτίνες R και 2R. Το στερεό μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον κοινό οριζόντιο άξονα των δύο κυλίνδρων σαν ένα σώμα. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου ακτίνας R έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό νήμα. Τραβάμε το νήμα οριζόντια με επιτάχυνση α = 3 m/s² ώστε το νήμα να ξετυλίγεται και το στερεό να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Nα βρείτε:
α) Την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του στερεού.

β) Όταν έχει ξετυλιχθεί μήκος νήματος ℓ = 5 m, πόσο έχει μετακινηθεί το κέντρο μάζας του στερεού.
γ) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του στερεού εκείνη τη στιγμή (αν δίνεται ότι η ακτίνα του μικρού κυλίνδρου είναι R = 0,1 m).
δ) Να βρεθεί η ταχύτητα του υψηλότερου σημείου του στερεού εκείνη τη στιγμή.

(Α) α_Κ = α_γων . 2R & α = α_Κ + α_γων . R => α = α_γων . 2R + α_γων . R =>

=> 3 m/s² = 3 R α_γων => α_γων .R = 1 m/s² τότε α_Κ = 2 m/s²

x_K = ½ . α_Κ . t² => x_K / l = α_Κ / α_γων R = 2 => x_K / l = 2 => x_K = 10 m

ω = α_γων . t = α_Κ / 2R . t = 2 m/s² / 0,2 m . √10 sec => ω = 10√10 rad/sec

13. Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει βάρος w = 10 N και μήκος ℓ = 4 m. Το ένα της άκρο αρθρώνεται σε κατακόρυφο τοίχο και το άλλο της άκρο κρέμεται από κατακόρυφο σχοινί με αποτέλεσμα να ισορροπεί οριζόντια.
α) Να βρεθεί η τάση του νήματος.
β) Να βρεθεί η δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση.
Tη χρονική στιγμή t = 0, από το άκρο Α ξεκινάει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στη ράβδο ένας κύλινδρος βάρους w₁ = 10 N με επιτάχυνση α_cm = 1 m/s² . Να υπολογίσετε :
γ) Την τάση του νήματος τη χρονική στιγμή t = √3 s.
δ) Τη γωνιακή ταχύτητα και τη θέση του κυλίνδρου, όταν η τάση του νήματος γίνει 10 Ν. (Δίνεται η ακτίνα του κυλίνδρου R = 0,1 m).

(ε) Εκφράστε την τάση του νήματος και την δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση συναρτήσει του χρόνου. [ α) 5N β) 5N γ) 8,75N δ) 20rad/s ] (α) ροπές ως προς Α : Στ = 0 => w . L/2 - T . L = 0 => T = w/2 = 5 N

(γ) κίνηση κυλίνδρου : x = 0,5 . a . t² = 0,5 . 1 . 3 = 1,5 m < 2 m = L/2

ροπές ως προς Α : Στ = 0 => w.L/2 + w₁ .x - T.L = 0 => 10 . 2 + 10 . 1,5 - T . 4 = 0 => T = 35/4 N

(δ) T = 10 N ροπές ως προς Α : Στ = 0 => w . L/2 + w₁ . x - T . L = 0 =>

=> 10 . 2 + 10 . x - 10 . 4 = 0 => x = 2 m ο κύλινδρος βρίσκεται στο μέσον της ράβδου

x = 0,5 . a . t² => 2 = 0,5 . 1 . t² => t = 2 sec υ = α t = 1 . 2 = 2 m/s

(ε) ροπές ως προς Α : Στ = 0 => w . L/2 + w₁ . x - T . L = 0 =>

=> T . L = w . L/2 + w₁ . 0,5 . a . t² => T . 4 = 10 . 2 + 10 . 0,5 . 1 . t² => T = 5 + 5/4. t²

ΣF = 0 => F_A + T - w - w₁ = 0 => F_A = w + w₁ - T = 10 + 10 - ( 5 + 5/4. t² ) => F_A = 15 - 5/4. t²

για x = L => 0,5 . a . t² = L => 0,5 . 1. t² = 4 => t² = 8 => t = 2√2 sec

14. Ο τροχός του σχήματος, βάρους w = 100 N, ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνία κλίσης θ = 60° με τη βοήθεια του οριζόντιου νήματος ΒΓ.
α) Να αποδείξετε ότι το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο.
β) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στον τροχό. [ 100 √3/3 Ν, 100 Ν ]

ροπές ως προς Α: w R ημ60° = Τ .(R + R συν60°) => 100 √3/2 = Τ (1 + 0,5) => Τ = 100√3/3 Ν

ροπές ως προς Κ : Τ . (ΚΓ) = T_(A) . (ΚΑ) => δύναμη τριβής : T_(A) = T = 100√3/3 Ν

15. Η διπλή τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομογενείς ομόκεντρους δίσκους με ακτίνες R και 2R, που είναι συγκολλημένοι μεταξύ τους ώστε να περιστρέφονται ως ένα στερεό σώμα με μάζα Μ. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδο των δίσκων, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τους Ο. Στα αυλάκια των δίσκων έχουμε τυλίξει πολλές φορές αβαρή και μη εκτατα νήματα, στα ελεύθερα άκρα των οποίων κρέμονται σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁ και m₂ ( m₂ > 2m₁ ) αντίστοιχα. Αρχικά το σύστημα << τροχαλία - σώματα >> συγκρατείται ακίνητο με τα κέντρα μάζας των δύο σωμάτων να απέχουν κατακόρυφη απόσταση h. Κάποια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί, οπότε η τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τα νήματα να ολισθαίνουν στα αυλάκια των δίσκων. Η μετατόπιση του σώματος Σ₂ μέχρι να φθάσει στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το Σ₁ ισούται με :

Υπολογίστε την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας αν η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο της Ο είναι Ι = Μ.R² .

m₂ . g - T₂ = m₂ . a₂ α₂ = α_γων . R m₂ . g - T₂ = m₂ . α_γων . R (1)

T₁ - m₁ . g = m₁ . a₁ α₁ = α_γων . 2R 2.T₁ - 2.m₁ .g = 2 . m₁ . α_γων . 2R (2)

m₂ . g - T₂ + 2.T₁ - 2.m₁ .g + T₂ - 2.T₁ = m₂ . α_γων . R + 2 . m₁ . α_γων . 2R + I/R . a_γων =>

(1) + (2) + (3) => m₂ . g - 2.m₁ .g = ( m₂ . R + 4 . m₁ . R + I/R ) . a_γων =>

=> a_γων = ( m₂ - 2.m₁ ) . g / ( m₂ .R + 4 .m₁ .R + I/R ) I = M.R²

16. Το στερεό σώμα κυκλικής διατομής έχει εξωτερική ακτίνα R = 0,2 m & μάζα m = 4 kg. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι Ι_cm = ½ m R². Στο σώμα υπάρχει εσωτερικό αυλάκι με ακτίνα r = 0,1 m. Το στερεό βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30°. Λεπτό αβαρές νήμα είναι τυλιγμένο στο εσωτερικό αυλάκι και δεν ολισθαίνει σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου που ακολουθεί. Στην άκρη του νήματος που παραμένει συνεχώς παράλληλο με το κεκλιμένο επίπεδο ασκείται σταθερή δύναμη παράλληλη με το κεκλιμένο επίπεδο μέσω της οποίας ελέγχουμε την κίνηση του σώματος.

Δ1. Υπολογίστε το μέτρο της δύναμης F ώστε το στερεό να ισορροπεί ακίνητο πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

Δ2. Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F κατά 30% και το στερεό αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Υπολογίστε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του στερεού και το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του.

Δ3. Τη στιγμή t όπου το στερεό έχει μετατοπιστεί κατά Δx = 2 m από την αρχική του θέση υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του.

Δ4. Πόση είναι η κινητική ενέργεια του στερεού λόγω περιστροφής και ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφικής κινητικής ενέργειας του τη στιγμή t ;

Δ5. Υπολογίστε το έργο που παράγεται από την δύναμη F από την αρχή της διαδικασίας έως την στιγμή t.

=> T R - F r = ½ m R a => T = F r/R + ½ m a = 52 0,1/0,2 + 0,5 4 a => T = 26 + 2 a (4)

(3) , (4) => 52 - ( 26 + 2 a ) - 4 10 0,5 = 4 a => 52 - 26 - 2 a - 20 = 4 a => a = 1 m/s²

a_γων = a / R = 1 / 0,2 = 5 rad/s² θ = ½ α_γων t² = ½ 5 2² = 10 rad

K_{περιστροφής} = ½ I_(O) ω² = ½ ½ m R² (a_γων t) ² = ½ ½ 4 0,2² (5 2)² = 4 Joule

K_{μεταφοράς} = ½ m v² = ½ 4 2² = 8 J K_ολική = 4 J + 8 J = 12 J

U = m g h = m g x ημ30° = 4 10 2 ½ = 40 J W_F = F θ r = 52 J 10 rad 0,1 m = 52 J

17. Oμογενής και συμπαγής δίσκος ακτίνας R και μάζας Μ συνδέεται από το κέντρο μάζας του με αβαρές ελατήριο σταθεράς k έτσι ώστε να μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι Ι_cm = ½ m R². Το σύστημα αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα από μια θέση όπου το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά Α. Τη χρονική στιγμή που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος το κέντρο μάζας έχει ταχύτητα μέτρου :

Στ_(Ο) = Ι_(O) α_γων => Τ R = ½ m R² α_γων => Τ = ½ m R α_γων = ½ m α

ΣF_x = m a => F_ελατ - Τ = m a => k x - ½ m R α = m a => k x = 3/2 m α => α = 2k/3m x

ω² = 2k/3m x(t) = A ημ(ωt + 3π/2) υ(t) = ω A συν(ωt + 3π/2) α(t) = - ω² A ημ(ωt + 3π/2)

v(t) = 1 συν(10t + 3π/2) α(t) = - 10 ημ(10t + 3π/2) F(t) = m a = - 20 ημ(10t + 3π/2)

=> F_ελατ (t) = 3/2 ( - 20 ημ(10t + 3π/2) ) = - 30 ημ(10t + 3π/2)

18. ΟΕΦΕ 2012 Δ Διπλή τροχαλία αποτελείται από δύο ομογενείς δίσκους με ακτίνες r = 0,1 m και R = 0,2 m και μάζες m = 2 kg και Μ = 4 kg αντίστοιχα. Οι δύο δίσκοι συνδέονται μεταξύ τους έτσι ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα χωρίς τριβές γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους.

Στο αυλάκι του μεγάλου δίσκου της τροχαλίας έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό νήμα (4) στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει σώμα μάζας m₁ = 1 kg. Στο αυλάκι του μικρού δίσκου της τροχαλίας έχουμε τυλίξει δύο αβαρή και μη εκτατά νήματα (3) και (2). Στο ελεύθερο άκρο του οριζοντίου νήματος (3) έχουμε δέσει το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m του οποίου το άλλο άκρο είναι δεμένο σε σταθερό σημείο. Στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου νήματος (2) έχουμε δέσει σώμα μάζας m₂ = 0,5 kg το οποίο είναι δεμένο και με αβαρές ελαστικό κατακόρυφο νήμα (1) από σταθερό σημείο της οροφής. Το μέτρο της δύναμης στο νήμα (1) είναι ανάλογο της επιμήκυνσης σύμφωνα με τη σχέση : F = 100 Δl. Το σύστημα ισορροπεί με το νήμα (1) να είναι επιμηκυμένο κατά Δl = 0,2 m.

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα (2). Υπολογίστε :

Δ2. τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος (2)

Δ3. τη μέγιστη τιμή της κινητικής ενέργειας του συστήματος ( τροχαλία - μάζα m₁)

Δ4. το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μάζας m₁ μέχρι να μηδενισθεί η ταχύτητά του για πρώτη φορά μετά το κόψιμο του νήματος (2)

Δ5. το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μάζας m₂ μέχρι να μηδενισθεί η ταχύτητά του για πρώτη φορά μετά το κόψιμο του νήματος (2).

ισορροπία Σ2 : m₂ g + T₂ = T₁ = F = 100 Δl => 0,5 10 + T₂ = 100 0,2 => T₂ = 15 N

ισορροπία τροχαλίας : ( Τ₃ + Τ₂ ) r = T₄ R => ( Τ₃ + 15 ) 0,1 = 10 0,2 => T₃ = 5 N

ελατήριο σε επιμήκυνση : Τ₃ = F_ελατ = k x₀ => x₀ = 5 / 200 = 0,025 m

ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς το κέντρο της Ο : Ι_(Ο) = ½ m r² + ½ M R² =

ΣF₍₁₎ = m₁ α₁ => m₁ g - T₄ = m₁ α = m₁ α_γων R α = α_γων R

όταν κόβεται το νήμα (2) η δύναμη ελατηρίου είναι 5 Ν = Τ₃

Στ_(Ο) = Ι_(Ο) α_γων => T₄ R - Τ₃ r = Ι_(Ο) α_γων => T₄ 0,2 - 5 0,1 = 0,09 α_γων =>

(1) + (2) => 10 - 2,5 = 0,65 α_γων => α_γων = 7,5 / 0,65 = 750/65 = 150/13 rad/s²

T₄ R - Τ₃ r = Ι_(Ο) α_γων => T₄ R - k x r = Ι_(Ο) α / R => T₄ 0,2 - 200 x 0,1 = 0,09 α / 0,2 => T₄ - 100 x = 0,45 α (4)

(3) + (4) => 10 - 100 x = 1,45 a καθώς κατέρχεται το σώμα Σ1 το ελατήριο επιμηκύνεται οπότε η επιτάχυνση α μειώνεται μέχρι να μηδενισθεί, τότε έχουμε μέγιστη ταχύτητα διότι α = 0 => dv/dt = 0 => v(t)' = 0 => v = max ακρότατο αυτό γίνεται όταν 10 - 100 x₁ = 0 => x₁ = 0,1 m τότε η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου θα είναι : U = ½ k x₁² = ½ 200 0,1² = 1 J η αρχική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου : U_αρχ = ½ k x₀² = ½ 200 0,025² = 0,0625 J

η μετατόπιση του άκρου του ελατηρίου είναι : x₁ - x₀ = 0,1 m - 0,025 m = 0,075 m

το νήμα (3) τυλίγεται κατά 0,075 m, η τροχαλία στρέφεται κατά γωνία θ = (x₁ - x₀) / r = 0,075 / 0,1 = 0,75 rad, το νήμα (4) ξετυλίγεται κατά s = θ R = 0,75 rad 0,2 m = 0,15 m τότε το σώμα Σ1 μετατοπίζεται κατά : h = s = 0,015 m

½ k x₀² + m₁ g h = ½ k x₁² + ½ m₁ v² + ½ Ι_(Ο) ω² a = 0 => a_γων = 0 => ω = 0

x_1,2 = ( - β ± Δ^½ ) / 2α = ( 20 ± 15 ) / 200 = 0,175 m ή 0,025 m αρχική επιμήκυνση ελατηρίου

το σώμα Σ1 μετατοπίστηκε : h = 2 ( x - 0,025 ) = 2 ( 0,175 - 0,025 ) = 0,3 m

Δ5. ½ 100 Δl² = m₂ g h => ½ 100 0,2² = 0,5 10 h => 4 = 10 h => h = 0,4 m

½ k x₀² + m₁ g h = ½ k x² + ½ m₁ v² + ½ Ι_(Ο) ω² ω = v/R h = 2 ( x - x₀ )

½ k x₀² + m₁ g 2 ( x - x₀ ) = ½ k x² + ½ m₁ v² + ½ Ι_(Ο) (v/R)²

Δ = 1600 - 4 200 ( 3,25 v² + 0,875 ) = 1600 - 2600 v² - 700 = 900 - 2600 v²

= 9/26 ( 0,5 + 1,125 ) = 0,5625 J μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος ( τροχαλία - μάζα m₁)

m₂ g = F = 100 x₀ => x₀ = m₂ g / 100 = 1 10 / 100 => x₀ = 0,1 m

διατήρηση ενέργειας στη θέση ισορροπίας (Β) :

όταν διέρχεται τοσώμα Σ2 από τη θέση ισορροπίας του (Β) έχει ταχύτητα υ = 2 m/s

διατήρηση ενέργειας από την κατώτατη θέση (Α) έως την ανώτατη θέση (Δ) :

½ 100 Δl² = m₂ g h => 100 0,3² = 2 1 10 h => 9 = 20 h => h = 0,45 m
το σώμα από την κατώτατη θέση φθάνει σε ύψος h = 0,45 m

όταν διέρχεται από τη θέση (Γ) όπου το ελαστικό νήμα (1) έχει το φυσικό του μήκος :
½ 100 Δl² = m₂ g Δl + ½ m₂ u²
½ 100 0,3² = 1 10 0,3 + ½ 1 u²
½ 9 = 3 + ½ u² => 9 = 6 + u² => u = 3^½ m/s

μετά το Σ2 θα κάνει κατακόρυφη βολή προς τα πάνω :
v = u - g t => 0 = u - g t => t = u / g = 3^½ / 10 s
h' = ½ g t² = ½ 10 3/100 => h' = 0,15 m

ταλάντωση του Σ2 : πλάτος Α = Δl - x₀ = 0,3 - 0,1 => A = 0,2 m
ω² = 100 / m₂ = 100 / 1 = 100 => ω = 10 rad/s
T = 2π/ω = 2π / 10 => Τ = π / 5 s => T/4 = π / 20 s

x = A ημ(ωt + π/2) => x(t) = 0,2 ημ(10 t + π/2) υ(t) = 2 συν(10 t + π/2)

α(t) = - 20 ημ(10 t + π/2) F(t) = m₂ a(t) = - 20 ημ(10 t + π/2)

ΣF(t) = m₂ a(t) => m₂ g + F_ελατ = - 20 ημ(10 t + π/2) => F_ελατ = - m₂ g - 20 ημ(10 t + π/2)

=> ημ(10 t + π/2) = - ½ = ημ(π+π/6) = ημ(2π-π/6) => 10 t + π/2 = 2Ν π + π+π/6 ή 10 t + π/2 = 2Ν π + 2π-π/6

x(π/15) = 0,2 ημ(10 π/15 + π/2) = 0,2 ημ(2π/3 + π/2) = 0,2 ημ(7π/6) = 0,2 ημ(π + π/6) = 0,2 (-½) = - 0,1 m θέση (Γ) το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος

F_ελατ(π/15) = - 10 - 20 ημ(10 π/15 + π/2) = - 10 - 20 ημ(2π/3 + π/2) = - 10 - 20 ημ(7π/6) = 0

υ(π/15) = 2 συν(10 π/15 + π/2) = 2 συν(2π/3 + π/2) = 2 συν(π + π/6) = 2 (- 3^½/2) = - 3^½ m/s το σώμα ανέρχεται

x(2π/15) = 0,2 ημ(10 2π/15 + π/2) = 0,2 ημ(4π/3 + π/2) = 0,2 ημ(11π/6) = 0,2 (-½) = - 0,1 m θέση (Γ) το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος

F_ελατ(2π/15) = - 10 - 20 ημ(10 2π/15 + π/2) = - 10 - 20 ημ(4π/3 + π/2) = - 10 - 20 ημ(11π/6) = 0

υ(2π/15) = 2 συν(10 2π/15 + π/2) = 2 συν(4π/3 + π/2) = 2 συν(11π/6) = 2 (+3^½/2) = +3^½ m/s το σώμα κατέρχεται

από την κατώτατη θέση (Α) σε χρόνο T/4 = π / 20 s διέρχεται από τη θέση ισορροπίας (Β) με ταχύτητα υ(π/20) = 2 συν(10 π/20 + π/2) = 2 συν(π/2 + π/2) = 2 συν(π) => υ = - 2 m/s ( (-) διότι ανέρχεται ), μετά διέρχεται από τη θέση (Γ) με ταχύτητα u = - 3^½ m/s σε χρόνο π/15 s
και φθάνει στην ανώτατη θέση (Δ) μετά από 3^½/10 s

19. Ομογενής δίσκος μάζας Μ = 3,6 kg και ακτίνας R = 0,2 m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Αρχικά ο δίσκος είναι ακίνητος. Σφαίρα αμελητέων διαστάσεων μάζας m = 0,2 kg κινείται οριζόντια στο επίπεδο του δίσκου με ταχύτητα υ₀ και ενσωματώνεται ακαριαία στο ανώτερο σημείο του δίσκου. Η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αμέσως μετά την κρούση είναι ω = 20 rad/s.

(α) την ροπή αδράνειας του συστήματος μετά την κρούση

(γ) για πόσο χρόνο θα πρέπει σταθερή εφαπτομενική δύναμη F = 8 Ν να ασκείται στην περιφέρεια του δίσκου ώστε το σύστημα των δύο σωμάτων να ακινητοποιηθεί

(δ) την κινητική ενέργεια του συστήματος και τον ρυθμό μεταβολής της τη στιγμή t₁ = 0,5s λόγω της επιδράσεως της δύναμης F.

ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής : Ι = ½ Μ R².

L_πριν = L_μετά => m υ₀ R = Ι_ολ ω => 0,2 υ₀ 0,2 = 0,08 20 => υ₀ = 40 m/s

Στ_(Ο) = Ι_ολ α_γων = ΔL/Δt => F R = ΔL/Δt => Δt = ΔL / (F R) =>

20. ΟΕΦΕ 2004 H τροχαλία του σχήματος είναι ομογενής μάζας Μ = 4 kg και ακτίνας R = 0,2 m. Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ έχουν μάζες m₁ = 4 kg και m₂ = 2 kg και το σχοινί που τα συγκρατεί έχει αμελητέα μάζα. Το σώμα Σ₂ είναι κολλημένο με άλλο σώμα Σ₃ μάζας m₃ = 1 kg. Το σώμα Σ₃ είναι στερεωμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο έδαφος. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί ακίνητο. Τη στιγμή t = 0 τα σώματα Σ₁ και Σ₂ αποκολλούνται.

(α) Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυσης της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα Σ₃.

(β) Υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή που το σώμα Σ₃ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά.

(γ) Υπολογίστε την στροφορμή του συστήματος της τροχαλίας και των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ τη στιγμή t = 2 s.

H τριβή ανάμεσα στην τροαλία και το σχοινί είναι αρκετά μεγάλη ώστε δεν παρατηρείται ολίσθηση. Τα σώματα Σ₁ , Σ₂ και Σ₃ είναι μικρών διαστάσεων.

ισορροπία Σ_2,3 : ( m₂ + m₃ ) g + F_ελατ = T => ( 2 + 1 ) 10 + F_ελατ = 40 => F_ελατ = 10 Ν => F_ελατ = k Δl => Δl = 10 / 100 = 0,1 m επιμήκυνση

ισορροπία Σ₃ : m₃ g = k x₃ => x₃ = m₃ g / k = 1 10 / 100 => x₃ = 0,1 m συσπείρωση

πλάτος ταλάντωσης Σ₃ : Α = Δl + x₃ = 0,1 m + 0,1 m = 0,2 m

υ(t) = 2 συν(10t + π/2) α(t) = - 20 ημ(10t + π/2) F(t) = m₃ a(t) = - 20 ημ(10t + π/2)

(β) t = T/4 = 2π / 40 s = π/20 s επειδή m₁ > m₂ το Σ₁ κατέρχεται το Σ₂ ανέρχεται και η τροχαλία στρέφεται δεξιόστροφα

Στ_(Ο) = Ι_(Ο) α_γων => ( T₁ - T₂ ) R = ½ Μ R² α_γων => T₁ - T₂ = ½ 4 α (3) α = α_γων R

(1)+(2)+(3) => 40 - 20 = 4α + 2α + 2α => α = 2,5 m/s² a_γων = α / R = 2,5 / 0,2 = 12,5 rad/s²

(γ) L = I ω = ( m₁ R² + m₂ R² + ½ Μ R² ) a_γων t = ( 4 0,2² + 2 0,2² + ½ 4 0.2² ) 12,5 2 = 8 0,04 25 => L = 8 kg m² / s

21. ΟΕΦΕ 2006 H ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος L = 1 m μάζα m = 3 kg και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που περνά από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σε αυτή.

Α. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια δύναμης F₁ που ασκείται στο άκρο Α κάθετα στη ράβδο.

Να υπολογίσετε το μέτρο της F₁ και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής.

Β. Ασκώντας στο άκρο Α αντί της δύναμης F₁ μια δύναμη F₂ σταθερού μέτρου και διαρκώς κάθετη στη ράβδο η ράβδος ανέρχεται και περνά από την ανώτερη θέση της με γωνιακή ταχύτητα ω₀ = 30^½ rad/s. Τη στιγμή αυτή η F₂ παύει να ασκείται στη ράβδο. Υπολογίστε το μέτρο της δύναμης F₂.

Γ. Τη στιγμή κατά την οποία η ράβδος διέρχεται από την οριζόντια θέση δτη διάρκεια της καθόδου της να υπολογίσετε :

(α) το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της.

(β) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου.

Δ. Σημειακή μάζα m₁ = 0,1 kg κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ₁ = 100 m/s συγκρούεται πλαστικά με την ράβδο τη στιγμή που διέρχεται από το κατώτερο σημείο της τροχιάς της. Πόσο πρέπει να απέχει το σημείο σύγκρουσης από τον άξονα περιστροφής της ράβδου ώστε αυτή να ακινητοποιηθεί μετά την σύγκρουση;

ροπές ως προς Ο : m g L/2 = F₁ L => F₁ = m g /2 = 3 10 / 2 = 15 N

κατεύθυνση κατακόρυφη προς τα πάνω με μέτρο 15 Ν

=> F₂ π/2 L = ½ 1/3 m L² ω₀ ² + m g L/2 => F₂ π/2 = ½ 1/3 m L ω₀² + m g 1/2

Στ_(Ο) = Ι_(Ο) α_γων => m g L/2 = 1/3 m L² α_γων => 15 rad/s² = α_γων

½ I_(Ο) ω₀ ² + m g L/2 = ½ I_(Ο) ω₁ ² => ½ 1/3 m L² ω₀ ² + m g L/2 = ½ 1/3 m L² ω₁ ² => ω₁ ² = ω₀ ² + 3g/L = 30 + 30 = 60 => ω₁ = 60^½ rad/s

dK/dt = I_(Ο) ω₁ α_γων = 1/3 m L² ω₁ α_γων = 1/3 3 1² 60^½ 15 = 15 60^½ J/s

½ I_(Ο) ω₁ ² + m g L/2 = ½ I_(Ο) ω₂ ² => ½ 1/3 m L² ω₁ ² + m g L/2 = ½ 1/3 m L² ω₂ ² => ω₂ ² = ω₁ ² + 3g/L = 60 + 30 = 90 => ω₂ = 90^½ rad/s

22. ΟΕΦΕ 2007 Σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 2 kg μπορεί να κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω έτσι ώστε μέσω της τροχαλίας μάζας m = 2 kg να ξετυλίγεται το σχοινί που είναι τυλιγμένο γύρω από τον κύλινδρο ακτίνας R = 0,2 m που μπορεί να περιστρέφεται με τον άξονα του κατακόρυφο. Κατακόρυφη αβαρής ράβδος αμελητέας ακτίνας διέρχεται από τον άξονα του κυλίνδρου και στο επάνω άκρο της στερεώνεται από το μέσο της δεύτερη οριζόντια αβαρής ράβδος μήκους l = 1 m. Δύο μικροί δακτύλιοι Σ₂ και Σ₃ με αμελητέες διαστάσεις και ίσες μάζες m₂ = m₃ = 0,025 kg βρίσκονται στα άκρα της οριζόντιας ράβδου και συνδέονται μεταξύ τους μέσω αβαρούς νήματος με όριο θραύσης Τ_θρ = 25 Ν. Το όλο σύστημα μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σαν ενιαίο σώμα γύρω από άξονα που έχει τη διεύθυνση της κατακόρυφης ράβδου. Το νήμα που συνδέει τους δακτυλίους και το σχοινί που συνδέει το σώμα Σ₁ με τον κύλινδρο παραμένουν διαρκώς τεντωμένα. Η τριβή ανάμεσα στη τροχαλία και το σχοινί είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση.

(α) η τάση του νήματος που ασκείται στο σώμα Σ₁ αν η επιτάχυνση του είναι α = 4 m/s²

(β) η συχνότητα περιστροφής των δακτυλίων Σ₂ και Σ₃ μετά από χρονικό διάστημα 1,5π s από την έναρξή της περιστροφής τους

(γ) η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του συστήματος

(δ) η γωνία περιστροφής του κυλίνδρου από την έναρξη της περιστροφής του συστήματος μέχρι τη στιγμή που το νήμα που συνδέει τους δακτυλίους είναι έτοιμο να κοπεί.

m₁ g - T₁ = m₁ a => 20 - T₁ = 2 a (1) a = 4 m/s² τότε T₁ = 12 N

( T₁ - T₂ ) R₁ = I_(τροχ) a_γων,1 => ( T₁ - T₂ ) R₁ = ½ m R₁² a_γων,1 => T₁ - T₂ = ½ 2 R₁ a_γων,1

=> T₁ - T₂ = R₁ a_γων,1 = a (2) τότε Τ₂ = Τ₁ - α = 12 - 4 = 8 Ν

a = R₁ a_γων,1 = R a_γων,2 => a_γων,2 = α / R = 4 / 0,2 = 20 rad/s² γωνιακή επιτάχυνση κυλίνδρου

τότε ω_{κυλίνδρου} = a_γων,2 t = 20 1,5 π => ω_{κυλίνδρου} = 30 π rad/s f = ω_{κυλίνδρου} / 2π = 15 Ηz

T₂ R = I a_γων,2 => T₂ 0,2 = [ m₂ (L/2)² + m₃ (L/2)² + Ι_(Κ) ] a_γων,2 =>

=> T₂ 0,2 = [ 2 0,025 0,5² + Ι_(Κ) ] 20 => 8 = [ 0,0125 + Ι_(Κ) ] 100 => 8 = 1,25 + Ι_(Κ) 100 => Ι_(Κ) = 0,0675 kg m²

T_{θραύσεως} = F_{κεντρομόλος} = m₂ ω² L/2 => 25 = 0,025 ω² 1/2 => ω² = 2000 = ( 20 t )² => t² = 2000 / 400 = 5 => t = 5^½ s τότε θ = ½ a_γων,2 t² = ½ 20 5 => θ = 50 rad

23. ΟΕΦΕ 2008 O αρχικά ακίνητος τροχός του σχήματος που βρίσκεται στη βάση κεκλιμένου επιπέδου ( θέση Α ) γωνίας κλίσεως 30° αποτελείται από ένα λεπτό ομογενή δακτύλιο μάζας 6 kg και ακτίνας 1 m και δύο λεπτές ομογενής ράβδους μήκους 2 m και μάζας 3 kg η κάθε μία που είναι τοποθετημένες κάθετα μεταξύ τους.

Τη στιγμή t =0 ασκούμε στο κέντρο μάζας Ο του τροχού σταθερή δύναμη F = 100 Ν παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο και ο τροχός αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ανερχόμενος στο κεκλιμένο επίπεδο. Όταν ο τροχός φθάσει στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου ( θέση Β ) έχει εκτελέσει 12,5/π περιστροφές. Στη θέση Β καταργούμε την δύναμη F και ο τροχός στη συνέχεια εγκαταλείπει το κεκλιμένο επίπεδο διαγράφοντας καμπύλη τροχιά. Να υπολογίσετε :

(α) Τη ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας Ο΄ και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει ο τροχός.

(β) Το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται που δέχεται ο τροχός από το κεκλιμένο επίπεδο.

(γ) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του τροχού λόγω περιστροφικής κίνησης ακριβώς πριν αυτός χάσει την επαφή του με το κεκλιμένο επίπεδο ( θέση Β ).

(δ) Την ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού τη στιγμή που διέρχεται από τη θέση Γ αν η κατακόρυφη μετατόπιση του κέντρου μάζας του τροχού από τη θέση Β μέχρι τη θέση Γ είναι 2,2 m προς τα κάτω.

Ι_(Ο) = Μ R² + 2 1/12 m L² = 6kg 1m² + 2 1/12 3kg (2m)² = 6 + 2 => Ι_(Ο) = 8 kg m²

F - M_ολική g ημ30° - Τ = M_ολική α => 100 - 12 10 0,5 - Τ = 12 α => 40 - Τ = 12 α (1)

θ = Ν 2π => θ = 12,5/π 2π = 25 rad s = θ R = 25 m h = s ημ30° = 25 0,5 =12,5 m

ω = α_γων t θ = ½ α_γων t² => θ = ½ ω t => t = 2 θ / ω = 2 25 / 10 = 5 s

το στερεό στον αέρα δεν δέχεται δύναμη που να δημιουργεί ροπή συνεπώς η γωνιακή ταχύτητά του είναι σταθερή ω = 10 rad/s

διατήρηση ενέργειας M_ολική g h + ½ M_ολική υ² + ½ I_(O) ω² = ½ M_ολική υ'² + ½ I_(O) ω²

πλάγια βολή : υ_0,x = v₀ συν30° = 10 3^½/2 = 5 3^½ m/s ,

y = h = v₀ ημ30° t - ½ g t² => - 2,2 = 10 ½ t - ½ 10 t² => 5 t² - 5 t - 2,2 = 0

v_y = v_0,y - g t = v₀ ημ30° - g t = 10 ½ - 10 1,33 = 5 - 13,3 => v_y = - 8,3 m/s

v² = v_x² + v_y² = v_0,x² + v_y² = (5 3^½)² + (- 8,3)² = 75 + 69 = 144 => v = 12 m/s

Σώμα Σ μικρών διαστάσεων με μάζα m=1kg ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m και στο άκρο μη εκτατού νήματος αμελητέας μάζας. Το άλλο άκρο του οριζόντιου ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Ταυτόχρονα το νήμα είναι στερεωμένο στο άκρο Α ομογενούς και ισοπαχούς ράβδου ΟΑ μάζας M=0,4kg και μήκους l=0,5m. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το άκρο της Ο. Η ράβδος ισορροπεί σχηματίζοντας με την κατακόρυφο γωνία θ με ημθ=0,8 και συνθ=0,6 ενώ το ελατήριο στην παραπάνω θέση έχει δυναμική ενέργεια U=0,32J.

Τη χρονική στιγμή t = 0 κόβουμε το νήμα και το σύστημα ελατήριο - σώμα Σ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά D = k ενώ η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται. Θεωρώντας ως δεδομένο ότι πριν κόψουμε το νήμα όλα τα σώματα της διάταξης βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και ότι το σώμα Σ διατηρεί συνεχώς επαφή με το οριζόντιο επίπεδο να :

(α) υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος πριν κόψουμε το νήμα καθώς και τη δύναμη που ασκείται στη ράβδο ΟΑ στο σημείο Ο

(β) γράψετε τη σχέση απομάκρυνσης του σώματος Σ συναρτήσει του χρόνου θεωρώντας ως θετική φορά προς τα δεξιά

(γ) υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του ελεύθερου άκρου Α της ράβδου όταν διέρχεται από την κατακόρυφη θέση

(δ) βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ τη στιγμή που η κινητική και η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης θα γίνουν ίσες για πρώτη φορά

U = 0,32 J => U = ½ k Δl² => ½ 100 Δl² = 0,32 => Δl² = 0,0064 => Δl = 0,08 m

ισορροπία σώματος : Τ_x,Σ - F_ελατ = 0 => Τ_x,Σ - k Δl = 0 => Τ_x,Σ =100 0,08 m =>Τ_x,Σ = 8 N κατεύθυνση οριζόντια προς τα δεξιά

ισορροπία νήματος : Τ_x,Σ = Τ_x,Α = 8 N Τ_x,Α = 8 N κατεύθυνση οριζόντια προς τα αριστερά

ροπές ως προς Ο : Στ_(Ο) = 0 => M g l/2 ημθ - Τ_x,Α l συνθ + Τ_y,A l ημθ = 0 => 0,4 10 /2 0,8 - 8 0,6 + Τ_y,A 0,8 = 0 => 1,6 - 4,8 + Τ_y,A 0,8 = 0 => - 3,2 + Τ_y,A 0,8 = 0 => Τ_y,A = 4 Ν κατεύθυνση κατακόρυφη προς τα κάτω

άρα Τ_y,Σ = 4 Ν κατεύθυνση κατακόρυφη προς τα πάνω

=> F_y,O = - 8 Ν κατεύθυνση κατακόρυφη προς τα πάνω

ΣF_x = 0 => Τ_x,A + F_x,O = 0 => F_x,O = - 8 N κατεύθυνση οριζόντια προς τα δεξιά

Τ_Σ ² = Τ_x,Σ ² + Τ_y,Σ ² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80 => Τ_Σ = 80^½ Ν = 4 5^½ Ν

U = 0,32 J => U = ½ k Δl² => ½ 100 Δl² = 0,32 => Δl² = 0,0064 => Δl = 0,08 m

x(t) = 0,08 ημ(10 t + π/2) υ(t) = 0,8 συν(10 t + π/2) α(t) = - 8 ημ(10 t + π/2) F(t) = m a(t) = - 8 ημ(10 t + π/2)

Κ = U = E/2 => x = ± Α / 2^½ = ± 0,08 / 2^½ = 0,08 ημ(10 t + π/2) => ημ(10 t + π/2) = ± 2^½ / 2 για πρώτη φορά : ημ(10 t + π/2) = 2^½ / 2

M g h = ½ Ι_(Ο) ω² => M g h = ½ 1/3 M l² ω² => 0,4 10 0,1 = ½ 1/3 0,4 0,5² ω² => 1 = 1/6 1/4 ω² => ω² = 24 => ω = 2 6^½ rad/s

Ο δίσκος τροχαλίας είναι ομογενής έχει μάζα Μ = 2 kg ακτίνα R = 0,2 m και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής που περνάει από το κέντρο του Κ και είναι κάθετος στο επίπεδό του Ι_(Κ) = ½ Μ R². Ο άξονας περιστροφής Κ είναι το άκρο αβαρούς ράβδου ΚΑ της οποίας το άλλο άκρο Α είναι στερεωμένο με αρθρωση στην οροφή. Το σύστημα ράβδος - τροχαλία μπορεί να στραφεί περί την άρθρωση Α στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο του δίσκου της τροχαλίας. Τριβές στον άξονα περιστροφής και στην άρθρωση δεν υπάρχουν.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 4 kg είναι προσδεμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένοσε ακλόνητο σημείο. Το σύστημα [ σώμα Σ₁ - ελατήριο ] είναι πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο που βρίσκεται ο δίσκος της τροχαλίας. Η διάταξη είναι σεισορροπία. Το νήμα που είναι δεμένο το σώμα Σ₁ με τον δίσκο της τροχαλίας είναι οριζόντιο. Το σημείο πρόσδεσης Β στον δίσκο της τροχαλίας είναι στην ίδια κατακόρυφο με το Κ και σε απόσταση ΚΒ = d = 0,1 m ενώ η ράβδος ΑΚ σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια οροφή. Το σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 2 kg είναι δεμένο σε νήμα το οποίο έχει τυλιχθεί αρκετές φορές στο αυλάκι του δίσκου της τροχαλίας. Τα νήματα θεωρούνται αβαρή λεπτά και μη εκτατά.

Α. Υπολογίστε το μέτρο της δύναμης που ασκεί η αβαρής ράβδος ΑΚ στον άξονα Κ της τροχαλίας.

Συγκολλούμε την άρθρωση Α ώστε η αβαρής ράβδος να παραμένει ακλόνητη στη θέση που προσδιορίστηκε προηγουμένως και τη στιγμή t = 0 κόβουμε το οριζόντιο νήμα. Τότε το σώμα Σ₁ εκτελεί απλή αρμόνική ταλάντωση με D = k και θετική φορά προς τα δεξιά ενώ το σώμα Σ₂ κινείται προς τα κάτω. Το κατακόρυφο νήμα στο οποίο είναι δεμένο ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στο αυλάκι του δίσκου της τροχαλίας μένοντας κατακόρυφο.

B. Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σώματος Σ₁ υναρτήσει του χρόνου.

Γ. Τη στιγμή που το σώμα Σ₁ περνά από τη θέση ισορροπίας του για δεύτερη φορά να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₂ και την στροφορμή του δίσκου της τροχαλίας.

ροπές ως προς Κ : Στ_(Κ) = 0 => Τ₂ R = T₁ d => Τ₂ 0,2 = T₁ 0,1 => 2 Τ₂ = T₁ => Τ₁ = 40 N

x(t) = 0,4 ημ(5 t + π/2) v(t) = 2 συν(5 t + π/2) α(t) = - 10 ημ(5 t + π/2)

ΣF = m₁ a => F_ελατ (t) = - 40 ημ(5 t + π/2) F_ελατ (0) = - 40 ημ(π/2) = - 40 N

T R = I_(K) a_γων => T R = ½ Μ R² a_γων => T = ½ Μ R a_γων = ½ Μ α (1)

(1) , (2) => m₂ g - ½ Μ α = m₂ a => m₂ g = ½ Μ α + m₂ a => m₂ g / ( ½ Μ + m₂ ) = a

L = I_(K) ω = ½ Μ R² a_γων t = ½ 2 0,2² 100/3 3π/10 = 0,04 10π = 0,4 π kg m² /s

27. Συµπαγής οµογενής σφαίρα µάζας m = 10 kg και ακτίνας R = 0,1 m κυλίεται ευθύγραµµα χωρίς ολίσθηση ανερχόµενη κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου γωνίας φ µε ηµφ = 0,56. Τη χρονική στιγµή t=0 το κέντρο µάζας της σφαίρας έχει ταχύτητα µε µέτρο υ₀ = 8 m/s. Να υπολογίσετε για τη σφαίρα:
α. το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της τη χρονική στιγµή t=0.
β. το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της.
γ. το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της στροφορµής κατά τη διάρκεια της κίνησής της.
δ. το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας της καθώς ανεβαίνει, τη στιγµή που έχει διαγράψει 30/π περιστροφές.
∆ίνονται η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα διερχόµενο από το κέντρο της Ι = 2/5 m R² και η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 m/s².

(β) T R = I a_γων => T R = 2/5 m R² a_γων => T = 2/5 m R a_γων = 2/5 m a

- T - m g ημφ = m a => - 2/5 m a - m g ημφ = m a => - 2/5 a - a = g ημφ =>

(γ) dL/dt = Στ_(Ο) = T R = 2/5 m R² a_γων = 2/5 10 0,01 40 => dL/dt = 8/5 Nm

(δ) Ν = 30/π περιστροφές θ = 2π Ν = 2π 30/π => θ = 60 rad

θ = ω₀ t - ½ a_γων t² => 60 = 80 t - ½ 40 t² => t² - 4 t + 3 = 0 => t = 1 s , t = 3 s

t = 1 s τότε θ = ω₀ t - ½ a_γων t² = 80 1 - ½ 40 1² = 60 rad το σώμα ανέρχεται

και ω = ω₀ - a_γων t = 80 - 40 1 => ω = 40 rad/s υ = υ₀ - α t = 8 - 4 1 => υ = 4 m/s

t = 3 s τότε θ = ω₀ t - ½ a_γων t² = 80 3 - ½ 40 3² = 240 - 180 = 60 rad το σώμα κατέρχεται

και ω = ω₀ - a_γων t = 80 - 40 3 => ω = - 40 rad/s υ = υ₀ - α t = 8 - 4 3 => υ = - 4 m/s

28. H διπλή τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους (1) και (2) που έχουν μάζες Μ₁ = 2 kg και Μ₂ = 4 kg και ακτίνες R₁ = 2 m και R₂ = 1 m αντίστοιχα. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητοοριζόντιο άξονα χ'χ που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας των δύο κυλίνδρων. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου (1) έχουμε τυλίξει πολλές φορές ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 2 kg. Γύρω από τον κύλινδρο (2) έχουμε τυλίξει άλλο αβαρές και μη εκτατό νήμα , στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει σώμα Σ₂ μάζας m₂. Η ράβδος ΑΓ μάζας Μ = 2 kg, μήκους L = 1,2 m ισορροπεί οριζόντια. Το ένα άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άλλο άκρο της Γ συνδέεται με το σώμα Σ₁ μέσω αβαρούς κατακόρυφου νήματος.

Δ1. Υπολογίστε τις δυνάμεις που δέχεται η ράβδος στα άκρα της Α και Γ.

Δ2. Υπολογίστε τη δύναμη που ασκείται στο κέντρο Κ της τροχαλίας και δείξτε ότι η μάζα του σώματος Σ₂ είναι m₂ = 6 kg.

Στο άκρο Γ της ράβδου στερεώνουμε πολύ μικρό σώμα μάζας m = 1 kg και τη στιγμή t = 0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τη ράβδο με το σώμα Σ₁ οπότε η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την άρθρωσή της Α και η διπλή τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα χ'χ.

Δ3. Υπολογίστε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας.

Δ4. Υπολογίστε την ολική κινητική ενέργεια του συστήματος < τροχαλίας - σώμα Σ₁ - σώμα Σ₂ > τη στιγμή t = 2 s και πόσο απέχουν τα σώματα Σ₁ - Σ₂ εκείνη τη στιγμή;

Δ5. Υπολογίστε την γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος << ράβδος - μάζα m >> τη στιγμή t = 0 καθώς και την στρoφορμή της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της την στιγμή κατά την οποία σχηματίζει γωνία 30° με την οριζόντιο.

Δ1. ροπές ως προς Α : M g L/2 = T_Γ L => 2 10 0,6 = T_Γ 1,2 => T_Γ = 10 Ν

ροπές ως προς Γ : M g L/2 = F_Α L => 2 10 0,6 = F_Α 1,2 => F_Α = 10 Ν

Δ2. ισορροπία Σ₁ : Τ_Γ + m₁ g = T₁ => T₁ = 10 + 2 10 => T₁ = 30 N

ισορροπία τροχαλίας : ροπές ως προς Κ : T₁ R₁ = T₂ R₂ => T₂ 1 = 30 2 => T₂ = 60 N

ΣF_y = 0 => F_K - M_τροχ g - T₁ - T₂ = 0 => F_K = (2+4) 10 + 30 + 60 => F_K = 150 N

Δ3. α₂ = α_γων R₂ = α_γων α₁ = α_γων R₁ = α_γων 2 => α₁ = 2 α₂ = 2 α_γων

I_(K) = ½ Μ₁ R₁² + ½ Μ₂ R₂² = ½ 2 2² + ½ 4 1² = 4 + 2 = 6 kg m²

T₂ R₂ - T₁ R₁ = I_(K)α_γων => T₂ 1 - T₁ 2 = 6α_γων => T₂ - 2 T₁ = 6α_γων (2)

T₁ - m₁ g = m₁ α₁ => T₁ - 20 = 2 α_γων 2 => 2 T₁ - 40 = 8 α_γων (3)

(1) + (2) + (3) => 60 - 40 = 20 α_γων => α_γων = 1 rad/s² α₁ = 2 m/s² α₂ = 1 m/s²

Δ4. υ₁ = α₁ t = 2 m/s² 2 s = 4 m/s υ₂ = α₂ t = 1 m/s² 2 s = 2 m/s ω = α_γων t = 1 2 = 2 rad/s

K_ολ = ½ m₁ v₁² + ½ m₂ v₂² + ½ I_(K) ω² = ½ 2 4² + ½ 6 2² + ½ 6 2² = 16 + 12 + 12 = 40 J

h₁ = ½ α₁ t² = ½ 2 2² = 4 m ανέρχεται h₂ = ½ α₂ t² = ½ 1 2² = 2 m κατέρχεται

Δh = 4 m + 2 m = 6 m κατακόρυφη απόσταση σωμάτων Σ₁ και Σ₂ όταν t = 2 s

Δ5. Στ_(Α) = Ι α_γων => M g L/2 + m g L = ( 1/3 M L² + m L² ) α_γων =>

=> 12 + 12 = ( 0,96 + 1,44 ) α_γων => 24 = 2,4 ω => α_γων = 10 rad/s² αρχική γωνιακή επιτάχυνση

διατήρηση ενέργειας : M g L/2 ημ30° + m g L ημ30° = ½ ( 1/3 M L² + m L² ) ω²

=> 2 10 0,6 ½ + 1 10 1,2 ½ = ½ 2,4 ω² => 6 + 6 = 1,2 ω² => ω² = 10 => ω = 10^½ rad/s

29. Tο στερεό αποτελείται από δύο όμοιους δίσκους μάζας Μ₁ = 1 kg και ακτίνας R₁ = 0,4 m ο καθένας και εσωτερικό κύλινδρο μάζας Μ₂ = 2 kg και ακτίνας R₂ = 0,2 m. Υπολογίστε την ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα χ'χ που συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου και διέρχεται από τα κέντρα Κ και Κ' των δύο δίσκων.

Στερεώνουμε το στερεό σώμα ώστε να μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα χ'χ. Γύρω από τον κύλινδρο στην περιφέρειά του τυλίγουμε πολλές φορές αβαρές νήμα μη εκτατό και στο ελεύθερο άκρο του δένουμε σώμα Σ μάζας m = 5 kg. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο και το νήμα τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί οπότε το στερεό περιστρέφεται περί τον άξονα χ'χ και το σώμα Σ κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω. Το νήμα δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου.

Δ1. Υπολογίστε την επιτάχυνση με την οποία κινείται το σώμα Σ.

Δ2. Υπολογίστε την στροφορμή του συστήματος << στερεό σώμα - σώμα Σ >> ως προς τον άξονα χ'χ την στιγμή που το στερεό έχει εκτελέσει κατά Ν = 25/π περιστροφές.

Τοποθετούμε το σύστημα των σωμάτων πάνω σε δύο οριζόντιες σανίδες ώστε οι δύο δίσκοι του στερεού να βρίσκονται συνεχώς σε επαφή με τις σανίδες και το σώμα Σ κρέμεται δεμένο στο νήμα. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο και το νήμα τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί οπότε οι δίσκοι του στερεού κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν πάνω στις σανίδες και το σώμα Σ κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω. Το νήμα δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου.

Δ3. Υπολογίστε την γωνιακή επιτάχυνση του στερεού.

Δ4. Υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα του στερεού τη στιγμή που το σώμα Σ έχει μετατοπισθεί κατακόρυφα Η = 162,5 m.

Ι = 2 ½ Μ₁ R₁² + ½ Μ₂ R₂² = 2 ½ 1 0,4² + ½ 2 0,2² = 0,16 + 0,04 = 0,2 kg m²

Στ_(χ'χ) = Ι α_γων => Τ R₂ = I α_γων => Τ = I α_γων /R₂ α_γων = a / R₂

mg - T = ma => mg - I α_γων / R₂ = m α_γων R₂ => 50 = 0,2 α_γων / 0,2 + 5 α_γων 0,2 =>

=> 50 = α_γων + α_γων => α_γων = 25 rad/s² a = 25 0,2 = 5 m/s²

θ = ½ α_γων t² => 2πΝ = ½ α_γων t² => 2π 25/π = ½ 25 t² => t = 2 sec ω = α_γων t = 50 rad/s

ΣF = ( 2 M₁ + M₂ ) a_cm => Α = ( 2 M₁ + M₂ ) a_cm => Α = ( 2 1 + 2 ) a_cm = 4 a_cm = 1,6 α_γων

Στ_(χ'χ) = Ι α_γων => Τ R₂ - Α R₁ = I α_γων => Τ 0,2 - 1,6 α_γων 0,4 = 0,2 α_γων =>

mg - T = ma => mg - 4,2 α_γων = m α_γων R₂ => 50 = 4,2 α_γων + 5 α_γων 0,2 =>

30. Λεπτή ομογενής ράβδου ΑΔ έχει μήκος L=6m και μάζα Μ=4Κg. Η ράβδος είναι αρθρωμένη στο άκρο της Α και ηρεμεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια αβαρούς μη εκτατού νήματος που το ένα άκρο του είναι προσδεμένο στο σημείο Β της ράβδου, ενώ το άλλο του άκρο στερεωμένο στον κατακόρυφο τοίχο. Το νήμα σχηματίζει γωνία φ με τη ράβδο (ημφ=0,8 και συνφ=0,6) ενώ η απόσταση (ΑΒ)=L/4.
Στο σημείο Γ της ράβδου ισορροπεί ομογενής σφαίρα μάζας m=3Kg και ακτίνας r=0,1m ενώ η απόσταση του κέντρου μάζας της από το άκρο Δ της ράβδου είναι (ΓΔ)=L/3.
Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση.
Τη χρονική στιγμή t=0 ασκείται στο ανώτερο σημείο της σφαίρας σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=2,1N, με φορά προς τα δεξιά. Η σφαίρα αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στη ράβδο.
Δ2. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της σφαίρας.
Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της υπολογίζεται από τη σχέση: I = 2/5 m r²

Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας τη στιγμή t₁ κατά την οποία εγκαταλείπει τη ράβδο.
Δ4. Να υπολογίσετε τον αριθμό των περιστροφών που εκτελεί η σφαίρα σε χρονικό διάστημα Δt=1s από τη στιγμή που εγκατέλειψε τη ράβδο , καθώς και την ταχύτητα που έχει αποκτήσει το κέντρο μάζας της σε αυτό το χρονικό διάστημα.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

ροπές ως προς Α : Μg L/2 + mg 2L/3 - F_By L/4 = 0 => 40 3 + 30 4 = F_By 1,5 =>

ΣF_y = 0 => F_Ay + F_By = Mg + N => F_Ay + 160 = 40 + 30 => F_Ay = - 90 N κατακόρυφη προς τα κάτω

F_A² = F_Ax² + F_Ay² => F_A² = 120² + 90² = 14400 + 8100 = 22500 => F_A = 150 N

έστω η τριβή αντίρροπη της F : ΣF = m a => F - T = m α (1)

Στ_(Κ) = Ι α_γων => ( F + T ) r = 2/5 m r² α_γων => F + T = 2/5 m r α_γων =>

(1) + (2) => 2 F = 7/5 m a => a = 10F / 7m = 21/21 = 1 m/s² α_γων = a / r = 10 rad/s²

x = ½ a t² => L/3 = 6/3 = ½ 1 t² => t² = 4 => t = 2 s v₀ = a t = 1 2 = 2 m/s

η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας παραμένει σταθερή διότι η μόνη δύναμη που ασκείται σ'αυτήν είναι το βάρος της που η ροπή της ως προς το κέντρο της είναι μηδέν έτσι θ = ω t = 20 1 = 20 rad και Ν = 20 / 2π = 10 / π περιστροφές

3 10 h + ½ 3 2² = ½ 3 104 => 20 h = 104 - 4 = 100 => h = 5 m = ½ 10 1² = ½ g t²

31. Η διπλή τροχαλία αποτελείται από δύο ομογενείς δίσκους με ακτίνες r και R = 1 m αντίστοιχα, που συγκολούνται μεταξύ τους έχοντας κοινό κέντρο Ο. Η διπλή τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κοινό κέντρο των δύο δίσκων και είναι κάθετος στο επίπεδο τους. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι_τρ = 0,5 kg m². Στην περιφέρεια του δίσκου (Ι) έχουμε τυλίξει πολλές φορές αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F = 10 N. Στην περιφέρεια του δίσκου (ΙΙ) έχουμε τυλίξει πολλές φορές δεύτερο αβαρές και μη εκτατό νήμα, που είναι επίσης τυλιγμένο πολλές φορές στην περιφέρεια κατακόρυφου δίσκου (ΙΙΙ) μάζας Μ = 4 kg και ακτίνας R = 1 m. Το κέντρο Κ του δίσκου (ΙΙΙ) συνδέεται μέσω άλλου αβαρούς και μη εκτατού νήματος με σώμα Σ, μάζας m = 1 kg που είναι στερεωμένο μόνιμα στο ελεύθερο άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο κατακόρυφου τοιχώματος. Το σύστημα διπλή τροχαλία - δίσκος (ΙΙΙ) - σώμα Σ - ελατήριο - νήματα ισσρροπεί ακίνητο με το ελατήριο επιμηκυμένο έχοντας δυναμική ενέργεια U_ελ = 0,5 J.

Δ1. Υπολογίστε το μέτρο της στατικής τριβής που ασκείται στον δίσκο (ΙΙΙ) από το τμήμα 1 του οριζόντιου δαπέδου και την ακτίνα του δίσκου (Ι) της διπλής τροχαλίας.

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τον δίσκο (ΙΙΙ) με το σώμα Σ οπότε ο μεν δίσκος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθένει επάνω στο τμήμα 1 του οριζόντιου δαπέδου και το σώμα Σ αρχίζει να εκτελεί Α.Α.Τ. επάνω στο λείο τμήμα 2 του οριζόντιου δαπέδου.

Δ2. Βρείτε ποιές χρονικές στιγμές η επιτάχυνση του σώματος Σ ισούται με το ήμισυ της μέγιστης τιμής της. Ποιά είναι η θέση του σώματος Σ όταν συμβαίνει για πρώτη φορά;

Δ3. Υπολογίστε το μέτρο της επιτάχυνσης a_cm του κέντρου μάζας του δίσκου (ΙΙΙ).

Τη χρονική στιγμή t₃ το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της διπλής τροχαλίας είναι ω_τρ = 1 rad/s.

Δ4. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια του δίσκου (ΙΙΙ) και την κινητική ενέργεια της τροχαλίας τη στιγμή t₃, καθώς και το ποσοστό του έργου που παράγει η δύναμη F από τη στιγμή t₀ = 0 έως τη στιγμή t₃.

U_ελατ = ½ k x₀² => 0,5 = ½ 100 x₀² => x₀² = 0,01 => x₀ = 0,1 m

(Δ2) το ελατήριο αρχικά είναι επιμηκυμένο κατά 0,1 m που είναι το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος ω² = k / m 100 / 1 => ω = 10 rad/s x(t) = 0,1 ημ(10t + 3π/2)

v(t) = 1 συν(10t + 3π/2) α(t) = - 10 ημ(10t + 3π/2) ΣF(t) = m a(t) = - 10 ημ(10t + 3π/2)

10t + 3π/2 = 2Νπ + π/6 => 10t = 2Νπ + π/6 - 3π/2 => 10t = 2Νπ - 4π/3 Ν = 1,2,3, ... Ν = 1 : t = π/15 s

x(π/15) = 0,1 ημ(10 π/15 + 3π/2) = 0,1 ημ(2π/3 + 3π/2) = 0,1 ημ(13π/6) = 0,1 (+½) = + 0,05 m

ή 10t + 3π/2 = 2Νπ + 5π/6 => 10t = 2Νπ + 5π/6 - 3π/2 => 10t = 2Νπ - 2π/3 Ν = 1,2,3, ...

x(2π/15) = 0,1 ημ(10 2π/15 + 3π/2) = 0,1 ημ(4π/3 + 3π/2) = 0,1 ημ(17π/6) = 0,1 (+½) = + 0,05 m

ή 10t + 3π/2 = 2Νπ + 7π/6 => 10t = 2Νπ + 7π/6 - 3π/2 => 10t = 2Νπ - π/3 Ν = 1,2,3, ...

x(π/6) = 0,1 ημ(10 π/6 + 3π/2) = 0,1 ημ(5π/3 + 3π/2) = 0,1 ημ(19π/6) = 0,1 (-½) = - 0,05 m

ή 10t + 3π/2 = 2Νπ + 11π/6 => 10t = 2Νπ + 11π/6 - 3π/2 => 10t = 2Νπ + π/3 Ν = 0,1,2, ...

x(π/30) = 0,1 ημ(10 π/30 + 3π/2) = 0,1 ημ(π/3 + 3π/2) = 0,1 ημ(11π/6) = 0,1 (-½) = - 0,05 m

(Δ3) v_(Θ) = v_(Μ) = v_cm + ω_δ R = 2 v_cm => α_(Θ) = α_(Μ) = a_γων,δ R + α_cm = 2 α_cm =>

T₁ R - T_s R = I_δ a_γων,δ => T₁ R - T_s R = ½ Μ R² a_γων,δ => T₁ - T_s = ½ Μ R a_γων,δ => T₁ - T_s = ½ Μ a_cm (8)

F r - T₁ R = I_τρ a_γων,τρ => 10 0,5 - T₁ 1 = 0,5 a_γων,τρ => 10 - 2T₁ = a_γων,τρ = 2 α_cm (10)

a_γων,τρ R = 2 a_γων,δ R = 2 α_cm => a_γων,τρ = 5/2 rad/s² & a_γων,δ = 5/4 rad/s²

v_Θ = v_M = 2 v_cm => ω_τρ R = v_M = 2 v_cm => 1 rad/s 1 m = 2 v_cm => v_cm = 0,5 m/s

K_δ = ½ Ι_δ ω_δ² + ½ Μ υ_cm² = ½ ½ Μ R² ω_δ² + ½ Μ υ_cm² = ½ ½ Μ υ_cm² + ½ Μ υ_cm² = 3/4 Μ υ_cm² = 3/4 4 0,5² => Κ_δ = 3/4 J

W_F = F s = F r θ = τ θ = F r ½ α_γων,τρ t² = 10 0,5 ½ 5/2 0,4² => W_F = 1 J

32. Η διάταξη του σχήματος είναι σε ισορροπία. Δείξτε ότι ο δίσκος δέχεται δύναμη στατικής τριβής μέτρου 10 Ν και υπολογίστε την δύναμη που ασκείται στην τροχαλία στο κέντρο της Κ.

Την χρονική στιγμή t₀ = 0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τον δίσκο με το τοίχωμα, οπότε ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, η τροχαλία στρέφεται περί το κέντρο της Κ και το σώμα Σ κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω με επιτάχυνση α. Υπολογίστε την γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.

Αν το σώμα Σ κατέρχεται διανύοντας απόσταση y = 24 m πόση είναι η διανυόμενη απόσταση x_cm του κέντρου μάζας του δίσκου; Πόση είναι η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου εκείνη την χρονική στιγμή;

ισορροπία σώματος Σ : Τ₁ = m g = 4 kg 10 m/s² => T₁ = 40 N

δίσκος Στ(Α) = 0 => Τ₂ (R + r) = T₃ 2R => 40N (0,8m + 0,4m) = T₃ 2 0,8m => T₃ = 30 N

ΣFx = 0 => T₂ - T₃ - Α = 0 => Α = T₂ - T₃ = 40N - 30N => Α = 10 N

τροχαλία : Στ(Κ) = I_τρ(Κ) α_γων,τρ => Τ₁ r - T₂ r = I_τρ(Κ) α_γων,τρ =>

=> Τ₁ r - T₂ r = ½ Μ_τρ r² α_γων,τρ => Τ₁ - T₂ = ½ Μ_τρ r α_γων,τρ = ½ Μ_τρ α

Στ(Ο) = I_δ(Ο) α_γων,δ => Τ₂ r + Α R = ½ Μ_δ R² α_γων,δ => Τ₂ r/R + Α = ½ Μ_δ a_cm => Τ₂ / 2 + Α = ½ Μ_δ a_cm

Τ₂ / 2 + Α = ½ Μ_δ a_cm (4) (3) + (4) => 3/2 T₂ = 3/2 Μ_δ a_cm => T₂ = Μ_δ a_cm (5)

(1) + (2) + (5) => m g - Τ₁ + Τ₁ - T₂ + T₂ = m a + ½ Μ_τρ α + Μ_δ a_cm

α = r α_γων,τρ => α_γων,τρ = α / r = 3 m/s² / 0,4 m => α_γων,τρ = 15/2 rad/s²

a_cm = α_γων,δ R => α_γων,δ = a_cm / R = 2 m/s² / 0,8 m => α_γων,δ = 5/2 rad/s²

y / x_cm = v / v_cm = a / a_cm = 3/2 => y / x_cm = 3/2 => 24 m / x_cm = 3/2 => x_cm = 16 m

ω_δ = α_γων,δ t = 5/2 4 = 10 rad/s ω_τρ = α_γων,τρ t = 15/2 4 = 30 rad/s

K_δ = ½ I_(O) ω_δ² + ½ M_δ υ_cm² = ½ ½ Μ_δ R² ω_δ² + ½ M_δ υ_cm² =

= 3/4 Μ_δ R² ω_δ² = 3/4 8 0,8² 10² = 384 J κινητική ενέργεια δίσκου

K_τρ = ½ I_(Κ) ω_τρ² = ½ ½ Μ_τρ r² ω_τρ² = 1/4 8 0,4² 30² = 288 J κινητική ενέργεια τροχαλίας

dK_τρ /dt = I_(Κ) ω_τρ α_γων,τρ = ½ Μ_τρ r² ω_τρ α_γων,τρ = ½ 8 0,4² 30 15/2 = 144 J/s

½ m v² = ½ 4 12² = 288 J κινητική ενέργεια σώματος Σ

33. Ένα ακίνητο στερεό αποτελείται από δύο κατακόρυφους ομοαξονικούς κυλίνδρους κολλημένους μεταξύ τους, ακτίνων R και 3R. Το στερεό μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον κοινό οριζόντιο άξονα των δύο κυλίνδρων ως ένα σώμα. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου ακτίνας R έχουμε τυλίξει ένα λεπτό νήμα. Τραβάμε το νήμα οριζόντια από το άκρο του Α με επιτάχυνση μέτρου α_Α = 4 m/s² ξετυλίγοντάς το χωρίς το νήμα να ολισθαίνει στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 το στερεό αρχίζει να κυλίεται στο οριζόντιο έδαφος χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση.
Δ1. Να βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του στερεού και την εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου Ε.
Δ2. Αν R = 0,1 m, να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση του στερεού.
Όταν έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους l = 8 m, να βρείτε:
Δ3. πόσο έχει μετακινηθεί το κέντρο μάζας του στερεού και πόσο το άκρο Α του νήματος.
Δ4. πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του στερεού.
Δ5. πόση είναι η ταχύτητα του ανώτερου σημείου κάθε κυλίνδρου.

a_A = a_cm + α_γων R = α_γων 3R + α_γων R => a_A = α_γων 4R => 4 m/s² = α_γων 4R => 1 m/s² = α_γων R

a_cm = α_γων 3R = 3 m/s² και α_Ε = a_cm + α_γων 3R = α_γων 3R + α_γων 3R = 6 m/s²

Δ2. 1 m/s² = α_γων R => 1 m/s² = α_γων 0,1 m => α_γων = 10 rad/s²

Δ4. ω = α_γων t = 10 rad/s² 4 s = 40 rad/s υ_cm = ω 3R = 40 rad/s 0,3 m = 12 m/s

34. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ μάζας M = 8 kg και μήκους L = 12,5 m είναι αρθρωμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Η δοκός ισορροπεί ακίνητη με την βοήθεια κατακόρυφου αβαρούς και μη εκτατού νήματος το οποίο έχει όριο θραύσης Τ_θρ=80Ν. Το ένα άκρο του νήματος είναι δεμένο στο άκρο Γ της ράβδου ενώ το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο ακλόνητα σε σημείο της οροφής. Η ράβδος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ (ημφ = 0,8).
Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση.

Στο άκρο Α της ράβδου συγκρατούμε ακίνητο λεπτό τροχό ο οποίος αποτελείται από ομογενή στεφάνη μάζας m₁ = 2 kg και ακτίνας R = 0,5 m και δύο ομογενείς ράβδους μήκους l = 2R και μάζας m₂ = 1,5 kg η καθεμία.
Δ2. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του.
Αφήνουμε ελεύθερο τον τροχό να κινηθεί, χωρίς να του προσδώσουμε αρχική ταχύτητα. Ο τροχός κυλίεται πάνω στην ράβδο ΑΓ χωρίς να ολισθαίνει και όταν έχει μετατοπιστεί κατά d από την αρχική του θέση, το νήμα κόβεται.
Δ3. Να υπολογίσετε την απόσταση d και το χρόνο που θα χρειαστεί για να κοπεί το νήμα, αν δίνεται ότι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού κατά την κάθοδό του είναι α_cm=5m/s². Επιπλέον, να γραφεί η σχέση που δίνει την τάση του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο T=f(t), μέχρι τη στιγμή που κόβεται το νήμα.

Δ4. Να γραφεί η σχέση που δίνει τον αριθμό των περιστροφών του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο Ν=f(t) και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση.

35. Δίνεται συμπαγής, ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R. Αφήνουμε τον κύλινδρο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί:

Δ1. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.
Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται οριζόντιος.
Δ2. Από το εσωτερικό αυτού του κυλίνδρου, που έχει ύψος h, αφαιρούμε πλήρως ένα ομοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r, όπου r < R, όπως απεικονίζεται στο σχήμα. Να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας του κοίλου κυλίνδρου, ως προς τον άξονα του, που προκύπτει μετά την αφαίρεση του εσωτερικού κυλινδρικού τμήματος, είναι : I_{κοίλου κυλίνδρου} = ½ M R² ( 1 - r⁴/R⁴ )
Στη συνέχεια λιπαίνουμε το κυλινδρικό τμήμα που αφαιρέσαμε και το επανατοποθετούμε στη θέση του, ούτως ώστε να εφαρμόζει απόλυτα με τον κοίλο κύλινδρο χωρίς τριβές. Το νέο σύστημα που προκύπτει αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), στο ίδιο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Δ3. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος.
Δ4. Όταν r = R/2, να υπολογίσετε, σε κάθε χρονική στιγμή της κύλισης στο κεκλιμένο επίπεδο, το λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια του συστήματος.
Ο άξονας του συστήματος διατηρείται πάντα οριζόντιος.
Δίνονται : Η ροπή αδράνειας Ι συμπαγούς και ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ και ακτίνας R, ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται: Ι = 1/2 M R²
Ο όγκος V ενός συμπαγούς κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους h: V = π R² h

Στ_(Κ) = Ι_(Κ) α_γων => Τ R = ½ Μ R² α_γων => Τ = ½ Μ R α_γων = ½ Μ α

ΣF = M a => Μ g ημφ - Τ = Μ α => Μ g ημφ - ½ Μ α = Μ α => Μ g ημφ = 3/2 Μ α => α = 2/3 g ημφ

I_{κοίλου κυλίνδρου} = ½ M R² - ½ m r² = ½ M R² - ½ M ( r / R )² r² = ½ M R² [ 1 - (r / R)⁴ ]

το κυλινδρικό τμήμα που επανατοποθετούμε δεν μπορεί να περιστραφεί διότι δεν υπάρχει τριβή ούτε ροπή για να το περιστρέψει συνεπώς θα εκτελέσει μόνο μεταφορική κίνηση, το κοίλο τμήμα του κυλίνδρου θα εκτελέσει και μεταφορική και περιστροφική κίνηση

Στ_(Κ) = I_{κοίλου κυλίνδρου} α_γων => Τ R = ½ M R² [ 1 - (r / R)⁴ ] α_γων =>

ΣF = M a => Μ g ημφ - Τ = Μ α => Μ g ημφ - ½ Μ α [ 1 - (r / R)⁴ ] = Μ α =>

=> Μ g ημφ = [ 3/2 - (r / R)⁴ ] Μ α => α = g ημφ / [ 3/2 - (r / R)⁴ ]

I_{κοίλου κυλίνδρου} = ½ M R² - ½ m r² = ½ M R² - ½ M ( r / R )² r² = ½ M R² [ 1 - (r / R)⁴ ] =

α = g ημφ / [ 3/2 - (r / R)⁴ ] = g ημφ / [ 3/2 - (1/2)⁴ ] = g ημφ / [ 3/2 - 1/16 ] = 16/23 g ημφ

Κ_{περιστροφική} = ½ I_{κοίλου κυλίνδρου} ω² = ½ ½ Μ R² 15/16 ( υ/R )² = 1/4 Μ 15/16 υ²

36. Θέλουμε να μετρήσουμε πειραματικά την άγνωστη ροπή αδράνειας δίσκου μάζας Μ = 3 kg και ακτίνας R = 1 m. Για το σκοπό αυτό αφήνουμε τον δίσκο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ = 30° ξεκινώντας από την ηρεμία. Διαπιστώνουμε ότι ο δίσκος διανύει την απόσταση x = 2 m σε χρόνο t = 1 s.

Δ1. Να υπολογίσετε την ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του.

Δ2. Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου αφήνονται να κυλίσουν ταυτόχρονα δίσκος και δακτύλιος ίδιας μάζας Μ και ίδιας ακτίνας R. Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι Ι₁ = ½ Μ R² και του δακτυλίου Ι₂ = Μ R² ως προς τους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας τους και είναι κάθετοι στα επίπεδά τους. Βρείτε ποιό από τα σώματα κινείται με την μεγαλύτερη επιτάχυνση.

Συνδέουμε με κατάλληλο τρόπο τα κέντρα μάζας των δύο στερεών με ράβδο αμελητέας μάζας η οποία δεν εμποδίζει την περιστροφή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει.

Δ3. Υπολογίστε τον λόγο των κινητικών ενεργειών Κ1 / Κ2 όπου Κ1 η κινητική ενέργεια του δίσκου και Κ2 η κινητική ενέργεια του δακτυλίου.

Δ4. Αν η μάζα κάθε στερεού είναι Μ = 1,4 kg υπολογίστε τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος σε κάθε σώμα.

Το στερεό του σχήματος αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους, με ακτίνες R₁ = 4 cm και R₂ = 3 cm, που στέφονται γύρω από σταθερό άξονα x’x.

Ο άξονας x’x συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας των κυλίνδρων. Εξ αιτίας των βαρών που κρέμονται από τους δύο κυλίνδρους, τα σκοινιά ασκούν στους κυλίνδρους δυνάμεις F₁ = 6 Ν και F₂ = 10 Ν.
Να υπολογίσετε την ολική ροπή που δέχεται το στερεό.

Στ = F₁ . R₁ - F₂ . R₂ = 6 N . 0,04 m - 10 N . 0,03 m = 0,24 N.m - 0,3 N.m = - 0,06 N.m το σύστημα των κυλίνδρων δεν ισορροπεί, θα στραφεί κατά την φορά της F₂

Στην περιφέρεια μιας ακίνητης τροχαλίας, ακτίνας R = 20 cm, είναι τυλιγμένο σκοινί. Ασκώντας στο σκοινί οριζόντια δύναμη F = 20π Ν περιστρέφουμε την τροχαλία. Βρέθηκε ότι όταν η τροχαλία έχει κάνει τέσσερις περιστροφές έχει γωνιακή ταχύτητα ω = 8π rad/s. Να υπολογιστεί η μάζα της. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I=1/2·m·R².

ΛΥΣΗ
θ = 4 . 2π = 8π rad ω = α_γων . t = 8π rad/s

θ = 0,5 . α_γων . t² => θ = 0,5 . α_γων . t . t => 8π rad = 0,5 . 8π rad/s . t => t = 2 sec

τ = I . a_γων => F . R = 0,5 . M . R² . a_γων => F = 0,5 . M . R . a_γων =>

ΛΥΣΗ

h = 0,5 . a . t₁2 => 1 m = 0,5 . a . 4 s² => a = 0,5 m/s²

ΣF = M . a => M . g - T = M . a => T = 2 . 10 - 2 . 0,5 => T = 19 N

α = α_γων . r => 0,5 m/s² = α_γων . 0,1 m => a_γων = 5 rad/s²

ω₁ = a_γων. t₁ = 5 . 2 = 10 rad/s υ₁ = ω₁ . d/2 = 10 . 0,5 = 5 m/s

K = 0,5 . m . υ₁² = 0,5 . 0,5 . 5² => K = 6,25 J

η ροπή αδράνειας του συστήματος είναι : Ι = 2 . m . (d/2)² = 2 . 0,5 . 0,5² = 0,25 kg.m²

K = 0,5 . I . ω₁ ² = 0, 5 . 0,25 . 100 = 12,5 J

ΑΣΚΗΣΗ 5

Μία τροχαλία ακτίνας R και ροπής αδράνειας I, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Γύρω από την τροχαλία έχουμε τυλίξει αβαρές νήμα στην ελεύθερη άκρη του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m.
Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος, τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και την τάση του νήματος.

η συνολική ροπή αδράνειας είναι : Ι_ολ = Ι + m . R²

αν μετακινηθεί το σώμα m κατά x τότε ξετυλίγεται νήμα μήκους x και στρέφεται η τροχαλία κατά γωνία θ έχουμε x = θ . R => dx = dθ . R => dx/dt = dθ/dt . R => d²x/dt² = d²θ/dt² . R => a = α_γων . R ροπές : Στ = Ι . α_γων => Τ . R = Ι . α_γων => Τ = Ι / R². a

ΣF = M . a => m . g - T = m . a => m . g - Ι / R². a = m . a => m . g = ( Ι + m . R²) / R² . a => m . g . R² / ( Ι + m .R²) = a γραμμική επιτάχυνση

a / R = α_γων => m . g . R / ( Ι + m .R²) = α_γων γωνιακή επιτάχυνση

Τ = Ι / R². a => Τ = Ι / R². m . g . R² / ( Ι + m .R²) => Τ = Ι.m .g / ( Ι + m .R²) τάση νήματος

ΑΣΚΗΣΗ 6

ολίσθηση & κύλιση : υ_Α = υ_cm - ω .R Α είναι το σημείο επαφής της σφαίρας με το οριζόντιο επίπεδο

ολίσθση ( ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση ) υ_cm = υ₀ - α.t x = υ₀ . t - 0,5 .a .t² T = m . a => μ . Ν = m . a => μ . m . g = m . a => μ . g = a

κύλιση ( ομαλά επιταχυνόμενη ) ω = α_γων .t θ = 0,5 .α_γων .t²

ροπές Στ = Ι .α_γων => T .R = I .α_γων = 2/5 .m .R² .α_γων => Τ = 2/5 .m .R .α_γων =>

=> μ .m .g = 2/5 .m .R .α_γων => 5/2 .μ .g = R .α_γων

η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας συνεχώς μειώνεται και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής συνεχώς αυξάνεται οπότε κάποια στιγμή υ_Α = 0 τότε έχουμε καθαρή κύλιση υ_Α = υ_cm - ω . R = 0 => υ₀ - α . t = α_γων . t . R => υ₀ - μ .g .t = 5/2 .μ .g .t =>

=> υ₀ = μ .g .t + 5/2 .μ .g .t => υ₀ = 7/2 .μ .g .t => t = 2υ₀ / 7μg

το διανυόμενο διάστημα : x = υ₀ .t - 0,5 .a .t² = υ₀ . (2υ₀ / 7μg) - 0,5 .μ .g .(2υ₀ / 7μg)² =>

=> 2υ₀² / 7μg - 0,5 . 4υ₀² / 49μg => x = 12υ₀² / 49μg

ΑΣΚΗΣΗ 7

ολίσθση ( ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ) υ_cm = α .t x = 0,5 .a .t²

ΣF = m . a => T = m . a => μ . g = m . a => a = μ . g

κύλιση ( ομαλά επιταχυνόμενη ) ω = ω₀ - α_γων . t θ = ω₀ . t - 0,5 . α_γων . t² ροπές Στ = Ι . α_γων => T . R = I . α_γων = 2/5 . m . R² . α_γων => Τ = 2/5 . m . R . α_γων => μ . m . g = 2/5 . m . R . α_γων => 5/2 . μ . g = R . α_γων

η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας συνεχώς αυξάνεται και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής συνεχώς μειώνεται οπότε κάποια στιγμή υ_Α = 0 τότε έχουμε καθαρή κύλιση υ_Α = υ_cm - ω . R = 0 => α . t = ( ω₀ - α_γων . t ) . R => μ .g .t = ω₀ .R - 5/2 .μ .g .t =>

=> ω₀ .R = μ .g .t + 5/2 .μ .g .t = 7/2 .μ .g .t => t = 2.ω₀.R / 7.μ.g

ω = ω₀ - α_γων . t = ω₀ - 5.μ.g / 2.R . 2.ω₀.R / 7.μ.g = ω₀ - 5/7. ω₀ => ω = 2/7.ω₀

το διανυόμενο διάστημα : x = 0,5 .a .t² = 0,5 .μ .g .(2.ω₀.R / 7.μ.g)² => x = 2.ω₀² .R² / 49.μ.g

ΑΣΚΗΣΗ 8

αστέρας νετρονίων

V = 4/3 . π . R³ Μ = ρ . V μια στοιχειώδης μάζα dm, στην περιοχή του ισημερινού του αστέρα, δέχεται δύναμη βαρύτητας dF η οποία είναι η κεντρομόλος δύναμη της περιστροφής της περί τον άξονα περιστροφής του αστέρα dF = F_κ => G . M . dm / R² = dm . υ² / R => G . M / R = υ² => G . M / R = (ω . R)² => ω² = G . M / R³ = G . ρ . 4/3 . π . R³ / R³ => ω² = 4/3 . π . ρ . G είναι η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του αστέρα νετρονίων έτσι ώστε να μην διαφύγει μάζα λόγω περιστροφής

η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι : Κ = 0,5 . Ι . ω² = 0,5 . 2/5 . Μ . R² . ω² =

= 1/5 . ρ . 4/3 . π . R³. R² . 4/3 . π . ρ . G

τελικά Κ = 16/45. G. ρ² . π² . R⁵

ΑΣΚΗΣΗ 9

ΑΣΚΗΣΗ 10

ΑΣΚΗΣΗ 11

Ομογενής τροχός ακτίνας (ΟΑ)=R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με το επίπεδό του κατακόρυφο, με σταθερή ταχύτητα, επάνω σε ράγα. Ο τροχός έρχεται σε επαφή με τη ράγα με σημείο που απέχει (ΟΒ)=r από το κέντρο του. Έστω uA η ταχύτητα του ανώτερου σημείου και uΒ η ταχύτητα του Γ. Ο λόγος των αλγεβρικών τιμών των ταχυτήτων υ_Α/υ_Γ, είναι ίσος με υ_Α/υ_Γ = -2. Ο λόγος των ακτινών ΟΑ/ΟΒ είναι ίσος με:

(α) 4 (β) 3 (γ) 2

ο τροχός κυλίεται : υ_B = 0 => v_cm - ω r = 0 => v_cm = ω r

υ_Α = v_cm + ω R = ω r + ω R = ω ( r + R )

υ_Γ = v_cm - ω R = ω r - ω R = ω ( r - R )

υ_Α/υ_Γ = -2 => ω ( r + R ) / ω ( r - R ) = -2 => ( r + R ) = -2 ( r - R ) =>

=> r + R = -2 r + 2R => r + 2 r = R => 3 r = R

ΑΣΚΗΣΗ 12

Ομογενής τροχός έχει ακτίνα R , βάρος w και θέλουμε να ανέβει σκαλοπάτι ύψους h = 2R/5. Η ελάχιστη δύναμη που πρέπει να
ασκήσουμε στο τροχό για να ανέβει στο σκαλοπάτι, πρέπει να
εφαρμοστεί στο αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής Ε και με διεύθυνση
κάθετη στην διάμετρο. Η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης F είναι ίση με:
α. F_min = 2w/5 β. F_min = 3w/5 γ. F_min = 4w/5

ροπές ως προς Ε : Στ(Ε) = 0 => w x - N x - F 2R = 0 (1)

x² = R² - (R - h)² => x² = R² - (R - 2R/5)² => x² = R² - (3R/5)² => x² = 16 R² /25 =>

x = 4R/5

(1) => ^N=0 w 4R/5 - F_min 2R = 0 => F_min = 2/5 w

ΑΣΚΗΣΗ 13

Ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας r ισορροπεί στο άνω άκρο σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R. Κάποια στιγμή η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην σφαιρική επιφάνεια. Βρείτε την γωνία θ που σχηματίζει η διάκεντρος των σφαιρών την στιγμή που η μικρή σφαίρα χάνει την επαφή της με την μεγάλη σφαίρα.

ΣF_r = F_κ => mg συνθ - Ν = m v² / (r + R)
όταν η σφαίρα m χάνει την επαφή με την σφαιρική επιφάνεια ισχύει Ν = 0 οπότε
mg συνθ = m v² / (r + R) => v² = g (r + R) συνθ

διατήρηση ενέργειας :
m g { r + R - (r + R) συνθ } = ½ m v² + ½ I ω²
m g (r + R) (1 - συνθ) = ½ m v² + ½ 2/5 m r² ω²
m g (r + R) (1 - συνθ) = 1/2 m v² + 1/5 m v²
m g (r + R) (1 - συνθ) = 7/10 m v²
g (r + R) (1 - συνθ) = 7/10 v²
g (r + R) (1 - συνθ) = 7/10 g (r + R) συνθ
(r + R) (1 - συνθ) = 7/10 (r + R) συνθ
1 - συνθ = 7/10 συνθ
1 = 7/10 συνθ + συνθ
συνθ = 10/17

ΑΣΚΗΣΗ 14

Ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας r αφήνεται να κυλίσει από σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσεως θ. Όταν φθάνει στη βάση Β του κεκλιμένου ακολουθεί ημικυκλική επιφάνεια ακίνας R. Από ποιό ύψος h πρέπει να αφεθεί η σφαίρα έτσι ώστε μόλις να διέλθει από την ανώτερη θέση Δ; Πόση δύναμη δέχεται η σφαίρα όταν διέρχεται από τις θέσεις Β και Γ από την ημικυκλική επιφάνεια;

διατήρηση ενέργειας :
m g ( h + r συνθ ) = ½ m v_Δ² + ½ I ω² + m g ( 2R - r )

m g ( h + r συνθ ) = ½ m v_Δ² + ½ 2/5 m r² ω² + m g ( 2R - r )

g ( h + r συνθ ) = 1/2 v_Δ² + 1/5 v_Δ² + g ( 2R - r )

g ( h + r συνθ ) - g ( 2R - r ) = 7/10 v_Δ²

g ( h + r + r συνθ - 2R ) = 7/10 v_Δ² (1)

όταν η σφαίρα διέρχεται από την ανώτερη θέση Δ : ΣF_y = F_κ => mg + Ν = m v_Δ² / (R - r)
μόλις διέρχεται ισχύει Ν = 0 οπότε mg = m v_Δ² / (R - r) => v_Δ² = g (R - r) (2)

(1) , (2) => g ( h + r + r συνθ - 2R ) = 7/10 g (R - r) =>

=> 10 ( h + r + r συνθ - 2R ) = 7 (R - r) =>

=> 10 h = 7 (R - r) - 10 (r + r συνθ) + 20 R =>

=> 10 h = 27 R - 17 r - 10 r συνθ =>

=> h = 2,7 R - (1,7 + συνθ) r (3) h + r συνθ = 2,7 R - 1,7 r

όταν η σφαίρα διέρχεται από την κατώτερη θέση Β : ΣF_y = F_κ => Ν_(Β) - mg = m v_Β²/ (R - r) (4)

διατήρηση ενέργειας :
m g ( h + r συνθ ) = ½ m v_Β² + ½ I ω² + m g r

m g ( h + r συνθ ) = ½ m v_Β² + ½ 2/5 m r² ω² + m g r

m g ( h + r συνθ ) = 7/10 m v_Β² + m g r από (3) έχουμε

g ( 2,7 R - 1,7 r - r ) = 7/10 v_Β²

g { 2,7 R - 2,7 r } = 7/10 v_Β² => 27/7 g(R - r) = v_Β² (5)

(4) , (5) => Ν_(Β) = mg + 27/7 mg => Ν_(Β) = 34/7 mg

όταν η σφαίρα διέρχεται από την θέση Γ : ΣF_x = F_κ => Ν_(Γ₎ = m v_Γ²/ (R - r) (4)

διατήρηση ενέργειας :
m g ( h + r συνθ ) = ½ m v_Γ² + ½ I ω² + m g R

m g ( h + r συνθ ) = ½ m v_Γ² + ½ 2/5 m r² ω² + m g R

m g ( h + r συνθ ) = 7/10 m v_Γ² + m g R από (3) έχουμε

g ( 2,7 R - 1,7 r - R ) = 7/10 v_Γ²

g { 1,7 R - 1,7 r } = 7/10 v_Γ² => 17/7 g(R - r) = v_Γ² (5)

(4) , (5) => Ν_(Γ) = 17/7 mg => Ν_(Γ) = 17/7 mg

h = 2,7 R - (1,7 + συνθ) r = 2,7 1 - (1,7 + 0,8) 0,1 = 2,7 - 0,25 = 2,45 m

αν R = 1 m m = 3 kg r = 0,1 m υ_Δ² = g (R - r) = 10 (1 - 0,1) = 9 => υ_Δ = 3 m/s

η σφαίρα στον αέρα δεν δέχεται δύναμη που να δημιουργεί ροπή συνεπώς η γωνιακή ταχύτητά του είναι σταθερή ω = υ_Δ / r = 3 m/s / 0,1 m = 30 rad/s

το κέντρο μάζας της σφαίρας εκτελεί οριζόντια βολή

x = υ₀ t = v_Δ t = 3 m/s 0,2 s = 0,6 m

y = h = ½ g t² = ½ 10 0,2² = 0,2 m

αν θεωρήσουμε ως αρχή των αξόνων Ο(0,0) την θέση Δ την χρονική στιγμή t = 0, το κέντρο μάζας της σφαίρας την χρονική στιγμή t = 0,2 s βρίσκεται αριστερά και κάτω από την θέση Δ, στην θέση με συντεταγμένες : (x , y) = ( - 0,6 m , - 0,2 m )

η ταχύτητά του είναι :

v_y = g t = 10 0,2 => v_y = 2 m/s

v² = v_x² + v_y² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13 => v = Φ13 m/s

η στροφορμή της σφαίρας είναι L = I_cm ω = 2/5 m r² ω = 2/5 3 0,1² 30 = 0,36 kg m²/s

ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής είναι : dL/dt = Στ_cm = 0

η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας είναι : I_cm α_γων = Στ_cm = 0 => α_γων = 0

ο ρυθμός μεταβολής κινητική ενέργειας λόγω περιστροφής : dΚ/dt = I_cm α_γων ω = 0

διατήρηση ενέργειας M g h + ½ M υ_Δ² + ½ I_(O) ω² = ½ M υ² + ½ I_(O) ω²

Μ g h + ½ M υ_Δ² = ½ M υ²

g h + ½ υ_Δ² = ½ υ² => 10 0,2 + ½ 3² = ½ υ² => υ² = 13

όταν η σφαίρα διέρχεται από την θέση Ζ : ΣF_x = F_κ => Ν_(Ζ₎ = m v_Ζ²/ (R - r) (4)

διατήρηση ενέργειας :
m g ( h + r συνθ ) = ½ m v_Ζ² + ½ I ω² + m g R

m g ( h + r συνθ ) = ½ m v_Ζ² + ½ 2/5 m r² ω² + m g R

m g ( h + r συνθ ) = 7/10 m v_Ζ² + m g R από (3) έχουμε

g ( 2,7 R - 1,7 r - R ) = 7/10 v_Ζ²

g { 1,7 R - 1,7 r } = 7/10 v_Ζ² => 17/7 g(R - r) = v_Ζ² (5)

(4) , (5) => Ν_(Ζ) = 17/7 mg => Ν_(Ζ) = 17/7 mg

κεντρομόλος επιτάχυνση : α_κ = v_Ζ²/ (R - r) = 17/7 g

στην θέση Ζ η σφαίρα δέχεται την δύναμη βαρύτητας και την δύναμη Ν_(Ζ) από το ημικύκλιο που είναι μεταξύ τους κάθετες

συνολικά : ΣF² = (mg)² + Ν_(Ζ)² = (mg)² + (17/7 mg)² = [ 1 + (17/7)² ] (mg)² =>

=> ΣF = [ 1 + (17/7)² ]^½ mg = m α => a = g [ 1 + (17/7)² ]^½ η επιτάχυνση της σφαίρας όταν διέρχεται από την θέση Ζ

Β_πην = 4π 10^-7 i n => 4π 10^-3 = 4π 10^-7 i 1000 => i = 10 A

F_L = B i l => 1 = B 10 1 => B = 0,1 Tesla με φορά προς τα έξω

ΘΈΜΑ Δ.

Θεωρούμε την διάταξη του σχήματος, σε κατάσταση ισορροπίας, σε κατακόρυφο επίπεδο. Στη θέση Α του κεκλιμένου επιπέδου ισορροπεί σφαίρα μάζας m = 3 kg , ακτίνας r = 0,1 m και ροπής αδράνειας I_cm = 2/5 m r². Το κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως θ, όπου ημθ = 0,6 και συνθ = 0,8 στην βάση του συνδέεται με κατακόρυφο ημικύκλιο ακτίνας R = 1 m. Η σφαίρα στο άνω της άκρο συνδέεται με οριζόντιο, αβαρές, μη εκτατό νήμα 1 (σταθερού μήκους), με τροχαλία μάζας Μ = 5 kg εσωτερικής ακτίνας r_τροχ = 0,2 m , εξωτερικής ακτίνας R_τροχ = 0,5 m και ροπής αδράνειας Ι_cm = ½ M R_τροχ² . Γύρω από την τροχαλία έχουμε τυλίξει αρκετές φορές αβαρές μη εκτατό νήμα 2 το οποίο συνδέεται με την μεταλλική ράβδο ΚΛ στο μέσον αυτής. Η μεταλλική ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση, έχει μήκος l = 1 m και μάζα m = 0,5 kg, είναι σε επαφή με κατακόρυφους αγωγούς Mx, Ny. Το πηνίο φέρει 1000 σπείρες / m, διαρρέεται από συνεχές ρεύμα εντάσεως Ι, στο κέντρο του το μέτρο της εντάσεως του μαγνητικού πεδίου είναι Β_πην = 4π 10^-3 Tesla. Στον γραμμοσκιασμένο χώρο abcd υπάρχει οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο εντάσεως Β.

Δ1. Βρείτε την ένταση Β του ομογενούς μαγνητικού πεδίου Β. 5

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα 1 και ταυτόχρονα ανοίγουμε τον διακόπτη δ, οπότε η σφαίρα κατέρχεται του κεκλιμένου επιπέδου κυλιόμενη ( μη ολισθαίνουσα ) ενώ η ράβδος κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω ενώ είναι συνεχώς σε επαφή με τους αγωγούς Mx, Ny.

Δ2. Εξηγείστε γιατί φορτίζεται η ράβδος ΚΛ κατερχόμενη. Εκφράστε την τάση στα άκρα της συναρτήσει του χρόνου. 5

Δ3. Η σφαιρα κυλίεται ( δεν ολισθαίνει ) κινούμενη στο κεκλιμένο επίπεδο, διέρχεται από την θέση Γ, ανέρχεται κυλιόμενη στο ημικύκλιο και μόλις διέρχεται από την ανώτατη Δ του ημικυκλίου. 5

Δ3 (α) Βρείτε το ύψος h έτσι ώστε η σφαίρα μόλις διέρχεται από την ανώτατη Δ του ημικυκλίου. 5

Δ3 (β) Θεωρώντας ως αρχή των αξόνων Ο(0,0) την θάση Δ την χρονική στιγμή t = 0 βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας της σφαίρας την χρονική στιγμή t = 0,2 s, την στροφορμή της και τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής της ενέργειας λόγω περιστροφής. 4 + 3 + 3

Δ3 (γ) Βρείτε την επιτάχυνση της σφαίρας όταν διέρχεται από την θέση Ζ του σχήματος. 5

ΑΣΚΗΣΗ 16

Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους l = 1,2 m και μάζας M = 1 kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο σε απόσταση l/3 από το άκρο Α της ράβδου. Το άκρο Γ της ράβδου συνδέεται με αβαρές νήμα που σχηματίζει γωνία φ = 30° με τη ράβδο, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα συνδεδεμένο σε σταθερό σημείο Δ όπως στο σχήμα.

Το σύστημα αρχικά ισορροπεί σε οριζόντια θέση. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται.
Γ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη ράβδο και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής Ο, πριν κοπεί το νήμα.

Γ2. Να υπολογίσετε

α) τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της

β) τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη χρονική στιγμή κατά την οποία κόβεται το νήμα.

Γ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του άκρου Γ της ράβδου τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ράβδος διέρχεται για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση.

Γ4. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου τη χρονική στιγμή που σχηματίζει γωνία 30° με την κατακόρυφο, μετά τη διέλευσή της για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση.

ροπές ως προς Ο : M g (l/2 - l/3) - Τ ημ30° 2l/3 = 0 => M g l/6 = Τ ½ 2l/3 => 1 10 l/2 = Τ => Τ = 5 Ν T_x = Τ συν30° = Φ3/2 Χ 5 N = 2,5ΧΦ3 N

ΣF_x = 0 => F_x = T_x = 2,5ΧΦ3 N

ΣF_y = 0 => M g - T_y - F_y = 0 => M g - T ημ30° = F_y => 10 - 5 ½ = F_y => F_y = 7,5Ν

ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της που διέρχεται από το σημείο Ο : Ι_(Ο) = 1/12 Μ l² + M (l/2 - l/3)² = 1/12 Μ l² + M (l/6)² = 1/9 Μ l² = 1/9 1 1,2² =0,16 kg m²

Στ_(Ο) = Ι_(Ο) α_γων => M g (l/2 - l/3) = Ι_(Ο) α_γων => M g l/6 = Ι_(Ο) α_γων => 10 1,2/6 = 0,16 α_γων => α_γων = 2/0,16 = 12,5 rad/s²

διατήρηση ενέργειας : M g l/6 = ½ Ι_(Ο) ω² => 10 1,2/6 = ½ 0,16 ω² => 2 / 0,08 = ω² => ω = 5 rad/s γωνιακή ταχύτητα ράβδου όταν διέρχεται από την κατώτατη θέση για 1η φορά

ταχύτητα του άκρου Γ : υ_(Γ) = ω 2l/3 = 5 2 1,2 / 3 = 4 m/s

ρυθμός μεταβολής στροφορμής : dL/dt = Στ_(Ο) = M g (l/2 - l/3) ημ30° = 10 1,2/6 ½ = 1 Nm = Ι_(Ο) α_γων = 0,16 α_γων => α_γων = 1/0,16 = 6,25 rad/s²

ΑΣΚΗΣΗ 17

ΑΣΚΗΣΗ 18

m = 3 kg M = 6 kg r = R/2

r α_γων = a₂ a₁ = R α_γων + a₂ = (R + r) α_γων = 3r α_γων = 3 a₂ r = R/2

m g - T₁ = m a₁ (1) M g + T₁ - T₂ = M a₂ (2)

T₁ R + T₂ r = ½ M R² α_γων => 2 T₁ + T₂ = M R α_γων (3)

(2) + (3) => M g + 3 T₁ = M a₂ + M R α_γων = 2 M a₂ (4)

3*(1) + (4) => 3 m g + M g = 3 m a₁ + 2 M a₂

=> 3 m g + M g = 3 m 3 a₂ + 2 M a₂

=> 3 m g + M g = ( 9 m + 2 M ) a₂

=> 3 3 10 + 6 10 = ( 9 3 + 2 6 ) a₂ => a₂ = 150/45 = 10/3 m/s²

οπότε a₁ = 10 m/s²

(1) => T₁ = m g - m a₁ = 3 10 - 3 10 = 0

(2) => T₂ = M g + T₁ - M a₂ = 6 10 + 0 - 6 10/3 = 40 Ν

Κ_{τροχαλίας} = ½ Μ υ² + ½ ½ Μ R² ω² =

= ½ Μ α₂² t² + ½ ½ Μ R² α_γων² t² =

= ½ Μ α₂² t² + 1/4 Μ R² α₂² / r² t² =

= ½ Μ α₂² t² + 1/4 Μ 4 α₂² t² =

= 3/2 Μ α₂² t² = 3/2 6 100/9 9 = 900 Joule t = 3 sec