Απλός αρμονικός ταλαντωτής, ελατήριο σταθεράς  K = 100 N/m   και  σώμα μάζας  m = 1 kg   εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα διεγέρτη  f = 8/π Ηz.  Αν η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί,  τότε το πλάτος της ταλάντωσης

             (α)  μειώνεται            (β)  αυξάνεται         (γ)  μένει σταθερό

    k = m . ω²  =>  100 N/m = 1 kg . ω²  =>  ω = 10 rad/s  => 2π.f₀ = 10 rad/s  =>  f₀ = 5/π Hz  ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή        

η συχνότητα του διεγέρτη είναι  μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή,    

αν η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί,  τότε το πλάτος της ταλάντωσης   μειώνεται

Ελατήριο που εκτελεί εξαναγκασμένες ταλαντώσεις έχει σταθερά  k = 162 Ν/m  και το σώμα μάζα m=0,5kg.   Το σώμα σε χρόνο  t = 10π s   διέρχεται 90 φορές από τη θέση ισορροπίας του.   Τότε η κυκλική συχνότητα του διεγέρτη τροχού είναι:
     (α)    9 rad/s       (β)    18 rad/s,       (γ)     17 rad/s

Για να συντονιστεί το σύστημα πρέπει η συχνότητα του διεγέρτη να  

 (α)   αυξηθεί κατά 100%.     (β)   μειωθεί κατά 50%,       (γ)   μείνει σταθερή,      (δ)  αυξηθεί κατά 50%

 k = m . ω²  => 162 N/m = 0,5 kg . ω² => ω =  Φ324 rad/s = 18 rad/s  =>  2π.f₀ = 18 rad/s  =>   f₀ =  9/π Hz  ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή        

επειδή το σώμα σιέρχεται  90 φορές από τη θέση ισορροπίας του σημαίνει ότι εκτελεί 45 ταλαντώσεις (κύκλους)  σε χρόνο 10.π s   οπότε    η συχνότητα του διεγέρτη είναι   f_δ = 45 / 10π = 9/2π Hz    άρα η κυκλική συχνότητα του διεγέρτη είναι  ω_δ = 2π.f = 9 rad/s   

για να συντονιστεί το σύστημα  πρέπει   f_δ = f₀    δηλαδή πρέπει να αυξηθεί η συχνότητα του διεγέρτη  από   9/2π Hz   σε 9/π Hz    δηλαδή  αύξηση 9/2π Hz   άρα  100 %     

**  Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του διεγέρτη είναι f_δ  και είναι ίση με  f_δ = 2 f₀.  

(Α)   Ο λόγος της μέγιστης δυναμικής προς τη μέγιστη κινητική ενέργεια της ταλάντωσης είναι:
         (α)   U_max / K_max =  1/4         (β)    U_max / K_max  =  1/2         (γ)    U_max / K_max  =  2
(Β)   Για ποια τιμή της f_δ  ο προηγούμενος λόγος θα γίνει ίσος με 1;
         (α)    f_δ = f₀ / 2          (β)   f_δ = f₀ / 4          (γ)     f_δ = f₀      

   U_max  =  ½ D A²  =  ½ m  ω₀² Α²  =  ½ m  4π² f₀²  Α² 

   K_max  =  ½ m υ₀²  =  ½ m  ω_δ² Α²  =  ½ m  4π² f_δ²  Α² = 4 U_max

    U_max = Κ_max   =>   f₀  = f_δ      

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Στην κατακόρυφη διάταξη του σχήματος ο δίσκος ακτίνας R=0,5m περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα χ'χ που διέρχεται από το κέντρο του Κ  και είναι κάθετος στο επίπεδό του.  Στοιχειώδης μάζα Δm  του δίσκου που βρίσκεται στο σημείο Β  (ΚΒ=0,2m) έχει κινητική ενέργεια 2^.10^-5J  και στροφορμή μέτρου 4^.10^-6 kg m²/s.   Το σώμα Σ  μάζας m=1kg  στο κάτω άκρο του ελατηρίου σταθεράς k=400N/m  ταλαντώνεται εξ' αιτίας της περιστροφής του δίκου.  Η τροχαλία έχει μηδαμινή μάζα, ακτίνα r=0,3m.  Το νήμα μπορεί να ολισθαίνει στην περιφέρεια της τροχαλίας χωρίς τριβές. 

(α)  Βρείτε την επιτάχυνση του σημείου Α της περιφέρειας του δίσκου που συνδέεται μέσω αβαρούς νήματος με το σύστημα  << ελατήριο - σώμα Σ >>.

(β)  Για ποιά συχνότητα περιστροφής του δίσκου το σώμα ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος; 

(γ)  Βρείτε  την εξίσωση της στροφορμής του σώματος Σ συναρτήσει του χρόνου.

(δ)  Το κάτω άκρο του σώματος Σ, καθώς αυτό ταλαντώνεται, ακουμπά στο σημείο Θ της επιφάνειας υγρού με συνέπεια να δημιουργούνται εγκάρσια κύματα στην επιφάνεια του υγρού.  Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=2 m/s.  Έστω σημείο Α της επιφάνειας του υγρού το οποίο απέχει απόσταση  x=0,5m  από το σημείο Θ.  

     (δ₁)  Βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Α συναρτήσει του χρόνου. 

     (δ₂)  Βρείτε την διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων Θ και Α.

     (δ₃)  Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Α συναρτήσει του χρόνου t.

     (δ₄)  Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y συναρτήσει της απόστασης x  τη στιγμή  t=0,5s.

(A)

 Κ = ½ Δm  υ²  =>  2 10^-5  =  ½  10^-5  υ²  =>  v² = 4  =>  v = 2 m/s   

 L = Δm  v (KB) = 10^-5  2  0,2 = 4 10^-6 kg m²/s   

 K / L =  v / 2(KB)  = ω_δ / 2  =>  2 10^-5 / 4 10^-6 = ω_δ / 2 =>  ω_δ = 10 rad/s  συχνότητα διεγέρτη ( του δίσκου που περιστρέφεται )

v / 0,4  =>  v = 2 m/s                     Δm=10^-5kg

    ω_δ = v / (KB) = 2 / 0,2 => ω_δ = 10 rad/s   

το σημείο Α στην περιφέρεια του δίσκου έχει κεντρομόλο επιτάχυνση λόγω περιστροφής ;

                              α_Κ  =  ω_δ²  (ΚΑ) =  100 rad²/s²  0,5 m  = 50 m/s²    

(B)

αμείωτη απλή αρμονική ταλάντωση   ω₀²  =  k/m = 400 / 1 => ω₀ = 20 rad/s 

για να έχουμε μέγιστο πλάτος ταλάντωσης του Σ  ( συντονισμός )  πρέπει  ω_δ = ω₀     

(Γ)

ταλάντωση σώματος Σ :  x(t) =  0,5 ημ(10 t + φ)        v(t) = 5 συν(10 t + φ)         α(t) = - 50 ημ(10 t + φ)     

    L = m r v =  1 kg  0,3 m   5 συν(10 t + φ) m/s  =  1,5 συν(10 t + φ)  kg.m²/s    

(Δ)

 y_Θ = A ημ(2πt/T) =>   y_Θ(t) = 0,5 ημ(10.t)          

υ = λ / Τ = λ / (2π/ω)  => λ = 2π υ / ω = 2π 2 m/s / 10 rad/s  => λ = 0,4.π m

y_Α = A ημ(2πt/T - 2π.x_A/λ) = 0,5 ημ(10.t - 2π.0,5/0,4.π) => y_Α(t) = 0,5 ημ(10.t - 2,5)  

Δφ = φ_Θ - φ_Α = 10.t  - (10.t - 2,5)  = 2,5 rad  

η φάση του σημείου Α είναι εξίσωση ευθείας με κλίση  α = 10 rad/s  

 y = A ημ(2πt/T - 2π.x/λ)  = 0,5 ημ(10.t - 2π.x/0,4.π) =>  y(x,t) = 0,5 ημ(10.t - 5.x)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Στην επιφάνεια ενός υγρού που ηρεμεί, βρίσκονται δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Π₁ και Π₂, που δημιουργούν στην επιφάνεια του υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα ίσου πλάτους. Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t₀=0 ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας τους και κινούμενες προς την ίδια κατεύθυνση, την οποία θεωρούμε θετική. Η χρονική εξίσωση της ταλάντωσης ενός σημείου Μ, που βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος Π₁Π₂, μετά τη συμβολή των κυμάτων δίνεται στο SI από τη σχέση:  y_M = 0,2 ημ2π(5t-10).

Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=2 m/s. Έστω Ο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος Π₁Π₂ και d=1m η απόσταση μεταξύ των πηγών.
Να βρείτε:
Γ1. Την απόσταση ΜΠ₁.

Γ2. Τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων Ο και Μ.

Γ3. Πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος Π₁Π₂ ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος.

Γ4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με τον χρόνο t   για   0 ≤ t ≤ 2,5s.

 y₁ = A ημ(2πt/T - 2πx₁/λ)           y₂ = A ημ(2πt/T - 2πx₂/λ)    

  y_M  =  y₁ + y₂  =  2A συν(πx₂/λ - πx₁/λ)  ημ( 2πt/T - 2π (x₁ + x₂) / 2λ )   

  y_M = 0,2 ημ2π(5t-10)  =>   1/Τ = 5  =>  Τ = 0,2s                λ = υ Τ =  2  0,2  =  0,4 m

                             (x₁ + x₂) / 2λ = 10  =>  (x₁ + x₂) = 20 λ =  20 v T = 20  2  0,2 = 8m 

επειδή το Μ είναι στην μεσοκάθετο  x₁  =  x₂  =  4 m

  2A = 0,2 m  =>   A =  0,1 m 

  y_O  =  y₁ + y₂  =  2A συν(πx₂/λ - πx₁/λ)  ημ( 2πt/T - 2π (x₁ + x₂) / 2λ )   = 

          =  2 0,1 συν(0)  ημ( 2πt/0,2 - 2π (x₁ + x₂) / 2λ )    =   0,2  ημ( 10πt - 2π 1 / 2 0,4 )  = 

    y_O  = 0,2  ημ2π(5t - 1,25)  

 φ_Ο - φ_Μ  =   2π(5t - 1,25)  -  2π(5t - 10)   =   20π  -  2,5π  =  17,5π

συν(πx₂/λ - πx₁/λ) = 1 ή -1  =>   χ₂ - χ₁ = Ν λ  

    χ₁ + χ₂  =  Π₁Π₂  = 1 m =>    2 χ₂  =  Ν 0,4  +  1 =>  χ₂  =  0,2 Ν + 0,5  

 πρέπει   0 <  χ₂ < 1 m  =>    

      =>  0 <  0,2 Ν + 0,5   < 1 m  =>  - 0,5  <  0,2 Ν   < 0,5   =>   - 2,5  <  Ν  < 2,5   => 

        Ν  =  -2, -1, 0, 1, 2 

(1)   αμείωτη απλή αρμονική ταλάντωση   ω₀²  =  k/m = 40 / 2 => ω₀ = √20 rad/s 

η συχνότητα του διεγέρτη είναι  ω_δ = 5 rad/s  >  ω₀ = √20 rad/s     δεν έχουμε συντονισμό   

το σώμα ταλαντώνεται με την συχνότητα του διεγέρτη  ω_δ = 5 rad/s 

 στο σώμα ενεργούν στον άξονα χ'χ  οι δυνάμεις :   ελατηρίου,  απόσβεσης,  διεγέρτη

      ΣF  =  m a   =>   F_δ  - b v  -  k x  =  m a   =>   F₀∙ημ(5t + θ)  -  b v  -  k x =  m a   (1)

όταν το σώμα είναι στη θέση  x = +Α   έχουμε  α = - ω² Α < 0    &   η ταχύτητα είναι μηδέν

 η (1) =>  F_δ  -  b v  -  k x  =  m a   =>   F_δ  - 0  -  40 N/m  (+ 0,5 m)  =  2 kg  (- 5² rad²/s²  0,5 m )  => F_δ  = - 5 N  

  F₀∙ημ(5.t₀ + θ) = - 5 N  =>  F₀ = 5 N    και   ημ(5.t₀ + θ) = - 1  =>   5.t₀ + θ = 3π/2  + 2Νπ      Ν = 0, 1, ...   (1) 

η απομάκρυνση  x(t) =  0,5 ημ(5.t + φ)    

τότε   x(t₀) =  0,5 ημ(5.t₀ + φ)  = + 0,5  =>  ημ(5.t₀ + φ) = +1  =>  5.t₀ + φ = π/2  + 2Νπ      Ν = 0, 1, ...  (2)  

  από (1) - (2) =>  θ = π + φ  

(2)     όταν τη στιγμή t₁  το σώμα περνά από τη θέση  x = 0   έχουμε  α = 0   η εξωτερική δύναμη έχει μέτρο 1 Ν  και η ταχύτητα είναι μέγιστη  υ_max = ω Α  =  5 rad/s  0,5 m  = 2,5 m/s   

  η (1) =>  1 N  -  b  2,5 m/s  =  0  =>  b = 1/2,5 = 0,4 kg/s    

x(t₁) =  0,5 ημ(5.t₁ + φ)  =  0  =>  ημ(5.t₁ + φ) = 0  =>  5.t₁ + φ = Νπ      Ν = 0, 1, ...

τότε   ημ(5.t₁ + θ)  =  ημ(5.t₁ + π + φ)  =  ημ(5.t₁ + φ + π)  =  - ημ(5.t₁ + φ)  = 0       ;;;;;;;;   

 x(t) =  0,5 ημ(5.t + φ)           v(t) =  2,5 συν(5.t + φ)            α(t) = - 12,5 ημ(5.t + φ)  

  v(t₂) =  2,5 συν(5.t₂ + φ)  = + 2 m/s  => συν(5.t₂ + φ)  = +0,8    οπότε  ημ(5.t₂ + φ)  = ± 0,6   

F₀∙ημ(5t + θ)  -  b v  -  k x =  m a   =>  F₀/m ημ(5t + θ)  =   x''  +  b/m  x'  +  k/m  x      

5∙ημ(5t + θ)  -  0,4   2,5 συν(5.t + φ)  -  40  0,5 ημ(5.t + φ)   =  2  [ - 12,5 ημ(5.t + φ) ]  

5∙ημ(5t + θ)  -   συν(5.t + φ)  -  20 ημ(5.t + φ)   =  - 25 ημ(5.t + φ)   

5∙ημ(5t + θ)   =  συν(5.t + φ)  -  5 ημ(5.t + φ)