A1.   Ένα μηχανικό σύστημα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται σε σχέση με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α = Α₀ e^-Λt, όπου Λ θετική σταθερά και Α₀το αρχικό πλάτος.  Αν το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να γίνει το πλάτος από Α₀ ® Α₀ /2 είναι Δt₁, τότε το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να γίνει το πλάτος από Α₀ /4 ® Α₀ /8  είναι
α. Δt₁ .          β. 2 Δt₁.            γ. 4 Δt₁.             δ. 8 Δt₁.

Α = Α₀ e^-Λt => Α₀ /2 = Α₀ e^{-Λ Δt1} => 1/2 =  e^{-Λ Δt1} => ln2 = Λ Δt₁ =>  Δt₁ = ln2/Λ

                          Α₀ /8 = Α₀/4 e^{-Λ Δt2} => 1/2 =  e^{-Λ Δt2} => ln2 = Λ Δt₂ =>  Δt₂ = ln2/Λ

Β1.     Ένα μηχανικό σύστημα εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις, των οποίων το πλάτος σε σχέση με το χρόνο μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση :  Α = Α₀ e^-Λt  
Μετά από χρονικό διάστημα  Δt   το ποσοστό ελάττωσης της μηχανικής ενέργειας του συστήματος είναι 84%.   Στο ίδιο χρονικό διάστημα, το ποσοστό ελάττωσης του πλάτους είναι : 

    (α)   60%             (β)   84%             (γ)    90%  

 πλάτος :  Α = Α₀ e^-Λt    ενέργεια :  Ε = Ε₀ e^-2Λt     μεταβολή ενέργειας :  ΔΕ = Ε₀ 84%  άρα   Ε = 0,16.Ε₀   =>   Ε₀ e^-2Λ.Δt  = 0,16.Ε₀ =>  e^-2Λ.Δt = 0,16  =>  e^-Λ.Δt = 0,4  

οπότε   Α = Α₀ e^-Λ.Δt =  Α₀ .0,4     το πλάτος είναι το 40% του αρχικού  και  το ποσοστό ελάττωσης του πλάτους είναι  60 %      

Β2.   Ένα σύστημα ξεκινά φθίνουσες ταλαντώσεις με αρχική ενέργεια 100 J και αρχικό πλάτος Α₀. Το έργο της δύναμης αντίστασης μετά από Ν ταλαντώσεις είναι -75 J.   Άρα το πλάτος ταλάντωσης μετά από Ν ταλαντώσεις είναι:       (α)    Α₀/2          (β)     Α₀/16        (γ)    Α₀/5.

πλάτος :  Α = Α₀ e^-Λt    ενέργεια :  Ε = Ε₀ e^-2Λt   μεταβολή ενέργειας :  ΔΕ = W_{F '} = -75 J       =>  E = 100 - 75 = 25 J    Ε = Ε₀ e^-2Λt =>  25 = 100 e^-2Λt =>

=>  e^-2Λt = 1/4 = (1/2)² =>  e^-Λt = 1/2    από τη σχέση :  Α = Α₀ e^-Λt = A₀/2

Β3.  Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση Α = Α₀ e^-Λt.   Αν με Α₀, Α₁, Α₂, Α₃, Α₄ συμβολίσουμε διαδοχικά πλάτη της ταλάντωσης προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ισχύει η σχέση

     (α)   Α₀ / Α₂ = Α₂ / Α₄        (β)   Α₀ / Α₁ = Α₁ / Α₃        (γ)   Α₃ / Α₄ = Α₂ / Α₁           

 Α₀/Α₁ = Α₁/Α₂ = Α₂/Α₃ = Α₃/Α₄ = Α₄/Α₅ = Α₅/Α₆ = ....= e^Λ.Τ  σωστή η (α)

Β4.  Το πλάτοςΑ μιας φθίνουσας ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο t  σύμφωνα με τη σχέση Α = Α₀ e^-Λt, όπου  Α₀ το αρχικό πλάτος και Λ μια θετική σταθερά. Ο απαιτούμενος χρόνος μέχρι το πλάτος της ταλάντωσης να γίνει  Α₀/2  είναι 

α)   ln2 / 2Λ       β)   ln2 / Λ     γ)   2ln2 / Λ     

 πλάτος :   Α=Α₀ e^-Λt  =>   Α₀/2 = Α₀ e^-Λt  =>  1/2 = e^-Λt  => 2= e^Λt  =>  ln2=Λ.t  =>  t=ln2/Λ  

Β5.  Σε μια φθίνουσα ταλάντωση όταν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α η ενέργεια της ταλάντωσης είναι E.  Όταν η ενέργεια της ταλάντωσης γίνει  E/2, το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι                (α)   Α/4         (β)   Α/2       (γ)   0,7 Α

         πλάτος :   Α = Α₀ e^-Λ.t      ενέργεια :    Ε = Ε₀ e^-2Λ.t   

     E_αρχ / Ε_τελ  =  Ε / (Ε/2)  =  2  =>    ( ½.D.A_αρχ² ) / ( ½.D.A_τελ² ) = 2  =>  

             =>    A_αρχ / A_τελ =  2^½  = 1,4  =>  Α_τελ = Α_αρχ / 1,4  =  0,7 Α

Β6.  Ένα μηχανικό σύστημα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Κάποια στιγμή, το πλάτος της ταλάντωσης είναι A και η ενέργεια της ταλάντωσης είναι E. Όταν το πλάτος της ταλάντωσης μειωθεί κατά  50%, η ενέργεια που έχει απομείνει στο σύστημα είναι:
α) 0,75.E     β) 0,5.E      γ) 0,25.E.  

   όταν το πλάτος της ταλάντωσης γίνει  Α/2  η ενέργεια θα γίνει  Ε/4  =  0,25.Ε

Γ1.   Σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η δύναμη απόσβεσης είναι της μορφής :  F΄= - b υ.   Τη χρονική στιγμή  t = 0  το πλάτος της ταλάντωσης είναι  Α₀ =10 cm.  Το σώμα μέχρι τη χρονική στιγμή  t = 10s  εκτελεί πέντε πλήρεις ταλαντώσεις, ενώ το πλάτος του μειώνεται κατά  50%.
Να υπολογίσετε:
A)   τη σταθερά  Λ  της φθίνουσας ταλάντωσης.
B)   τη συχνότητα και το πλάτος ταλάντωσης μετά από 15 πλήρεις ταλαντώσεις.
Γ)   τη χρονική στιγμή κατά την οποία το πλάτος θα γίνει  Α = 2,5 cm.
Δ)  το έργο της δύναμης απόσβεσης από τη χρονική στιγμή  t=0s  μέχρι τη χρονική στιγμή  t=10s, αν η ενέργεια της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά σε σχέση με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση  Ε=10·e^-2Λt (J).   

 συχνότητα ταλάντωσης :  f = N/t = 5/10 = 0,5 Hz       περίοδος ταλάντωσης :  T = 1/f  = 2s

το πλάτος  μειώνεται κατά  50% :  Α = Α₀ e^-Λt => Α₀/2 = Α₀ e^-Λt =>  1/2 = e^-Λt => ln2=Λt  =>   ln2 = Λ·10s  =>   Λ = 0,1·ln2 s^-1  

οι 15 ( = 3 · 5 )   πλήρεις ταλαντώσεις γίνονται σε χρόνο  3 · 10 s = 30 s    

       τότε   Λ · t = 0,1·ln2 s^-1 · 30 s  =  3·ln2  =  ln2³  =  ln8   

οπότε   Α = Α₀ e^-Λt = 10 · e^-Λt  =  10·e^-ln8  =  10·e^ln(1/8) = 10 ·1/8  => Α = 1,25 cm

   A = 2,5 cm  =  10/4 cm  = A₀ / 4   =>   t = 2 . 10 s = 20 s    

απόδειξη :    Α =  Α₀ e^-Λt  =>  2,5 =  10 e^-Λt => 1/4 =  e^-Λt =>  e^Λt = 4  =>   Λ· t = ln2² =>   0,1·ln2 · t  =  2· ln2  =>   t = 20 s

  Ε = ½ ·D ·A²  =>  10 ·e^-2Λt =  ½ ·D ·(10 ·e^-Λt )² =>  10 ·e^-2Λt =  ½ ·D ·100 ·e^-2Λt  => D = 0,2 N/m

    Ε(t)  =  10·e^-2Λt (J)   =>   Ε(0) = 10 J  

                Ε(10) = 10·e^-2Λ·10 (J) = 10 ·e^-2·ln2 (J)  =  10 ·e^ln(1/4) (J)  = 10/4 J  =  2,5 J   

         W_F'  =  ΔΕ  =  E(10)  -  E(0)  =  2,5 J  -  10 J  =  -7,5 J

  ΣF  =  - b v - D x = m dv/dt  =>   m x"  +  b x'  +  D x  =  0    =>   m ρ²  +  b ρ  +  D =  0   

    Δ =  b²  -  4mD  =  b²  -  4 m m ω₀²   =  - 4m² ( ω₀²  -  (b/2m)² )  =  - 4m² ω²       ω₀² - Λ² = ω² 

     ρ_1,2   =  ( - β ± Δ^½ ) / 2α  =  ( - b ± j2mω ) / 2m  =  - b/2m  ±  jω  =  - Λ  ±  jω            Λ = b/2m

x(t) =  B₁ e^ρ₁t + B₂ e^ρ₂t   =  B₁ e ^{(- Λ  +  jω)t}   +  B₂ e ^{(- Λ  -  jω)t}  =   e^-Λt  ( B₁ ημωt + B₂ συνωt )

 μια λύση είναι :   x(t) = A₀ e^-Λt συνωt      

v = dx/dt  = - Λ A₀ e^-Λt συνωt  -  ω A₀ e^-Λt ημωt = - A₀ e^-Λt ( Λ συνωt + ω ημωt )  

a = dv/dt = Λ² A₀ e^-Λt συνωt + ω Λ A₀ e^-Λt ημωt + ω Λ A₀ e^-Λt ημωt - ω² A₀ e^-Λt συνωt => 

           =>   a(t)  = A₀ e^-Λt  { ( Λ² - ω² ) συνωt + 2ω Λ ημωt }    

U(t)  =  0,5  D  x(t)²  =  0,5  D  A₀² e^-2Λt συν²ωt  =   0,5  m ω₀²   A₀² e^-2Λt συν²ωt

dU(t)/dt  =  D  x(t)  υ(t)  =  D  A₀ e^-Λt συνωt   ( -Λ A₀ e^-Λt συνωt  -  ω A₀ e^-Λt ημωt )  =

              =  - m ω₀² A₀² e^-2Λt  συνωt   ( Λ συνωt  +  ω ημωt )  

K(t)  =  0,5  m  v(t)²  =  0,5  m  A₀² e^-2Λt  ( - Λ συνωt  -  ω ημωt )²          

dK/dt  =  m  v(t)  a(t)  = 

       =  - m A₀ e^-Λt ( Λ συνωt  +  ω ημωt )   A₀ e^-Λt  { ( Λ² - ω² ) συνωt  +  2ω Λ ημωt }  =  

       =  - m A₀² e^-2Λt  [  Λ ( Λ² - ω² ) συν²ωt  +  2ω² Λ ημ²ωt  +  ω ( 3Λ² - ω² ) ημωt συνωt  ]  

dU(t)/dt  +  dK(t)/dt  = - m ω₀² A₀² e^-2Λt  συνωt   ( Λ συνωt  +  ω ημωt )   +  

        - m A₀² e^-2Λt  [  Λ ( Λ² - ω² ) συν²ωt  +  2ω² Λ ημ²ωt  +  ω ( 3Λ² - ω² ) ημωt συνωt  ]   =

=   - m ω₀² A₀² e^-2Λt  συνωt   ( Λ συνωt  +  ω ημωt )   -

        - m A₀² e^-2Λt  [  Λ ( Λ² - ω² ) συν²ωt  +  2ω² Λ ημ²ωt  +  ω ( 3Λ² - ω² ) ημωt συνωt  ]    =

=   - m ( ω² + Λ² )  A₀² e^-2Λt  συνωt   ( Λ συνωt  +  ω ημωt )   -

        - m A₀² e^-2Λt  [  Λ ( Λ² - ω² ) συν²ωt  +  2ω² Λ ημ²ωt  +  ω ( 3Λ² - ω² ) ημωt συνωt  ]    =

=   - m A₀² e^-2Λt  [ ω²Λ συν²ωt  + ω³ συνωt ημωt + Λ³ συν²ωt  + ωΛ² συνωt ημωt  + 

                              + ( Λ³ - Λω² ) συν²ωt  +  2ω² Λ ημ²ωt  +  ω ( 3Λ² - ω² ) ημωt συνωt  ]   = 

=   - m A₀² e^-2Λt  [ ω²Λ συν²ωt  + ω³ συνωt ημωt + Λ³ συν²ωt  + ωΛ² συνωt ημωt  + 

                              + ( Λ³ - Λω² ) συν²ωt  +  2ω² Λ ημ²ωt  +  ( 3ωΛ² - ω³ ) ημωt συνωt  ]   = 

=   - m A₀² e^-2Λt  [  2 Λ³ συν²ωt  + 4 ωΛ² συνωt ημωt  +  2ω² Λ ημ²ωt  ]  = 

=   - 2mΛ A₀² e^-2Λt  [   Λ² συν²ωt  + 2 ωΛ συνωt ημωt  +  ω² ημ²ωt  ]  = 

=  - b  A₀² e^-2Λt [ Λ συνωt + ω ημωt ]²  =  - b v(t)² =  - b v(t) v(t) = F'(t) v(t)

    k = mg / x = 20 / 0,4 = 50 N/m       E = ½ k x²  =  ½  50  0,4²  =  4 J  

 ω² = k / m = 50 / 2 = 25 => ω = 5 rad/s      x = 0,4 ημ(5t + π/2) = 0,4 συν5t    υ = 2 συν(5t + π/2)    α = - 10 ημ(5t + π/2)

  Λ = b / 2m = 0,2 / 4 = 0,05     x(t) = A₀ e^-Λt συνωt  =>  x(t) = 0,4  e^-0,05.t συν5t        v(t) = - 2 e^-0,05.t ημ5t 

    0,4  e^-0,05.t συν5.t₁ = 0,1 m         2 e^-0,05.t ημ5.t₁ = 1 m/s    5 εφ5t = 10 => εφ5.t₁ = 2  

Ε₀ = 4 J       Ε₁ = ½ k x₁²  +  ½ m v²  = ½  50  0,1² +  ½  2  1²  =  0,25 J  + 1 J = 1,25 J       ΔΕ = 1,25 - 4 = - 2,75 J 

dU(t)/dt  =  - m ω₀³ A₀² e^-2Λt  συνωt  ημωt   =  - 2  5²   0,1  1  =  - 5 J/s    

dK/dt  =  m A₀² e^-2Λt  ω³  ημωt συνωt    

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕΣΑ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ ΤΗΣ ΓΗΣ
ΘΕΜΑ Β
Σώμα αφήνεται να κινηθεί από κάποιο ύψος μέσα στην κατώτερη ατμόσφαιρα της Γης (τροπόσφαιρα). Εκτός του βάρους w = mg, στο σώμα ασκείται και μια δύναμη αντίστασης FA από τον αέρα που είναι ανάλογη της ταχύτητας υ του σώματος αλλά πάντα αντίρροπη προς αυτή F_A = -bυ, όπου b > 0.
1) Η μέγιστη τιμή της κινητικής ενέργειας του σώματος είναι:

α) m³g²/2b²                           β) m³g²/b²                             γ) 2m³g²/b²            

2) Η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος είναι:

α) (mg)²/b                              β) (mg)²/2b                            γ) (mg)²/4b

όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας την οποία θεωρούμε σταθερή.

  ΣF = m a  =>  mg - bv = m a  =>  a =  g - bv/m              a = 0  =>  v = mg / b      

       K = 0,5 m v²  =  0,5 m m² g² / b² =  m³ g² / 2b²        (a)       

  dK/dt = m v a =  m  v  ( g - bv/m )  =>  dK/dt  =  mg v  -  b v²  =>  b v²  -  mg v  +  dK/dt  =  0   

Δ  =  (mg)²  -  4b dK/dt   ³  0   =>  dK/dt  £  (mg)² / 4b               (mg)²/4b           (γ)                  

ανάλυση μαθηματική

mg - bv = m a  =>  mg - bv = m dv/dt  =>  g - bv/m =  dv/dt  =>  - b/m ( v - mg/b ) =  dv/dt  => 

  =>  dv / ( v - mg/b )  =  - b/m dt  =>  ln [ ( v - mg/b ) / ( - mg/b ) ]  =  - b/m t  => 

  =>  ( v - mg/b ) / ( - mg/b )  =  e^{- b/m t}  =>  v(t)  =  mg/b [ 1 - e^{- b/m t} ]         a(t) = - g e^{- b/m t}

                              K = 0,5 m v(t)²  =  0,5 m (mg/b)² [ 1 - e^{- b/m t} ]² 

            dK/dt =  m v(t) a(t) = - m mg/b [ 1 - e^{- b/m t} ]  g e^{- b/m t}  =  - m² g² /b [ 1 - e^{- b/m t} ] e^{- b/m t}    

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg ηρεμεί δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, προκαλώντας του επιμήκυνση 0,4m. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά 0,4m και σε μια στιγμή t₀=0, το αφήνουμε να εκτελέσει κατακόρυφη ταλάντωση, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης τη μορφής F_απ=-b∙υ=-0,2υ (μονάδες στο S.Ι.).

i)   Να υπολογισθεί η αρχική ενέργεια ταλάντωσης, καθώς και η αρχική επιτάχυνση του σώματος.

Σε μια στιγμή t₁ το σώμα έχει επιμηκύνει το ελατήριο κατά 0,5m, έχοντας ταχύτητα μέτρου |υ₁|=1m/s.

ii)  Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης απόσβεσης από την στιγμή t₀ μέχρι τη στιγμή t₁.

iii) Για την στιγμή t₁ να υπολογιστούν:

Α)  Η επιτάχυνση του σώματος.

Β)  Οι ρυθμοί μεταβολής:

     a)  της δυναμικής ενέργειας,

     b)  της κινητικής ενέργειας και

     c)  της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος.

Δίνεται g=10m/s².

ισορροπία σώματος :   mg = k x₀  =>  k = 20 / 0,4 = 50 N/m            ω² = k/m = 50 / 2 = 25 => ω = 5rad/s

  ΣF = m a  =>  m.g - b.v - k.x = m a  =>  a =  g  = 10 m/s²  αρχική επιτάχυνση       x=0    v=0

  E = 0,5 k A²  =  0,5  50  0,4²  =  50  0,2  0,4  =  4 J    αρχική ενέργεια ταλάντωσης 

  η επιμήκυνση  Δl = 0,5 m   το πλάτος  0,4 m   άρα  x₁ = 0,1 m  για την ταλάντωση  και |v₁| = 1 m/s

  E₁  =  0,5 k x₁²  +  0,5 m  (v₁)²  =  0,5  50  0,1²  +  0,5  2  1  =  0,25  +  1  =  1,25 J 

  W_Fαπ  =  Ε₁ - Ε  =  1,25  -  4  =  - 2,75 J    έργο της δύναμης απόσβεσης  από την στιγμή t₀ μέχρι τη στιγμή t₁.                 

  a₁ =  g  -  b.v₁/m  -  k Δl/m  =  10  -  0,2 1 / 2  -  50  0,5 / 2  =  10  -  0,1  -  12,5  =  - 2,6 m/s²    

  dU/dt = k x₁ v₁ = 50  0,1  (± 1)  =  ± 5 J/s

  dK/dt = m v₁ a₁  =  2  (± 1)  (- 2,6)  =  ± 5,2 J/s 

        x  =  0,4 ημ(5t + 3π/2)              v  =  2 συν(5t + 3π/2)         a  =  - 10 ημ(5t + 3π/2) 

Α = Α₀ e^-Λt  = A₀ e^{-b/2m t} = 0,4 e^-t/20         x  =  0,4 e^-t/20  ημ(5t + 3π/2)

  x = 0,1 m   =  0,4 ημ(5t + 3π/2)  =>   ημ(5t + 3π/2)  = 1/4       συν(5t + 3π/2) = (1 - 1/16)^½  = 15^½/4

  v = dx/dt  = - 0,05  0,4 e^-t/20  ημ(5t + 3π/2)  +  5  0,4 e^-t/20  συν(5t + 3π/2)  =

             =  0,4 e^-t/20 [ 5 συν(5t + 3π/2)  -  0,05 ημ(5t + 3π/2) ]