Μάθημα : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Ισχύει η ισοδυναμία: \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lambda\) , αν και μόνο αν, \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)= \lambda\) .

Έστω μια συνάρτηση \(f\) ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής \((\alpha , x_{0})\cup \left (x_{0},\beta \right )\) και \(λ\) ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lambda\Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \to x_{0}}(f(x)-\lambda)=0\)

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)<0\), τότε \(f(x)<0\) κοντά στο \(x_{0}\).

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων \(f, g\) για τις οποίες υπάρχουν τα όρια \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)\) και \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}g(x)\), και \(f(x)<g(x)\) για κάθε \(x \) κοντά στο \(x_{0}\) , ισχύει \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)<\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}g(x)\) .

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)<0\), τότε \(f(x)>0\) κοντά στο \(x_{0}\).

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)>0\), τότε \(f(x)<0\) κοντά στο \(x_{0}\).

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)>0\), τότε \(f(x)>0\) κοντά στο \(x_{0}\).

Αν υπάρχει το όριο της \(f\) στο \(x_{0}\), τότε \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\sqrt[k]{f(x)}=\sqrt[k]{\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)}\), εφόσον \(f(x) ≥ 0\) κοντά στο \(x_{0}\), µε \(\kappa \in \mathbb{N}\) και \(κ ≥ 2\)

Αν υπάρχει το \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}(f(x)+g(x))\), τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν και τα όρια : \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)\) και \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}g(x)\) .

Αν \(f(x)>1\) για κάθε \(x\in {R}\) και υπάρχει το \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)\) τότε κατ’ ανάγκη , είναι \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)>1\).

Ισχύει ότι\( \left | \eta \mu x\right |\leq \left | x\right |\), για κάθε \(x\in {R}\). Το «ίσον» ισχύει μόνο, όταν \(x=0\).

Ισχύει ότι: \( \left | \eta \mu x\right |< \left | x\right |\) , για κάθε \(x\in \mathbb{R^{\ast }}\) .

Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης \(f\) στο \(x_{0}\) και \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} \left |f(x) \right |=0\) τότε \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)=0\) .

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} \left |f(x) \right |=1\), τότε κατ’ ανάγκη θα είναι \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)=1\) ή \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)=-1\).

Αν \(0\leq f\left ( x \right )\leq 1\) κοντά στο \(0\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( x^{2}f\left ( x \right ) \right )=0\).

Ισχύει ότι: \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\eta \mu x}{x}=0\)

Ισχύει ότι: \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\frac{\eta \mu x}{x}=1\) .

Ισχύει ότι: \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1-\sigma \upsilon \nu x}{x}=0\).

Ισχύει ότι: \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1-\sigma \upsilon \nu x}{x}=1\) .

Ισχύει ότι : \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x}=0\) .

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{f\left ( x \right )}{x-1}=l\in \mathbb{R}\) τότε \(\displaystyle \lim_{x \to 1}f\left ( x \right )=0\) .

Ισχύει ότι \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\left (x\eta \mu \frac{1}{x} \right )=0\) .

Ισχύει ότι : \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x}=1\) .

Έστω μια συνάρτηση \(f\) που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής \(\left ( \alpha , x_{0} \right )\cup \left ( x_{0},\beta \right )\). Ισχύει η ισοδυναμία: \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right )=-\infty \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{-}}f\left ( x \right )=\displaystyle \lim_{ x\to x_{0}^{+}}f\left ( x \right )=-\infty\).

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων \(f:\mathbb{R\rightarrow \mathbb{R}}\) και \(g:\mathbb{R\rightarrow \mathbb{R}}\) ,αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)=0\) και \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}g(x) =+\infty\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\left [ f\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right ) \right ]=0\) .

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων \(f,g:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}\) ,αν \(\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=+\infty \) και \(\displaystyle \lim_{x \to 0}g(x) =-\infty\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\left [ f\left ( x \right )+ g\left ( x \right ) \right ]=0\) .

Ισχύει ότι : \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x^{2\nu +1}} \right )=+\infty \).

Αν \( \nu \in \mathbb{N^{\ast }} \), ισχύει ότι \(\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}\frac{1}{x^{2\nu }}=-\infty\) .

Ισχύει ότι: \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\left [ x\left ( \frac{1}{x^{2}+x} \right ) \right ]=\displaystyle \lim_{x \to 0}x\cdot \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}+x}=0\cdot \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}+x}=0\)

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right )=0\) και \( f\left ( x \right )>0\) κοντά στο \(x_{0}\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{1}{f\left ( x \right )}=+\infty\) .

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right )=0\) και \( f\left ( x \right )<0\) κοντά στο \(x_{0}\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{1}{f\left ( x \right )}=-\infty\) .

Έστω \(f\) πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το \(\Delta\) και \(x_{0}\in \Delta\) . Έστω επίσης \(f\left ( x \right )\neq 0\) για κάθε \(x_{0}\in \Delta\) . Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right )=+\infty\) τότε \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{1}{f\left ( x \right )}=+\infty\) .

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right )= +\infty \) ή \(-\infty\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{1}{f\left ( x \right )}=0\)

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right )=+\infty\) τότε , \( f\left ( x \right )<0\) κοντά στο \(x_{0}\) .

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right )=-\infty\) τότε \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}(-f\left ( x \right ))=+\infty\)

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right )=+\infty\) τότε , \( f\left ( x \right )>0\) κοντά στο \(x_{0}\) .

Αν \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right )=-\infty\) τότε , \( f\left ( x \right )>0\) κοντά στο \(x_{0}\) .

Αν \(f\left ( x \right )\leq \frac{1}{x^{2}}\) , \(x\in \left ( \alpha , +\infty \right )\) τότε θα είναι \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }f\left ( x \right )=0\) .

Ισχύει : \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\frac{\eta\mu x }{x}=1\)

Ισχύει \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\left ( x\cdot \eta \mu \frac{1}{x} \right )=1\)

Αν είναι \(0< \alpha < 1\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\alpha ^{x}=+\infty\) .

Αν είναι \(0< \alpha < 1\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\alpha ^{x}=0\) .

Αν είναι \(0< \alpha < 1\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\alpha ^{x}=0\)

Αν είναι \(0< \alpha < 1\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\alpha ^{x}=+\infty\) .

Αν είναι \(\alpha > 1\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\alpha ^{x}=0\) .

Αν είναι \(\alpha > 1\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\alpha ^{x}=+\infty\)

Αν είναι \(\alpha > 1\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\alpha ^{x}=+\infty\) .

Αν είναι \(\alpha > 1\) , τότε \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\alpha ^{x}=0\) .

Ισχύει \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty }e^{x}=-\infty\) .

Ισχύει: \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }lnx=+\infty\) .

Ισχύει: \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }lnx=-\infty\) .

Ισχύει: \(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+} }lnx=-\infty\) .

Ισχύει: \(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+} }lnx=+\infty\)

Ισχύει \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }logx=+\infty\) .