Μάθημα : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Αν οι συναρτήσεις \(f\), \(g\) είναι παραγωγίσιμες στο \(x_{0}\) και \(g\left ( x_{0} \right )\neq 0\), τότε η συνάρτηση \(\frac{f}{g}\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0}\) και ισχύει: \(\left ( \frac{f}{g} \right )'\left ( x_{0} \right )=\frac{f\left ( x_{0} \right )g'\left ( x_{0} \right )-f'\left ( x_{0} \right )g\left ( x_{0} \right )}{\left [ g\left ( x_{0} \right ) \right ]^{2}}{\color{Red} }\)

Αν μια συνάρτηση \(f\) δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο \(x_{0}\) του πεδίου ορισμού της, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0}\) .

Η συνάρτηση \(f\left ( x \right )=ln\left | x\right |\), \(x\in \mathbb{R^{\ast }}\) είναι παραγωγίσιμη στο \( \mathbb{R^{\ast }}\) και ισχύει \(\left ( ln\left | x\right | \right )'=\frac{1}{\left | x\right |} \) για κάθε \(x\in \mathbb{R^{\ast }}\)

Έστω \(\mathrm{P\left ( x \right )}\) , \(\mathrm{Q\left ( x \right )}\) πολυώνυμα διάφορα του μηδενικού. Οι ρητές συναρτήσεις \(\frac{\textrm{P}\left ( x \right )}{\textrm{Q}\left ( x \right )}\) , με βαθμό του αριθμητή \(\mathrm{P\left ( x \right )}\) μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, έχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

Αν μία συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \([α, β] \) και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα \((α, β)\) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(\xi \in \left ( \alpha ,\beta \right )\) τέτοιο, ώστε: \(f'\left ( \xi \right )=\frac{f(\alpha )-f(\beta )}{\alpha -\beta}\)

Για κάθε συνάρτηση \(f\) που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \(\mathbb{R}\) και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, ισχύει ότι \(f''\left ( x \right )> 0\) για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\).

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο \(x_{0}\) τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Έστω μια συνάρτηση \( f\) ορισμένη σε ένα διάστημα \(\Delta\) και \(x_{0}\) ένα εσωτερικό σημείο του \(\Delta\). Αν η \( f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0}\) και \({f}'\left ( x_{0} \right )=0\), τότε η \(f\) παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο \(x_{0}\) .

Αν η συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο \(R\) και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα \( [α, β] \) , στο οποίο η \(f \) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ROLLE .

Αν μία συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \([α, β]\) και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα \((α, β)\) και \(f\left ( \alpha \right )=f\left ( \beta \right )\) , τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(\xi \in \left ( \alpha ,\beta \right )\) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \(f \) στο σημείο \(M\left ( \xi ,f\left ( \xi \right ) \right )\) να είναι παράλληλη στον άξονα \( x'x \).

Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση \(f\) σε ένα διάστημα \(Δ\) , η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει \({f}'\left ( x \right )>0 \) για κάθε \(x\in \Delta\).

Έστω μία συνάρτηση \( f\) παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα \((α, β)\), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του \(x_{0}\), στο οποίο όμως η \(f\) είναι συνεχής. Αν \({f}'\left ( x \right )>0\), στο \((α, x_{0})\) και \({f}'\left ( x \right )<0\) στο \((x_{0}, β)\) , τότε το \(f(x_{0})\) είναι τοπικό ελάχιστο της \( f\) .

Για κάθε συνάρτηση \(f\) παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα \(∆\) και για κάθε πραγματικό αριθμό \(c\), ισχύει ότι: \(\left ( c\cdot f\left ( x \right ) \right )'=c\cdot f'\left ( x \right )\) , για κάθε \(x\in \Delta\).

Η συνάρτηση \( f\left ( x \right )=\sigma \phi x\) είναι παραγωγίσιμη στο \(\mathbb{R}-\left\{ x/\eta \mu x=0\right\}\) και ισχύει \({f}'\left ( x \right )=-\frac{1}{\eta \mu ^{2}x}\) .

Αν η συνάρτηση \(g\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0}\) και η \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0}\), τότε η συνάρτηση \(f\circ g\) είναι παραγωγίσιμη στο \( x_{0}\) και ισχύει \(\left ( f\circ g \right )'\left ( x_{0} \right )=f'\left ( g\left ( x_{0} \right ) \right )\cdot g '\left ( x_{0} \right )\).

Η συνάρτηση \(f\left ( x \right )=x^{\alpha }\), \(\alpha \in \mathbb{R-\mathbb{Z}}\), είναι παραγωγίσιμη στο \( \left ( 0, +\infty \right )\) και ισχύει ότι \(f'\left ( x \right )=\alpha \cdot x^{\alpha -1}\)

Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του \(2\) έχουν ασύμπτωτες.

Η συνάρτηση \(f\left ( x \right )=\varepsilon \varphi x\) είναι παραγωγίσιμη στο \(\mathbb{R}-\left\{ x/\sigma \upsilon \nu x=0\right\}\) και ισχύει \({f}'\left ( x \right )=-\frac{1}{\sigma \upsilon\nu ^{2}x}\)

Έστω μια συνάρτηση \(f\) συνεχής σε ένα διάστημα \(\Delta\) και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \(\Delta\) . Αν η \(f\) είναι κυρτή στο \(\Delta\) , τότε υποχρεωτικά \(f''\left ( x \right )> 0\) για κάθε εσωτερικό σημείο του \(\Delta\)

Αν μία συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \( [α, β] \) και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα \((α, β) \) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(\xi \in \left ( \alpha ,\beta \right )\) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \( f \) στο σημείο \(M\left ( \xi ,f\left ( \xi \right ) \right )\) να είναι παράλληλη στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \(A\left ( \alpha ,f\left ( \alpha \right ) \right )\) και \(B\left ( \beta ,f\left ( \beta \right ) \right )\)

Για κάθε συνάρτηση ισχύει ότι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα, είναι το ολικό μέγιστο αυτής .

Αν η \(f\) έχει δεύτερη παράγωγο στο \(x_{0}\) ,τότε η \(f'\) είναι συνεχής στο \(x_{0}\).

Έστω συνάρτηση \(f\) ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα \([α, β]\) και σημείο \(x_{0}\in [\alpha ,\beta ]\) στο οποίο η \(f\) παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι \({f}'\left ( x_{0} \right )=0\) .

Αν μια συνάρτηση \(f\) παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.

Έστω δύο συναρτήσεις \(f \), \(g\) ορισμένες σε ένα διάστημα \(Δ\) . Αν οι \( f\) , \(g\) είναι συνεχείς στο \(Δ\) και \(f'(x)=g'(x)\) για κάθε εσωτερικό σημείο \(x\) του \(Δ\) , τότε ισχύει: \(f(x)=g(x)\) για κάθε \(x\in \Delta\) .

Έστω μια συνάρτηση \(f\) , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα \(∆\) . Αν \(f'\left ( x \right )> 0\) σε κάθε εσωτερικό σημείο \( x \) του \(∆\), τότε η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(∆\) .

Έστω μια συνάρτηση \(f\) συνεχής σε ένα διάστημα \(\Delta\) και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \(\Delta\) . Αν \(f''\left ( x \right )> 0\) για κάθε εσωτερικό σημείο \(x\) του \(\Delta\) , τότε η \(f\) είναι κυρτή στο \(\Delta\) .

Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερη ή ίσου του \(2\) , της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη.

Αν μία συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \([α, β]\) , παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα \((α, β)\) και \(f\left ( \alpha \right )=f\left ( \beta \right )\) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(\xi \in \left ( \alpha ,\beta \right )\) τέτοιο, ώστε \(f'\left ( \xi \right )=0\) .

Για κάθε συνάρτηση \(f\) , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα \(∆\) και γνησίως αύξουσα στο \(∆\) , ισχύει ότι \(f'\left ( x \right )> 0\) σε κάθε εσωτερικό σημείο \( x \) του \(∆\) .

Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης \(f\) μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο αυτής.

Αν μια συνάρτηση \( f\) είναι συνεχής στο \([0, 1]\) , παραγωγίσιμη στο \((0, 1)\) και \(f'\left ( x \right )\neq 0\) για κάθε \(x \in \left ( 0 , 1 \right )\) τότε \(f\left ( 0 \right )\neq f\left ( 1 \right )\)

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι κοίλη σ’ ένα διάστημα \(\Delta\), τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \(f\) σε κάθε σημείο του \(\Delta\) βρίσκεται πάνω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

Έστω η συνάρτηση \(f\left ( x \right )=\sqrt{x}\) με πεδίο ορισμού \(\Delta =[0,+\infty)\) τότε \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) για κάθε \(x\in \left ( 0,+\infty \right )\)

Έστω μια συνάρτηση \(f\) παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα \((α, β)\) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του \(x_{0}\). Αν η \(f\) είναι κυρτή στο \(\left ( \alpha , x_{0} \right )\) και κοίλη στο \(\left (x_{0} , \beta \right )\) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο \(A\left ( x_{0}, f\left ( x_{0} \right ) \right )\) είναι οπωσδήποτε σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της \(f\).

Έστω \(f\) μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα \(∆\) και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο \(x\) του \(∆\). Αν η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(∆\) τότε \( {f}'\left ( x \right )>0\) σε κάθε εσωτερικό σημείο \(x\) του \(∆\).

Για κάθε \( x< 0\) , ισχύει \(\left ( ln\left | x\right | \right )'=-\frac{1}{x}\).

Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις \(f \) , \(g\) παραγωγίσιμες στο \(x_{0}\) ισχύει: \(\left ( f\cdot g \right )'\left ( x_{0} \right )=f'\left ( x_{0} \right )\cdot g\left ( x_{0} \right )-f\left ( x_{0} \right )\cdot g'\left ( x_{0} \right )\).

Μια συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0}\) αν και μόνο αν υπάρχουν στο \(\mathbb{R}\) τα όρια \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{-}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}\) , \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{+}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}\) και είναι ίσα.

Κάθε συνάρτηση \(f\) που είναι συνεχής σε ένα σημείο \(x_{0}\) του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Αν η συνάρτηση \(g\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0}\) και η \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(g\left ( x_{0} \right )\) , τότε η συνάρτηση \(f\circ g\) είναι παραγωγίσιμη στο \( x_{0}\) και ισχύει \(\left ( f\circ g \right )'\left ( x_{0} \right )=f'\left ( g\left ( x_{0} \right ) \right )\cdot g '\left ( x_{0} \right )\).

Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη.

Έστω μια συνάρτηση \(f\) , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα \(∆\) . Αν \(f'\left ( x \right )< 0\) σε κάθε εσωτερικό σημείο \( x \) του \(∆\), τότε η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(∆\) .

Αν μία συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα \([α, β]\) και \(f\left ( \alpha \right )=f\left ( \beta \right )\) , τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον \(\xi \in \left ( \alpha ,\beta \right )\) τέτοιο, ώστε: \(f'\left ( \xi \right )=0\)

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι κυρτή σε ένα διάστημα \(Δ\), τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \(f\) σε κάθε σημείο του \(Δ\) βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος \(\Delta\), στα οποία η \(f\) δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το \(0\), λέγονται κρίσιμα σημεία της \(f\) στο διάστημα \(\Delta\) .

Αν μια συνάρτηση \( f\) είναι συνεχής στο \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\) , παραγωγίσιμη στο \( \left ( \alpha ,\beta \right ) \) και \(f'\left ( x \right )\neq 0\) για κάθε \(x \in \left ( \alpha ,\beta \right )\) τότε \(f\left ( \alpha \right )\neq f\left ( \beta \right )\)

Η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \(f\) στο σημείο της \(A\left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )\) είναι \(y-f\left ( x_{0} \right )=f'\left ( x_{0} \right )\cdot \left ( x+x_{0} \right )\)

Αν μία συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \([α, β]\) και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα \((α, β)\) τότε υπάρχει πάντοτε ένα, τουλάχιστον \(\xi \in \left ( \alpha ,\beta \right )\) τέτοιο, ώστε \(f'\left ( \xi \right )=0\) .

Αν οι συναρτήσεις \(f\), \(g\) είναι παραγωγίσιμες στο \(x_{0}\), τότε η συνάρτηση \(f\cdot g \) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0}\), και ισχύει: \(\left ( f\cdot g \right )'\left ( x_{0} \right )=f'\left ( x_{0} \right )\cdot g'\left ( x_{0} \right )\) .

Για κάθε συνάρτηση \(f\) , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο \(A=\left ( -\infty , 0 \right )\cup \left ( 0, +\infty \right )\) με \(f'\left ( x \right )=0 \) για κάθε \(x\in A\), ισχύει ότι η \(f \) είναι σταθερή στο \(A\) .

Έστω συνάρτηση \(f\) συνεχής σε ένα διάστημα \(\Delta\) και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του \(\Delta\) . Αν η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\Delta\) , τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του \(\Delta\)

Ισχύει ο τύπος \(\left ( 3^{x} \right )'=x\cdot 3^{x-1}\), για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).

Για κάθε συνεχή συνάρτηση \(f:\left [ \alpha ,\beta \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο \((α, β)\) , αν \(f\left ( \alpha \right )=f\left ( \beta \right )\), τότε υπάρχει ακριβώς ένα \(\xi \in \left ( \alpha ,\beta \right )\) τέτοιο ώστε \(f'\left ( \xi \right )=0\).

Για κάθε \(x\in \mathbb{R}-\left\{ 0\right\}\) , ισχύει \(\left ( ln\left | x\right | \right )'=\frac{1}{x}\) .

Η συνάρτηση \(f\) με \({f}'\left ( x \right )=-2\eta \mu x+\frac{1}{\eta \mu ^{2}x}+3\) , όπου \(x\in [\frac{\pi }{2},\pi )\) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό.

Δίνεται ότι η συνάρτηση \(f\) παραγωγίζεται στο \(R\) και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα \(x'x\) . Αν υπάρχει κάποιο σημείο \(A(x_{0},f(x_{0}))\) της \(C_{f}\) , του οποίου η απόσταση από τον άξονα \(x'x\) είναι μέγιστη (ή ελάχιστη) , τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της \(C_{f}\) είναι οριζόντια.

Αν η \( f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0}\), τότε η \(f'\) είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Έστω συνάρτηση \(f\) συνεχής σε ένα διάστημα \(∆\) και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \(∆\). Αν η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(∆\), τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του \(Δ\).

Για κάθε συνάρτηση \(f:R\rightarrow R\) που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα ισχύει \({f}'\left ( x \right ) \neq 0\), για κάθε \(x\in R\) .

Αν \({f}'\left ( x \right )={g}'\left ( x \right )+3\) για κάθε \(x\in \Delta\), τότε η συνάρτηση \(h\left ( x \right )=f\left ( x \right )-g\left ( x \right )\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(Δ\).

1. Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι κυρτή σε ένα διάστημα \(\Delta\), τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \(f\) σε κάθε σημείο του \(\Delta\) βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση.

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{-}}f\left ( x \right )\) ή \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{+}}f\left ( x \right )\) είναι \(+\infty\) ή \(-\infty\) , τότε η ευθεία \(x=x_{0}\) είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της \(f\).

Kάθε συνάρτηση \(f\) , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο \(\left ( \alpha ,x_{0} \right )\cup \left ( x_{0},\beta \right )\)με \(f'\left ( x \right )=0 \) για κάθε \(\left ( \alpha ,x_{0} \right )\cup \left ( x_{0},\beta \right )\) ισχύει ότι η \(f \) είναι σταθερή στο \(\left ( \alpha ,x_{0} \right )\cup \left ( x_{0},\beta \right )\)

Έστω μια συνάρτηση \(f\) ορισμένη σε ένα διάστημα \(\Delta\) και \(x_{0}\) ένα εσωτερικό σημείο του \(\Delta\). Αν η \(f\) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο \(x_{0}\) και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε ισχύει \({f}'\left ( x_{0} \right )=0\).

Έστω δύο συναρτήσεις \(f \), \(g\) ορισμένες σε ένα διάστημα \(Δ\) . Αν οι \( f\) , \(g\) είναι συνεχείς στο \(Δ\) και \(f'(x)=g'(x)\) για κάθε εσωτερικό σημείο \(x\) του \(Δ\) , τότε υπάρχει σταθερά \(c\) τέτοια, ώστε για κάθε \(x\in \Delta\) ισχύει: \(f(x)=g(x) +c\)