Μάθημα : Μαθηματικά A' Γυμνασίου

Υλικό από τις παραγράφους 1.1 με 1.4 του Β' μέρους του βιβλίου. Είμαστε στη Γεωμετρία κι έτσι έχουμε αρκετές μικροεφαμογές για να δούμε τις έννοιες αυτές.

Έννοιες όπως σημείο. ευθεία, επίπεδο που πρέπει να τις νοιώσουμε κι όχι να τις ορίσουμε. Δεν ξεχνάμε ότι

• Η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος
• Aπό ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες.
• Aπό δύο σημεία διέρχεται μια μόνο ευθεία.

Αντίσοτιχα για το επίπεδο:

• Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα.
• Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένα μοναδικό επίπεδο, ενώ από ένα ή δύο σημεία διέρχονται άπειρα επίπεδα.
• Κάθε επίπεδο χωρίζει τον χώρο σε δύο μέρη, ώστε, αν θέλουμε να περάσουμε από το ένα μέρος του χώρου στο άλλο, πρέπει να διαπεράσουμε το επίπεδο.
• Η ονομασία του επιπέδου δίνεται με ένα κεφαλαίο γράμμα του αλφάβητου π.χ. Π, Ρ, Σ κ.λπ.
• Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα

Όμως μπορούμε να ορίσουμε την ημιευθεία και το ευθύγραμμο τμήμα:

Η ημιευθεία είναι ένα κομμάτι της ευθείας από ένα σημείο (που το λέμε αρχή) και μετά.  Εάν Ο είναι ένα σημείο της ευθείας x'x, τότε με αρχή το Ο ορίζονται δύο ημιευθείες οι Οx' και Οx, οι οποίες λέγονται αντικείμενες ημιευθείες.

Ευθύγραμμο τμήμα είναι ένα κομμάτι της ευθείας ανάμεσα σε δυο σημεία που τα λέμε άκρα του ευθυγράμμου τμήματος. Δυο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά όταν το ένα αρχίζει εκεί που τελειώνει το άλλο (δεν έχουν άλλα κοινά σημεία). Αν πάρουμε πολλά (από τρία και πάνω) διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα έτσι ώστε να μην ανήκουν στην ίδια ευθεία και το τέλος του τελευταίου να συμπίπτει με την αρχή του πρώτου τότε φτιάχνουμε ένα πολύγωνο και τα ευθύγραμμα τμήματα αυτά τα λέμε πλευρές ενώ τα άκρα τους κορυφές του πολυγώνου. Τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν δυο μη διαδοχικές κορυφές τα λέμε διαγωνίους του πολυγώνου. Τα πολύγωνα τα ονομάζουμε με τον αριθμό των κορυφών και την κατάληξη -γωνο εκτός απ' την περίπτωση που έχουμε 4 κορυφές οπότε μιλάμε για τετράπλευρο (αν π.χ. ένα πολύγωνο έχει ν πλευρές το λέμε νίγωνο).

Τεθλασμένη γραμμή είναι το σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία δεν βρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία. Μια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κυρτή, όταν η προέκταση κάθε πλευράς της αφήνει όλες τις άλλες πλευρές στο ίδιο ημιεπίπεδο. Διαφορετικά λέγεται μη κυρτή.

Δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται ίσα, αν συμπίπτουν, όταν τοποθετηθούν το ένα επάνω στο άλλο με κατάλληλο τρόπο. Στα ίσα σχήματα, τα στοιχεία που συμπίπτουν, δηλαδή οι κορυφές, οι πλευρές και οι γωνίες, ονομάζονται αντίστοιχα στοιχεία των σχημάτων αυτών.  Οι αντίστοιχες πλευρές και γωνίες των ίσων σχημάτων είναι ίσες.

Για να συγκρίνουμε μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα χρησιμοποιούμε μια κοινή μονάδα σύγκρισης. Έτσι, κάθε σύγκριση ενός μεγέθους με την αντίστοιχη μονάδα λέγεται μέτρηση. Για το μήκος έχουμε μονάδα μήκους το μέτρο (m). Εάν όμως το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος είναι πολύ μεγαλύτερο ή πολύ μικρότερο από το μήκος του μέτρου, επιλέγουμε, για τη μέτρηση ένα πολλαπλάσιο ή μια υποδιαίρεση του μέτρου για τον σκοπό αυτό.

Aπόσταση δύο σημείων Α και Β λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, που τα ενώνει. Με το σύμβολο ΑΒ εννοούμε ταυτόχρονα δύο διαφορετικά πράγματα: Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, αλλά και το μήκος αυτού του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζουμε το σημείο Μ του τμήματος, που απέχει εξίσου από τα άκρα του. Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει πάντα ένα μέσο Μ, που είναι και μοναδικό.

Μπορώ να προσθέσω ευθύγραμμα τμήματα αν τα κάνω διαδοχικά. Μπορώ να αφαιρέσω δυο ευθύγραμμα τμήματα αν τα βάλω να έχουν κοινή αρχή.
Μια τεθλασμένη γραμμή έχει μήκος το άθροισμα των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων, από τα οποία αποτελείται.
Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, είναι μικρότερο από το μήκος κάθε τεθλασμένης γραμμής  με τα ίδια άκρα Α και Β.
Το άθροισμα των πλευρών ενός ευθύγραμμου σχήματος, το λέμε περίμετρο του σχήματος.

Κάντε τις παρακάτω ασκήσεις και μετά την εργασία που πρέπει να υποβάλετε έγκαιρα!