Περιγραφή Μαθήματος
Το μάθημα είναι Αναλυτική Γεωμετρία, δηλαδή μελέτη της Γεωμετρίας με αλγεβρικές σχέσεις. Ένα μεγάλο κομμάτι του αφορά την αντιμετώπιση γεωμετρικών προβλημάτων στο επίπεδο το οποίο και έχει εμπλουτιστεί με μια δομή ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Αυτή ακριβώς η δομή επιτρέπει σε αναλυτικές διεργασίες να αντιμετωπίσουν ευκολότερα πολλές φορές τα σχετικά προβλήματα.
Ισότητα και Βασικές πράξεις
Πρόσθεση
\[ \overrightarrow{AO} +\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}\]
ισοδύναμα (παρατηρητής στο O: πέρας μείον αρχή):
\[ \overrightarrow{ΟΒ} - \overrightarrow{OΑ} = \overrightarrow{AB}\]
Μέτρα
\[ |\overrightarrow{AO}| +|\overrightarrow{OB}| \geq |\overrightarrow{AB}|\]
Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα
\[λ\overrightarrow{α} \text{ είναι ένα καινούργιο διάνυσμα με μέτρο } |λ||\overrightarrow{α}| \text{ και φορά ανάλογα με το πρόσημο του } λ\]
Θεώρημα 1
\[ \text { Δύο διανύσματα είναι παράλληλα αν και μόνο αν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου }\]
\[ \overrightarrow{α} // \overrightarrow{β} \Leftrightarrow \overrightarrow{α}=λ\overrightarrow{β}\]
Θεώρημα 2
\[ \text { Σε τρίγωνο } ΑΒΓ \text { με διάμεσο } ΑΜ \text { ισχύει }\]
\[ \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AΓ}) = \overrightarrow{AM}\]
Συντεταγμένες:
Θεωρούμε δύο βασικά ορθοκανονικά μοναδιαία διανύσματα
\[\overrightarrow{i} \text { και } \overrightarrow{j}\]
Τότε θα αποδειχθεί το Θεώρημα
\[ \text{ Κάθε διάνυσμα } \overrightarrow{α} \text { του επιπέδου, γράφεται στη μορφή } \overrightarrow{α} = λ\overrightarrow{i}+μ\overrightarrow{j}, \text { όπου } λ,μ \in \mathbb{R} \]
Ισοδύναμα
\[\overrightarrow{α} = (λ,μ) \]
Πράξεις:
\[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)= (x_1+x_2,y_1+y_2) \]
\[λ(x,y)=(λx,λy) , λ\in \mathbb{R}\]
Παράλληλα Διανύσματα
Έστω το όχι κατακόρυφο διάνυσμα
\[ \overrightarrow{α}΄=(x,y)\]
Η κλίση του είναι ο αριθμός \[ λ=\frac{y}{x}, x \neq 0\]
Θεώρημα
Δύο διανύσματα είναι παράλληλα αν και μόνο αν έχουν την ίδια κλίση
Ισοδύναμα έχουμε γενικότερα μία συνθήκη που δεν ανακατεύει την κλίση:
\[ \text{ Αν } \overrightarrow{α}=(x_1,y_1), \overrightarrow{β}=(x_2,y_2), \text{ τότε }\]
\[ \overrightarrow{α} // \overrightarrow{β} \Leftrightarrow \begin{align} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} \end{align}=0 \]
Πολλαπλασιασμός Διανυσμάτων - Εσωτερικό γινόμενο
Ορίζεται ο ακόλουθος πολλαπλασιασμός διανυσμάτων με αποτέλεσμα αριθμό.
\[ \overrightarrow{α} \cdot \overrightarrow{β} = |\overrightarrow{α}||\overrightarrow{β}|συν φ , \text{ όπου } φ \text{ η γωνία των δύο διανυσμάτων } \]
Ισοδύναμα ισχύει το Θεώρημα
\[ \text{ Αν }\overrightarrow{α}=(x_1,y_1),\overrightarrow{β}=(x_2,y_2) \text { τότε } \]
\[ \overrightarrow{α} \cdot \overrightarrow{β}=(x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} \]
Παρατήρηση. Ποιά είναι η "ουσία" του εσωτερικού γινομένου;
\[ \text { Αν } \overrightarrow{α} \text{ είναι μοναδιαίο τότε } \overrightarrow{α} \cdot \overrightarrow{β} \text{ είναι το ΄΄μήκος΄΄ της προβολής του } \overrightarrow{β} \text{ πάνω στο } \overrightarrow{α} \]
Θεώρημα
\[ \overrightarrow{α} \perp \overrightarrow{β} \Leftrightarrow \overrightarrow{α} \cdot \overrightarrow{β} =0\]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Ευθεία με κλίση έχει τύπο
\[y=αx+β, \text{ όπου } α=εφφ \text{ η κλίση }, φ \text{ η γωνία με τον άξονα } x'x \]
Ευθεία χωρίς κλίση, κατακόρυφη
\[ x=x_0 \]
Πρόταση
\[ \text{ Αν μια ευθεία διέρχεται από δύο σημεία } Α(x_A,y_A), B(x_B,y_B) \text{ τότε έχει τύπο } \]
\[y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} (x-x_A) \]
Πρόταση
\[ \text{ Αν μια ευθεία διέρχεται από σημείο } Α(x_A,y_A) \text{ και έχει κλίση } λ, \text{ τότε έχει τύπο } \]
\[y-y_A=λ (x-x_A) \]
Θεώρημα
Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν έχουν ίδια κλίση ή είναι κατακόρυφες
Γενική μορφή ευθείας (με κλίση ή χωρίς)
\[ Ax+By+Γ=0, \text{ όπου } Α\neq 0 \text{ ή } B\neq 0 \]
Κλίση (αν έχει)
\[ λ = \frac{-A}{B} \]
Παράλληλο διάνυσμα
\[\overrightarrow{α}=(Β,-Α)\]
Πρόταση
\[ \text{ Η απόσταση σημείου } Μ(x_0,y_0) \text{ από ευθεία ε: } Αx+By+Γ=0 \text{ δίνεται από τον τύπο }\]
\[ d(ε,Μ)=\frac{Ax_0+By_0+Γ}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
Πρόταση
\[ \text{ To εμβαδό τριγώνου } ΑΒΓ \text{ δίνεται από τον τύπο }\]
\[ Ε = \frac{1}{2}det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AΓ})\]
Στην πραγματικότητα η προηγούμενη σχέση δηλώνει την γεωμετρική ουσία της ορίζουσας. Είναι εμβαδό.
Η Εξίσωση κύκλου
\[ \text{ κέντρου }(0,0) \text{ και ακτίνας } ρ \text{ είναι }\]
\[x^2+y^2=ρ^2\]
Η Εξίσωση κύκλου
\[ \text{ κέντρου }(α,β) \text{ και ακτίνας } ρ \text{ είναι }\]
\[(x-α)^2+(y-β)^2=ρ^2\]
Θεώρημα
\[ \text{ Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου } x^2+y^2=ρ^2 \text { με σημείο επαφής } (x_0,y_0) \text{ είναι }\]
\[xx_0+yy_0=ρ^2\]
Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν εξίσου από μια ευθεία που την ονομάζουμε διευθετούσα και ένα σημείο που το ονoμάζουμε εστία.
Συγεκριμένα,
\[ \text{ (A) Έστω η ευθεία } x=-p/2 \text { και η εστία } Ε(p/2,0), \text{ όπου } p\in \mathbb{R^*}\]
\[ \text { Τότε ο τύπος της παραβολής είναι } y^2=2px \]
\[ \text{ Παρατηρείστε στον προηγούμενο τύπο ότι ο συντελεστής του } x \text{ είναι 4πλάσιος της τετμημένης } p/2 \text{ της εστίας. } \]
\[ \text{ (B) Έστω η ευθεία } y=-p/2 \text { και η εστία } Ε(0,p/2), \text{ όπου } p\in \mathbb{R^*}\]
\[ \text { Τότε ο τύπος της παραβολής είναι } x^2=2py \]
\[ \text{ Παρατηρείστε στον προηγούμενο τύπο ότι ο συντελεστής του } y \text{ είναι 4πλάσιος της τεταγμένης } p/2 \text{ της εστίας. } \]
Πρόταση:
\[ \text{ H εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής } y^2 =2px \text{ με σημείο επαφής } (x_0,y_0) \text{ είναι η }\]
\[ yy_0=p(x+x_0)\]
Ημερολόγιο
Ανακοινώσεις
Όλες...- - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -