Παρουσίαση/Προβολή

Εβδ.

Τίτλος

Περιγραφή

1^η– 2^η

Ιδιότητες Φυσικών Αριθμών

·       Αρχή Ελαχίστου

·       Αρχή της Επαγωγής

·       Μέθοδος της Επαγωγής, παραδείγματα

·       Θέματα προς μελέτη: ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης Φυσικών Αριθμών, Τρίγωνο Pascal και Διωνυμικό Ανάπτυγμα.

3^η

Το αξίωμα της Πληρότητας των Πραγματικών Αριθμών

·       Φραγμένα υποσύνολα, supremum, infimum.

·       Αξίωμα Πληρότητας και ύπαρξη της τετραγωνικής ρίζας του 2.

·       Αρχιμήδεια ιδιότητα, ακέραιο μέρος.

·       Θέματα προς μελέτη: Η πυκνότητα των ρητών και των άρρητων αριθμών στο IR.

4^η

Ειδικά Θέματα

·       Ανισότητες: Bernoulli, Cauchy – Schwarz, A-G mean.

·       Ιδιότητες των sup, inf.

5^η– 6^η

Η έννοια της ακολουθίας.

·       Ορισμός, παραδείγματα, εφαρμογές.

·       Αναδρομικός τύπος ακολουθίας, παραδείγματα: αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος, Fibonacci.

·       Γνησίως μονότονες ακολουθίες.

·       Φραγμένες ακολουθίες.
Θέματα προς μελέτη: Ακολουθίες που ορίζονται αναδρομικά και είναι μονότονες και φραγμένες, ανατοκισμός και χρεολυσία.

7^η- 8^η

Όριο ακολουθίας

·       Ορισμός πεπερασμένου ορίου ακολουθίας και μοναδικότητα

·       Ακολουθίες που δε συγκλίνουν σε κάποιον αριθμό.

·       Κριτήριο παρεμβολής

·       Πράξεις με όρια ακολουθιών

·       Βασικά όρια ακολουθιών

·       Θέμα προς μελέτη: Αποδείξεις και υπολογισμοί με όρια ακολουθιών.

9^η-10^η 

Ακολουθίες που συγκλίνουν στο άπειρο, κριτήρια σύγκλισης ακολουθιών.

·       Ορισμός ακολουθίας που συγκλίνει στο άπειρο.

·       Κριτήριο λόγου

·       Κριτήριο ρίζας

·       Μονότονες και φραγμένες ακολουθίες

·       Θέματα προς μελέτη: ο αριθμός e, κιβωτισμένα διαστήματα.

11^η-12^η

Υπακολουθίες και το Θεώρημα Bolzano – Weierstrass, βασικές ακολουθίες.

·       Ορισμός υπακολουθίας

·       Σημεία συσσώρευσης ακολουθίας και σύγκλιση υπακολουθίας

·       Ύπαρξη μονότονης υπακολουθίας μιας ακολουθίας

·       Απόδειξη του Θεωρήματος B-W.

·       Ορισμός βασικής ακολουθίας

·       Σύγκλιση βασικών ακολουθιών.

·       Θέματα προς μελέτη: απόδειξη του B-W με κιβωτισμό, limsup και liminf ακολουθίας.

13^η-14^η

Σειρές

·       Ορισμός της σειράς, συγκλίνουσες και αποκλίνουσες σειρές.

·       Πράξεις με σειρές

·       Σύγκλιση Γεωμετρικής σειράς, τηλεσκοπικά αθροίσματα, αρμονική σειρά.

·       Κριτήρια σύγκλισης: απόλυτη σύγκλιση, κριτήριο σύγκρισης, οριακό κριτήριο λόγου.

·       Θέματα προς μελέτη: Το e ως όριο σειράς και απόδειξη ότι είναι άρρητος, κριτήρια λόγου και ρίζας για σύγκλιση σειρών.

15^η – 16^η

Συνεχείς συναρτήσεις και το Θεώρημα Bolzano.

·       Ορισμός συνεχούς συνάρτησης

·       Αρχή της μεταφοράς

·       Παραδείγματα συνεχών συναρτήσεων

·       Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις

·       Θεώρημα Bolzano

·       Συναρτήσεις συστολής

·       Θεώρημα Σταθερού σημείου του Banach

·       Θέματα προς μελέτη: Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, Θεώρημα Μέγιστης κι Ελάχιστης Τιμής, συνεχής επέκταση συνάρτησης, Ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις

17^η

Το Θεώρημα της τηγανίτας

·       Πραγματικές Συναρτήσεις δυο μεταβλητών

·       Συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις δυο μεταβλητών

·       Θεώρημα Borsuk – Ulam

·       1^ο Θεώρημα της Τηγανίτας

·       Θέματα προς μελέτη: 2^ο Θεώρημα της Τηγανίτας

18^η

Όριο συνάρτησης

·       Ορισμός, ιδιότητες, πράξεις με όρια.

19^η – 20^η

Παράγωγος συνάρτηση

·       Ορισμός παραγώγου, γεωμετρική ερμηνεία.

·       Παράγωγος και συνέχεια

·       Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

·       Πράξεις με παραγώγους

·       Θεώρημα Μέσης Τιμής Lagrange, Θεώρημα Taylor.

·       Θέματα προς μελέτη: Συναρτήσεις με φραγμένη παράγωγο που είναι συστολές,  προσέγγιση συναρτήσεων από πολυώνυμα Taylor.

21^η

Επαναληπτικές μέθοδοι  επίλυσης εξισώσεων μιας μεταβλητής.

·       Μέθοδος της διχοτόμησης

·       Μέθοδος σταθερού σημείου

·       Μέθοδος Newton – Raphson

·       Θέματα προς μελέτη: ταχύτητα σύγκλισης των παραπάνω επαναληπτικών μεθόδων, υπολογισμός τετραγωνικής ρίζας.