Μάθημα : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Κωδικός : 0501670373

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

0501670373  -  ΠΑΥΛΟΣ ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ερώτηση 1 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν Α και Β είναι τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων \( f \) και \( g\) αντίστοιχα τότε η συνάρτηση \(\frac{f}{g}\) έχει πεδίο ορισμού το \(Α\cap Β\).

Ερώτηση 2 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν Α και Β είναι τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων \( f \) και \( g \) αντίστοιχα τότε η συνάρτηση \( f+g \) έχει πεδίο ορισμού το \(Α\cap Β\).

Ερώτηση 3 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων \( f \) , \( g \) για τις οποίες ορίζονται οι συναρτήσεις \(f\circ g\) και \(g\circ f\) τότε θα είναι υποχρεωτικά \(f\circ g=g\circ f\).

Ερώτηση 4 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( -f \) είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα \( y'y \), της γραφικής παράστασης της \( f \).

Ερώτηση 5 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( f\left ( x \right )=\sqrt{\left | x\right |}\) , έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα \({y}'y\) .

Ερώτηση 6 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(-f\) είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα \({x}'x\) , της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\).

Ερώτηση 7 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(\left | f\left ( x \right )\right |\) αποτελείται από τα τμήματα της \(C_{f}\) που βρίσκονται πάνω από τον άξονα \( x'x \) και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα \( x'x \), των τμημάτων της \(C_{f}\) που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν.

Ερώτηση 8 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \( f \).

Ερώτηση 9 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης \( f \) είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης της \( f \).

Ερώτηση 10 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης \( f \) είναι το σύνολο \( f(A) \) των τεταγμένων των σημείων της γραφικής παράστασης της \( f \).

Ερώτηση 11 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν \( f\) και \(g\) είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι συναρτήσεις \(f\circ g\) και \(g\circ f\) τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.

Ερώτηση 12 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν \( f\) και \(g\) είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι συναρτήσεις \(f\circ g\) και \(g\circ f\) τότε είναι υποχρεωτικά \(f\circ g\neq g\circ f\) .

Ερώτηση 13 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν \(f\), \(g\) , \(h\) είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η \(h\circ \left ( g\circ f \right )\) τότε ορίζεται και η \(\left ( h\circ g \right )\circ f\) και ισχύει \(h\circ \left ( g\circ f \right )=\left ( h\circ g \right )\circ f\) .

Ερώτηση 14 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν \(f\) , \(g\) είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα, τότε η σύνθεση της \(f\) με τη \(g\), δηλαδή η συνάρτηση \(g\circ f\), ορίζεται αν \(f\left ( A \right )\cap B\neq \varnothing \) .

Ερώτηση 15 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν \(f\) , \(g\) είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα, τότε η σύνθεση της \(g\) με τη \(f\), δηλαδή η συνάρτηση \(f\circ g\), ορίζεται αν \(g\left ( B \right )\cap A\neq\varnothing \) .

Ερώτηση 16 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν \(f\left ( x \right )=lnx\) και \(g\left ( x \right )=e^{-x}\) τότε \(\left ( f\circ g \right )\left ( x \right )=-x\) , για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) .

Ερώτηση 17 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν \(f\left ( x \right )=lnx\) και \(g\left ( x \right )=e^{-x}\) τότε \(\left ( g\circ f \right )\left ( x \right )=\frac{1}{x}\), για κάθε \(x\in \mathbb{R^{\ast }}\)

Ερώτηση 18 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) έχουν πεδίο ορισμού το \(\left [ 0, 1\right ]\) και σύνολο τιμών το \(\left [ 2, 3 \right ]\), τότε ορίζεται η συνάρτηση \(f\circ g\) με πεδίο ορισμού το \(\left [ 0, 1 \right ]\) και σύνολο τιμών το \(\left [ 2, 3 \right ]\).

Ερώτηση 19 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν η συνάρτηση \(f\) έχει πεδίο ορισμού το \(\left [ 1, 5\right ]\) και σύνολο τιμών το \(\left [ 3, 7 \right ]\), ενώ η συνάρτηση \(g\) έχει πεδίο ορισμού το \(\left [ 0, 10 \right ]\) και σύνολο τιμών το \(\left [ 3, 7 \right ]\) τότε ορίζεται η συνάρτηση \(g\circ f\) με πεδίο ορισμού το \(\left [ 1, 5 \right ]\).

Ερώτηση 20 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν \(x_{1},x_{2}\in \Delta\) με \(x_{1}< x_{2}\) ώστε, \(f\left ( x_{1} \right )<f\left ( x_{2} \right )\).

Ερώτηση 21 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν μια συνάρτηση \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) είναι γνησίως μονότονη και υπάρχουν \(x_{1},x_{2}\inΑ\) με \(x_{1}< x_{2}\) ώστε \(f\left ( x_{1} \right )<f\left ( x_{2} \right )\) τότε η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.

Ερώτηση 22 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \(Α\) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \(Β\) τότε, είναι οπωσδήποτε γνησίως αύξουσα και στο σύνολο \(Α\cup Β\).

Ερώτηση 23 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Η συνάρτηση \( f\left ( x \right )=\eta \mu x\) , με \( x\in \mathbb{R}\) , έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου.

Ερώτηση 24 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Μία συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού \(Α\) θα λέμε ότι παρουσιάζει στο \(x_{0}\in A\) (ολικό) ελάχιστο, το \(f\left ( x_{0} \right )\) όταν \( f\left ( x \right )\leq f\left ( x_{0} \right )\) για κάθε \( x\in Α\) .

Ερώτηση 25 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Μία συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού \(Α\) θα λέμε ότι παρουσιάζει στο \(x_{0}\in A\) (ολικό) μέγιστο, το \(f\left ( x_{0} \right )\) όταν \( f\left ( x \right )\leq f\left ( x_{0} \right )\) για κάθε \( x\in Α\) .

Ερώτηση 26 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Μια συνάρτηση \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) λέγεται συνάρτηση \(1-1\) όταν για οποιαδήποτε \(x_{1},x_{2}\in \textrm{A}\) ισχύει η συνεπαγωγή: αν \(x_{1}\neq x_{2}\) τότε \(f\left ( x_{1} \right )\neq f\left ( x_{2} \right )\).

Ερώτηση 27 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Μια συνάρτηση \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) λέγεται συνάρτηση \(1-1\) όταν για οποιαδήποτε \(x_{1},x_{2}\in \textrm{A}\) ισχύει η συνεπαγωγή: αν \(f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )\) τότε \(x_{1}=x_{2}\).

Ερώτηση 28 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Μια συνάρτηση \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) είναι συνάρτηση \(1-1\) , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε \(x_{1},x_{2}\in \textrm{A}\) ισχύει η συνεπαγωγή: αν \(x_{1}= x_{2}\) τότε \(f\left ( x_{1} \right )= f\left ( x_{2} \right )\).

Ερώτηση 29 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Κάθε συνάρτηση, που είναι \(1-1\) στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη.

Ερώτηση 30 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν μια συνάρτηση \(f:\textrm{A} \rightarrow \mathbb{R}\) είναι \(1-1\) , τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της \(f\) το πολύ σε ένα σημείο.

Ερώτηση 31 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Μια συνάρτηση \(f:\textrm{A} \rightarrow \mathbb{R}\) είναι \(1-1\) , αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο \(y\) του συνόλου τιμών της, η εξίσωση \(f\left ( x \right )=y\) έχει ακριβώς μια λύση ως προς \(x\).

Ερώτηση 32 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα \(Δ\) , τότε είναι και \(1-1\) στο διάστημα αυτό.

Ερώτηση 33 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Η συνάρτηση \(f\) είναι \(1-1\) , αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της \(f\) τουλάχιστον σε ένα σημείο.

Ερώτηση 34 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι \(1−1\) στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της \(f\) με την ίδια τεταγμένη.

Ερώτηση 35 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι \(1–1\) , αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες.

Ερώτηση 36 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Οι γραφικές παραστάσεις \(C\) και \(C΄\) των συναρτήσεων \(f\) και \(f^{-1}\) είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία \(y = x\) που διχοτομεί τις γωνίες \(\hat{xOy} \) και \(\hat{x'Oy'}\).

Ερώτηση 37 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν η \(f\) έχει αντίστροφη συνάρτηση την \(f^{-1}\) και η γραφική παράσταση της \(f\) έχει κοινό σημείο \(Α\) με την ευθεία \(y = x\) , τότε το σημείο \(Α\) ανήκει και στη γραφική παράσταση της \(f^{-1}\).

Ερώτηση 38 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν μια συνάρτηση \(f:\textrm{A}\rightarrow \mathbb{R}\) είναι \(1-1\) , τότε για την αντίστροφη συνάρτηση \( f^{-1}\) ισχύει: \(f^{-1}\left ( f\left ( x \right ) \right )=x\) , \(x\in A\) και \( f\left ( f^{-1}\left ( y \right ) \right )=y\) , \(y\in f\left ( \textrm{A} \right ) \).

Ερώτηση 39 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Αν ένα σημείο \(\textrm{M}\left ( α,β \right )\) ανήκει στη γραφική παράσταση \(C\) μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης \(f\), τότε το σημείο \(\textrm{N}\left (\beta ,\alpha \right)\) ανήκει στη γραφική παράσταση \(C^{'}\) της \(f^{-1}\).

Ερώτηση 40 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού το \(\textrm{A}\) ισχύει ότι \(f\left ( f^{-1}\left ( x \right ) \right )=x\) για κάθε \(x\in\textrm{A}\) .

Ερώτηση 41 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός) 

Έστω \(f:\mathbb{R\rightarrow \mathbb{R}}\) μια συνάρτηση η οποία είναι \(1-1\) . Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης, \(f^{-1}\) , της \(f\) είναι το σύνολο τιμών της \(f\).