Μάθημα : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα \([α, β]\) και \(f\left ( x \right )\geq 0\) για κάθε \(x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\) τότε το ολοκλήρωμα \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx\) δίνει το εμβαδόν του χωρίου \(Ω\) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \(f\) , τον άξονα \(x'x\) και τις ευθείες \(x = α\) και \(x = β\) .

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα \([α, β]\) και \(f\left ( x \right )<0\) για κάθε \(x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\) τότε το εμβαδόν του χωρίου \(Ω\) που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της \(f\) , τις ευθείες \(x = α\) , \(x = β\) και τον άξονα \(x'x\) είναι \(E(Ω)=-\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx\)

Το ολοκλήρωμα \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx\) είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που περικλείονται από τη γραφική παράσταση της \(f\) , τον άξονα \(x'x\) και τις ευθείες \(x = α\) , \(x = β\) και βρίσκονται πάνω από τον άξονα \(x'x\) μείον το άθροισμα των εμβαδών των αντίστοιχων χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα \(x'x\).

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα \([α, β]\) και ισχύει \(f\left ( x \right )\geq 0\) για κάθε \(x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\), τότε \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx\geq 0\) .

Αν \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx\geq0\) , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι \(f\left ( x \right )\geq0\) για κάθε \(x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\).

Για κάθε συνάρτηση \(f\) , συνεχή στο \([α, β]\) , ισχύει: αν \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx>0\) τότε \(f\left ( x \right )> 0\) στο \([α, β]\).

Για κάθε συνεχή συνάρτηση \(f:\left [ \alpha , \beta \right ]\rightarrow \mathbb{R} \) για την οποία είναι \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx=0\) Ισχύει ότι \(f\left ( x \right )=0\) για κάθε \(x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\) .

Αν η \(f\) είναι μια συνεχής συνάρτηση στο \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) , η οποία δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό και \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx=0\) τότε η \(f\) παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσημες τιμές στο \(\left [ \alpha , \beta \right ]\)

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) και \(\lambda \in \mathbb{R}\) , τότε ισχύει: \(\int_{\alpha }^{\beta }λf\left ( x \right )dx = λ\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right)dx\) .

Αν \(α = β\) τότε \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx=0\) .

Ισχύει ότι : \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx=-\int_{\beta }^{\alpha }f\left ( x \right )dx\) .

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα \(Δ\) και \(α, β, γ \in \Delta\) τότε ισχύει \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx=\int_{\alpha }^{\gamma }f\left ( x \right )dx+\int_{\gamma }^{\beta }f\left ( x \right )dx\).

Έστω \(f\) μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα \(\left [ \alpha , \beta \right ]\). Αν ισχύει ότι \(f\left ( x \right )\geq0\) για κάθε \(x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\) και η συνάρτηση \(f\) δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx>0\) .

Αν \(f\) συνάρτηση συνεχής στο διάστημα \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) και για κάθε \(x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\) ισχύει \(f\left ( x \right )\geq0\) , τότε \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx>0\) .

Αν \(f\) είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα \(Δ\) και \(α\) είναι ένα σημείο του \(Δ\) , τότε \(\left ( \int_{\alpha }^{x}f\left ( t \right )dt \right )'=f\left ( x \right )\) για κάθε \(x\in \Delta\) .

Αν \(f\) είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα \(Δ\) και \(α\) είναι ένα σημείο του \(Δ\) , τότε ισχύει \(\left ( \int_{\alpha }^{x}f\left ( t \right )dt \right )'=f\left ( x \right )-f\left ( \alpha \right ) \) για κάθε \(x\in \Delta\) .

Έστω \(f\) μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) . Αν \(G\) είναι μια παράγουσα της \(f\) στο \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) , τότε \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx=G\left ( \beta \right )-G\left ( \alpha \right )\) .

Έστω \(f\) μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) . Αν \(G\) είναι μια παράγουσα της \(f\) στο \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) , τότε \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx=G\left ( \alpha\right )-G\left ( \beta \right )\) .

Έστω \(f\) είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) . Αν \(G\) είναι μια παράγουσα της \(f\) στο \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) , τότε \(\int_{\beta }^{\alpha }f\left ( x \right )dx=G\left ( \alpha\right )-G\left ( \beta \right )\) .

Για κάθε συνάρτηση \(f\), παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \(\Delta\), ισχύει \(\int_{\alpha }^{\beta }f'\left ( x \right )dx=f\left ( \beta \right )-f\left ( \alpha \right )\) .

Αν \(f, g\) είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει: \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )\cdot g'\left ( x \right )dx=\left [ f\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right ) \right ]_{\alpha }^{\beta }-\int_{\alpha }^{\beta } f'\left (x \right )\cdot g\left ( x \right )dx\).

Αν \(f, g, g' \) είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα \(\left [ \alpha , \beta \right ]\) , τότε \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )\cdot g'\left ( x \right )dx= \int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx\cdot \int_{\alpha }^{\beta } g'\left ( x \right )dx\)

Αν \(f, g\) είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει: \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )\cdot g'\left ( x \right )dx=\left [ f\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right ) \right ]_{\alpha }^{\beta }+\int_{\alpha }^{\beta } f'\left (x \right )\cdot g\left ( x \right )dx\).

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(\mathbb{R}\) , τότε \(\int_{\alpha }^{\beta }f\left ( x \right )dx=\left [ x\cdot f\left ( x \right ) \right ]_{\alpha }^{\beta }-\int_{\alpha }^{\beta }x\cdot f'\left ( x \right )dx\) .