Μάθημα : Ανοιχτό Μάθημα

Ανοιχτό Μάθημα

0552069257 - ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΑΥΛΟΠΟΥΛΟΣ

Ερωτήσεις στο Θεώρημα Μέσης τιμής Διαφορικού Λογισμού

Περιγραφή

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής ανακοινώθηκε για πρώτη φορά απο τον Γάλλο Μαθηματικό Joseph Louis Lagrange (1736-1813) και ήρθε να επηρεάσει όλη την Θεωρητική δομή του Απειροστικού Λογισμού.

Ερώτηση 1 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Έστω συνάρτηση \(f\) συνεχής στο \(\Bbb R\). Αν δεν υπάρχει εφαπτομένη παράλληλη στην \(ΑΒ\) όπου \(A\big( \alpha,f(\alpha)\big )\) και \(B\big( \beta,f(\beta)\big )\) με \(\alpha<\beta\) τότε η \(f\) δεν είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο \(\xi \in \Bbb R\).

Ερώτηση 2 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Έστω συνάρτηση \(f\) παραγωγίσιμη στο \(\Bbb R\). Αν \(f(\alpha)<f(\beta)\) για κάποια \(\alpha,\beta \in \Bbb R\), με \(\alpha<\beta\), τότε μπορεί να υπάρχει εφαπτομένη της \(C_f\) που σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα \(x'x\).

Ερώτηση 3 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής εφαρμόζεται για την \(f\) στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) μόνο όταν η \(f^\prime (x)\) είναι γνησίως μονότονη στο \([\alpha ,\beta ]\).

Ερώτηση 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν η \(f^\prime \) είναι γνησίως φθίνουσα στο \([\alpha ,\beta ]\) τότε \(f^\prime (\beta)<\dfrac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}<f^\prime (\alpha) \).

Ερώτηση 5 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν για κάποιο \(\xi \in (\alpha ,\beta )\) είναι \(f^\prime (\xi)>0\) τότε \(\dfrac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}>0 \).

Ερώτηση 6 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Το Θ.Μ.Τ. είναι μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Rolle.

Ερώτηση 7 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο \([\alpha ,\beta ]\) και παραγωγίσιμη στο \((\alpha ,\beta )\) με \(f(\alpha)\ne f(\beta)\) τότε \(f^\prime (\xi)\ne 0 \) για κάθε \(\xi \in (\alpha ,\beta )\).

Ερώτηση 8 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν \(f(\alpha)=f(\gamma)=0\) και \(f(\beta)>0\) για κάποιους πραγματικούς \(\alpha<\beta<\gamma\) και \(f\) παραγωγίσιμη στο \(\Bbb R\) τότε υπάρχουν \(\xi_1,\xi_2 \in (\alpha ,\gamma )\) ώστε τα \(f^\prime (\xi_1),\, f^\prime (\xi_2)\) να είναι ετερόσημα.

Ερώτηση 9 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν για μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού το διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) δεν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, τότε δεν υπάρχει σημείο \(\xi \in (\alpha ,\beta )\) τέτοιο ώστε \(f^\prime (\xi)=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\).

Ερώτηση 10 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Για τη συνάρτηση \(f(x)=|x|\) εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού στο διάστημα \([-3 ,2 ]\)

Ερώτηση 11 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν για μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού το διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) είναι παραγωγίσιμη στο \([\alpha ,\beta ]\), τότε υπάρχει εφαπτομένη της \(C_f\) παράλληλη στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \(A\big( \alpha,f(\alpha)\big) \) και \(B\big(\beta,f(\beta)\big)\).

Ερώτηση 12 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί) 

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \(f\) για \(x\in [\alpha ,\beta ]\).Για την συνάρτηση \(f\) στο \([\alpha ,\beta ]\) δεν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. διότι:

Ερώτηση 13 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί) 

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \((\alpha ,\beta )\),συνεχής στο \([\alpha ,\beta ]\) και η \(f^\prime\) είναι γνησίως μονότονη στο \((\alpha ,\beta )\) τότε εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την \(f\) στο \([\alpha ,\beta ]\) θα έχουμε:

Ερώτηση 14 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί) 

Για τη συνάρτηση \(f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^2}\) δεν εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής στο διάστημα \([0 ,9]\) διότι:

Ερώτηση 15 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί) 

Για τη συνάρτηση που παριστάνει η παρακάτω γραφική παράσταση δεν εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) διότι η \(f\):

Ερώτηση 16 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί) 

Για τη συνάρτηση που παριστάνει η παρακάτω γραφική παράσταση δεν εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) διότι η \(f\):

Ερώτηση 17 (Αντιστοίχιση — 4 βαθμοί) 

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τεσσάρων συναρτήσεων. Να αντιστοιχίσετε το κείμενο της στήλης Α με τις γραφικές παραστάσεις , ώστε να είναι αληθής πρόταση.
Στήλη Α Κάντε την αντιστοιχία Στήλη B
1. Δεν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. διότι η \(f\) δεν είναι παραγωγίσιμη σε όλα τα \(x \in (\alpha ,\beta )\).
A. 1
2. Δεν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. διότι η \(f\) δεν είναι συνεχής στα σημεία \(\alpha\) και \(\beta\).
B. 2.
3. Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την \(f\) στο \([\alpha ,\beta ]\) και το \(\xi\) που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι τέτοιο ώστε \(f^\prime (\xi)>0\).
C. 3.
4. Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την \(f\) στο \([\alpha ,\beta ]\) και το \(\xi\) που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι τέτοιο ώστε \(f^\prime (\xi)<0\).
D. 4.