Μάθημα : Ανοιχτό Μάθημα

Ανοιχτό Μάθημα

0552069257 - ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΑΥΛΟΠΟΥΛΟΣ

Ερωτήσεις στο Θεώρημα Rolle

Περιγραφή

Ο Michel Rolle γεννήθηκε στην Αμπέρ της Γαλλίας το 1652 και ήταν γιος εμπόρου. Το 1691 διατύπωσε το Θεώρημα Rolle. Το 1699 εισήχθη στην Γαλλική Ακαδημία Επιστημών ως αστρονόμος. Πέθανε το 1719 στο Παρίσι.

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί) 

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) και δύο φορές παραγωγίσιμη στο \((\alpha ,\beta )\) και ισχύει \(f(\alpha)=f(\beta)=f(\gamma)\) με \(\gamma \in (\alpha ,\beta )\), τότε υπάρχει \(x_0 \in (\alpha ,\beta )\).

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί) 

Δίνεται η συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού το \(\Bbb R\) έτσι ώστε \(f^{\prime\prime} (x)\ne 0\) για κάθε \(x \in \Bbb R\), τότε η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει:

Ερώτηση 3 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) και \(f^\prime (x)\ne 0\) για κάθε \( x\in [\alpha ,\beta ]\), τότε η συνάρτηση \(f\) είναι 1-1 στο \([\alpha ,\beta ]\).

Ερώτηση 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) με \(f(\alpha)=f(\beta)\),τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα \(x_0 \in (\alpha ,\beta )\) έτσι ώστε \(f^\prime (x_0)=0\) ή η \(f\) δεν παραγωγίζεται στο \((\alpha ,\beta )\).

Ερώτηση 5 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) με \(f(\alpha)=f(\beta)\), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \(x_0 \in (\alpha ,\beta )\) έτσι ώστε η εφαπτομένη της \(C_f\) στο σημείο \(A(x_0,f(x_0))\) να είναι παράλληλη στον άξονα \(x'x\).

Ερώτηση 6 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Έστω \(f\colon [\alpha ,\beta ] \rightarrow [\alpha ,\beta ]\) που ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\),τότε και η συνάρτηση \(g(x)=(f\circ f)(x)\) ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\).

Ερώτηση 7 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Δεν μπορεί ταυτόχρονα στο ίδιο διάστημα \(A=[\alpha ,\beta ]\) να ισχύουν το Θεώρημα του Rolle και το θεώρημα του Bolzano για μια συνάρτηση \(f\).

Ερώτηση 8 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν οι συναρτήσεις \(f,g\) είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) με \(f(\alpha)=g(\alpha)\) και \(f(\beta)=g(\beta)\), τότε υπάρχει \(x_0 \in (\alpha ,\beta )\) ώστε στα σημεία \(A(x_0,f(x_0))\) και \(B(x_0,g(x_0))\) οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες.

Ερώτηση 9 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(\Bbb R\) με άπειρες ρίζες, τότε η \(f^\prime (x)\) έχει και αυτή άπειρες ρίζες.

Ερώτηση 10 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα \([\alpha ,\beta ]\) και \(f^\prime (x) \ne 0\) για κάθε \(x \in (\alpha ,\beta )\), τότε η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει το πολύ μια ρίζα στο \([\alpha ,\beta ]\).

Ερώτηση 11 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Αν η συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού το \(\Bbb R\) είναι παραγωγίσιμη και \(f(2004)<f(2011)<f(2010)\) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα \(x_0 \in (2004,2011 )\) τέτοιο ώστε \(f^\prime (x_0)=0\).

Ερώτηση 12 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Το αντίστροφο του θεωρήματος Rolle δεν ισχύει κατ’ ανάγκη. Δηλαδή αν η παράγωγος μιας συνάρτησης \(f\) μηδενίζεται σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της \(f\) δεν σημαίνει ότι πληρούνται αναγκαία οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

Ερώτηση 13 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το συµπέρασµα του θεωρήµατος του Rolle, χωρίς να ισχύουν όλες οι υποθέσεις του θεωρήµατος.

Ερώτηση 14 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί) 

Η συνάρτηση \(f(x)=|x|\) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα \([-1,1]\).