Μάθημα : Άλγεβρα Β! Λυκείου

Κωδικός : 0551841282

Άλγεβρα Β! Λυκείου

0551841282  -  ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΙΝΟΠΟΥΛΟΣ

Ενότητες - Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Συναρτήσεις :Μονοτονία - Ακρότ... Πολυώνυμα
  • Βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις
  • Γραφικές παραστάσεις - μετασχηματισμοί
  • Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

  • Συναρτήσεις όπου σε κάθε κάθε γωνία ω rad αντιστοιχούμε έναν τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας αυτής π.χ  για την συνάρτηση f(x)= ημ(χ) έχουμε f(π/6)=ημ(π/6)=1/2
    ενώ για τη συνάρτηση g(x)=συν(χ) έχουμε g(π)=συν(π) = -1.
  • Καθώς γνωρίζουμε ημ(2kπ+ω)=ημ(ω), k ∈ ℤ  άρα μετά από 2π rad η συνάρτηση f(x) = ημ(χ) ξαναπαίρνει τις ίδιες τιμές. Λέμε τότε ότι  η συνάρτηση f(x)= ημ(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2π.
  • Επίσης συν(2kπ+ω)=συν(ω), k ∈ ℤ  άρα μετά από 2π rad η συνάρτηση f(x) = συν(χ) ξαναπαίρνει τις ίδιες τιμές. Συνεπώς και  η συνάρτηση g(x)= ημ(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2π.
  • Γνωρίζουμε ότι εφ(kπ+x)=εφ(χ) k ∈ ℤ , άρα η h(x)=εφχ επαναλαμβάνει τις τιμές της μετά από διάστημα π  άρα η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο π.
  • Επίσης το ίδιο συμβαίνει και με την f(x)=σφ(χ)

Η συνάρτηση f(x)=ημ(χ)

    • Πεδίο ορισμού : Γενικά το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το ℝαλλά καθώς η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2π περιορίζουμε το πεδίο ορισμού σε διάστημα μίας περιόδου συνήθως [0, 2π]
    • Σύνολο τιμών : Καθώς γνωρίζουμε -1 ≤ ημ(χ) ≤ 1 άρα σύνολο τιμών το [-1, 1]
    • Διαστήματα Μονοτονίας : Από τον τριγωνομετρικό κύκλο παρατηρούμε ότι καθώς η γωνία χ αυξάνει από 0 σε π/2 το ημ(χ) αυξάνει επίσης . Δηλ f ↑ x ∈ [0, π/2]
      Στη συνέχεια για χ ∈ [π/2, 3π/2] το ημ(χ) μειώνεται δηλ. f ↓ x ∈ [π/2, 3π/2]
      και τέλος  για χ ∈ [3π/2, 3π]  ο ημ(χ) αυξάνει επίσης . Δηλ f ↑ x ∈ [       3π/2, 2π]
    • Ολικά Μέγιστα / Ελάχιστα : Ολικό μέγιστο το 1 για χ=π/2
                                                  Ολικό ελάχιστο το -1  για χ= 3π/2
    • Πίνακας τιμών στο διάστημα [0, 2π] 
    • Γραφική παράσταση:  στο ℝ , στο [0, 2π].
    • Άρτια - Περιττή : Καθώς γνωρίζουμε ημ(-x)=-ημ(x) για κάθε x ∈ ℝ δηλ. f(-x)=-f(x). Οπότε η f είναι περιττή στο ℝκαι συνεπώς η Cf παρουσιάζει κέντρο συμμετρίας το 0. Προσοχή!  η f δεν είναι περιττή στο [0, 2π]  είναι όμως περιττή στο [-π, π]

Η συνάρτηση g(x)=συν(χ)

    • Πεδίο ορισμού : Γενικά το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το ℝαλλά καθώς η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2π περιορίζουμε το πεδίο ορισμού σε διάστημα μίας περιόδου συνήθως [0, 2π]
    • Σύνολο τιμών : Καθώς γνωρίζουμε -1 ≤ συν(χ) ≤ 1 άρα σύνολο τιμών το [-1, 1]
    • Διαστήματα Μονοτονίας : Από τον τριγωνομετρικό κύκλο παρατηρούμε ότι καθώς η γωνία χ αυξάνει από 0 σε π το συν(χ) μειώνεται  . Δηλ g↓  x ∈ [0, π]
      Στη συνέχεια για χ ∈ [π, 2π] το συν(χ) αυξάνεται δηλ. g ↑ x ∈ [π, 2π      ]
    • Ολικά Μέγιστα / Ελάχιστα : Ολικό μέγιστο το 1 για χ=0, χ=2π
                                                    Ολικό ελάχιστο το -1  για χ= π
    • Πίνακας τιμών στο διάστημα [0, 2π]
    • Γραφική παράσταση στο ℝ, στο [0, 2π]
    • Άρτια - Περιττή : Καθώς γνωρίζουμε συν(-x) = συν(x) για κάθε x ∈ ℝ δηλ. g(-x)=g(x). Οπότε η g είναι ΑΡΤΙΑ  στο ℝκαι συνεπώς η Cf παρουσιάζει άξονα συμμετρίας τον y'y.  Προσοχή!  η g δεν είναι  άρτια στο [0, 2π]  είναι όμως άρτια  στο [-π, π]
    • Σημαντική Παρατήρηση : Η γραφική παράσταση της g(x) = συν(χ) έχει προκύψει από τη γραφική παράσταση της f(x) = ημ(χ) με οριζόντια μετατόπιση κατά π/2 αριστερά άρα g(x)=f(π/2 +χ)  δηλ  συν(χ)=ημ(π/2 +χ) που ισχύει καθώς γνωρίζουμε από την αναγωγή στο Α! τεταρτημόριο. 

H συνάρτηση h(x)=εφχ

    • Γνωρίζουμε ότι εφ(π+x)=εφ(χ) άρα η h(x)=εφχ επαναλαμβάνει τις τιμές της μετά από διάστημα π  άρα η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο π.
    • Πεδίο ορισμού : Καθώς εφ[(2k+1)π/2] με  k ∈ ℤ ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ άρα πεδίο ορισμού 
      x ∈ ℝ-{(2k+1)π/2, k ∈ ℤ }
    • Σύνολο τιμών :  Το ℝ συνεπώς η h δεν έχει ολικό μέγιστο /ελάχιστο.
    • Διαστήματα Μονοτονίας : h ↑ στο (-π/2, π/2) άλλα όχι στο πεδίο ορισμού της
    • Γραφική Παράσταση
    • Άρτια - Περιττή : Καθώς γνωρίζουμε εφ(-x) = -εφ(x) 
      δηλ. h(-x) = -h(x) για κάθε x ∈ ℝ-{(2k+1)π/2, k ∈ ℤ }.
      Οπότε η h είναι ΠΕΡΙΤΤΗ  στο πεδίο ορισμού της και συνεπώς η Ch παρουσιάζει κέντρο συμμετρίας το 0.  Προσοχή!  η h δεν είναι περιττή  στο [0, π]  είναι όμως περιττή  στο [-π/2, π/2]

H συνάρτηση h(x)=σφχ

    • Γνωρίζουμε ότι όπως και η εφαπτομένη σφ(π+x)=σφ(χ) άρα η h(x)=σφχ  άρα η είναι περιοδική με περίοδο π.
    • Πεδίο ορισμού : Καθώς σφ(kπ ) με  k ∈ ℤ ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ άρα πεδίο ορισμού 
      x ∈ ℝ-{kπ, k ∈ ℤ }.
    • Σύνολο τιμών :  Το ℝη συνάρτηση δεν έχει ολικό μέγιστο/ελάχιστο.
    • Διαστήματα μονοτονίας : η f ↓(0, π) αλλά όχι και στο πεδίο ορισμού της.
    • Γραφική Παράσταση
    • Άρτια - Περιττή: Περιττή καθώς σφ(-χ)= - σφ(χ)
Έγγραφα
Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Θεωρία

Πεδίο Ορισμού, Σύνολο Τιμών, Περίοδος, Μονοτονία, Ακρότατατα, Γραφικές Παραστάσεις

Πολυμέσα
Ακτίνιο -rad

Αναλυτική παρουσίαση για τη μονάδα μέτρησης γωνιών

Η συνάρτηση f(x)=αημχ , g(x)=ασυν(χ)

  • Οι συναρτήσεις είναι περιοδικές με περίοδο T= 2π,
  • Πεδίο ορισμού : το ℝ αλλά τις μελετάμε συνήθως σε διάστημα μίας περιόδου  [0, 2π]
  • Συνολο τιμών : Καθώς -1  ≤ ημ(χ) ≤ 1 άρα για α>0 -α ≤ ημ(χ) ≤ α  ενώ για α < 0, -α ≥ ημ(χ) ≥ α  οπότε σε κάθε περίπτωση σύνολο τιμών το [-|α|, |α| ]  και ομοίως για την g(x)=ασυν(x).
  • Γραφική παράσταση f(x)=ημ(χ) f1(x) = 3ημ(x), εδώ.
  • Γραφική παράσταση g(x)=συν(χ) g1x) = 0,5συν(x), εδώ.

Η συνάρτηση g(x) = ημ(αχ) h(x)= συν(αχ)

  • Πίνακας τιμών f(x) = ημ(χ), g(x)=ημ(2χ). Καθώς παρατηρούμε οι τιμές του χ για τις οποίες έχουμε το μοτίβο 0, 1, 0, -1, 0 για την f(x) = ημ(χ) μηδενίζουν τη g(x)=ημ(2χ).
  • Συνεπώς μεταξύ του 0 και π/2, που μηδενίζουν την g(x) ,θα υπάρχει ένα χο για το οποίο g(xo)=1 δηλ. ημ(2χο)=1 οπότε πρέπει 2χο=π/2 ⇔ xo=π/4 . Ομοίως μεταξύ του π/2 και π για
    χ= 3π/4 έχουμε g(3π/4)=-1
  • Στον πίνακα τιμών της g(x)= ημ(2χ) παρατηρούμε ότι το μοτίβο 0, 1, 0, -1, 0 για τις τιμές της g(x) , έχει ολοκληρωθεί στο [0, π] . Αρα η περίοδος της g(x)=ημ(2x) ισούται με π.
  • Γραφική παράσταση της f(x)=ημ(2x)
  • Πίνακας τιμών της h(x)=συν(2χ) στο [0, π]
  • Γραφική παράσταση της h(x)=συν(2χ)

Η συνάρτηση f(x)=ρημ(ωx+φ)+c

H γενική μορφή της τριγωνομετρικής συνάρτησης του ημιτόνου είναι η  f(x)=ρημ(ωx+φ)+c 

  • Το ρ καθορίζει το μέγιστο/ ελάχιστο της συνάρτησης αλλά τα σημεία τομής  της γρ.παράστασης με τον x'x δεν μεταβάλλονται σε σχέση με τη γρ.παράσταση της ημ(χ).
  • Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης Τ=2π/ω
  • Το φ μετακινεί τη γρ. παράσταση παραλληλα με tov χ'χ
    δεξιά φ μονάδες αν φ<0 και αριστερά αν φ > 0
  • Το c μετακινεί τη γρ. παράσταση παραλληλα με τov y'y 
    κάτω   c μονάδες  αν c<0 και πάνω αν c > 0.

Συμπερασματικά

Ασκήσεις Βιβλίου - Χαρακτηριστικές ασκήσεις