Μάθημα : Άλγεβρα Β! Λυκείου

Ορισμοί

• Μονώνυμο : Κάθε παράσταση της μορφής α_νx^v με α ∈ ℝ( πραγματικός αριθμός)  και ν ∈ ℕ*(θετικός ακέραιος).
  
• Πολυώνυμο : Κάθε παράσταση της μορφής α_νx^v+α_ν-1x^v-1+...+α₁x+α_ο  με α_ο, α₁,..., α_ν ∈ ℝ
  και ν ∈ ℕ*
• Όροι του πολυωνύμου :  Τα μονώνυμα από τα οποία αποτελείται α_ν-1x^v-1 , α_ν-1x^v-1 ,...α₁x, α_ο
  
• Σταθερός όρος : Ο αριθμός α_ο.
  • Παράδειγμα
• Αριθμητική τιμή του πολυώνυμου: Η τιμή που προκύπτει αν στη μεταβλητή δώσουμε έναν συγκεκριμμένο πραγματικό αριθμό.
• Ρίζα του πολυώνυμου : Ο αριθμός x_o, για τον οποίο η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου ισούται με 0 δηλ αν  χ_o ρίζα του  πολυωνύμου τότε Ρ(χ_ο)=0 και αντίστροφα.
• Σταθερό πολυώνυμο : Το πολυώνυμο που έχει την ίδια αριθμητική τιμή για κάθε πραγματικό αριθμό. Το σταθερό πολυώνυμο είναι της μορφής P(x) = αριθμός.
• Μηδενικό πολυώνυμο : Το πολυώνυμο που η αριθμητική τιμή του ισούται με 0 για κάθε πραγματικό αριθμό. Το σταθερό πολυώνυμο είναι της μορφής P(x) = 0.
• Συντελεστές του πολυωνύμου : Οι αριθμοί α_ν, α_ν-1,...,α₁, α_ο.
  
• Σταθερός όρος : Ο αριθμός α_ο. Δηλ. ο όρος στον οποίο δεν παρουσιάζεται η μεταβλητή.
• Βαθμός του πολυωνύμου : Ο μεγαλύτερος εκθέτης από τους μη μηδενικούς όρους του πολυωνύμου . To σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού, ενώ για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός.
  

Iσότητα πολυωνύμων - Πράξεις με πολυώνυμα

• Ισότητα πολυωνύμων : Τα πολυώνυμα P(x), Q(x) είναι ίσα εφόσον
  α) έχουν τον ίδιο βαθμό και β) οι συντελεστές των αντίστοιχων όρων είναι ίσοι
  Παράδειγμα Ρ(x) = α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1+ ... + αx + α_ο , Q(x) = β_νx^μ + β_ν-1x^μ-1+ ... + βx + β_ο
  Αν Ρ(x)=Q(x) τότε μ = ν και α_ν=β_μ α_ν-1=β_μ-1, .... , α₁=β₁, α_ο=β_ο
  
• Αθροισμα πολυωνύμων  : Ρ(x) + Q(x) → Αναγωγή ομοίων όρων (προσθέτω τους αντίστοιχους όρους).
  Άρα το άθροισμα πολυωνύμων είναι πολυώνυμο με βαθμό το πολύ ίσο με το μεγαλύτερο βαθμό από τους βαθμούς των Ρ(x) και Q(x).
• Γινόμενο πολυώνυμων : Ρ(x) ·Q(x) → Επιμεριστική ιδιότητα.
  Άρα το γινόμενο πολυωνύμων είναι πολυώνυμο με βαθμό ίσο με το άθροισμα των βαθμών των Ρ(x) και Q(x).
  
• Διαίρεση πολυωνύμων : Ρ(x) : Q(x) → Ταυτότητα Διαίρεσης : Ρ(x)=Q(x)·π(x)+υ(x) με βαθμό υ(x) < βαθμό Q(x)
  
• Σχήμα Horner: Για διαίρεση με πρωτοβάθμιο πολυώνυμο.
• Διαίρεση πολυωνύμων - Δύο τρόποι

Υπόλοιπο - Ρίζα - Παράγοντας

• Αν tο υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) : Q(x) ισούται με 0 τότε το πολυώνυμο Q(x) είναι παράγοντας του P(x).
• Από τη διαίρεση του P(x) με τον πρωτοβάθμιο πολυώνυμο (x-ρ) προκύπτει ότι
                                P(x)=(x-ρ)π(χ) +u(x)
και καθώς ο βαθμός του υπολοιπου πρέπει να μικρότερος του πολυωνύμου χ-ρ που είναι πρωτοβάθμιο , άρα u(x) είναι μηδενικού βαθμού άρα υ(x)= u ∈ ℝ
Από P(x)=(x-ρ)π(χ) +u και για x=ρ προκύπτει P(ρ)=uδηλαδή
                     Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) δια χ-ρ ισούται με P(ρ) 
• Από τα παραπάνω προκύπτει ότι 
  Αν x-ρ παράγοντας του Ρ(x)  τότε το x=ρ είναι ρίζα του Ρ(χ) και Ρ(ρ)=0
                         και αντίστροφα
Αν Ρ(ρ)=0 τότε το x-ρ είναι παράγοντας του Ρ(x) και το x=ρ είναι ρίζα του Ρ(χ).

Πολυωνυμικές Εξισώσεις

• Εξισώσεις της μορφής α_νx^ν+α_ν-1x^ν-1 +...+ α₁x + α_ο=0 με α_ν, α_ν-1 , ..., α_ο ∈ ℝονομάζονται πολυωνυμικές εξισώσεις.
  
• Η πολυωνυμική εξίσωση α_νx^ν+α_ν-1x^ν-1 +...+ α₁x + α_ο=0 με α_ν≠0 ονομάζεται πολυωνυμική εξίσωση v-βαθμού.
• Ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζεται κάθε ρίζα του πολυώνυμου Ρ(x)=α_νx^ν+α_ν-1x^ν-1 +...+ α₁x + α_ο.
  
• Κάθε πολυωνυμική εξίσωση v-βαθμού έχει το πολύ ν-πραγματικές ρίζες.
• Θεώρημα ακεραίων ριζών.
  Αν η πολυωνυμική εξίσωση α_νx^ν+α_ν-1x^ν-1 +...+ α₁x + α_ο=0
  α) έχει ακέραιους συντελεστές και β) έχει ακέραιες ρίζες.
  Τότε οι ακέραιες ρίζες είναι διαιρέτες του σταθερού όρου.
• Επίλυση πολυώνυμικής εξίσωσης: Ονομάζεται η διαδικασία εύρεσης των ριζών της πολυωνυμικής εξίσωσης
  • Αλγεβρική επίλυση : βασίζεται στην παραγοντοποίηση του πολυωνυμου που γίνεται είτε με τις γνωστές μεθόδους ( κοινός παράγοντας, ομαδοποίηση κλπ) είτε με την ταυτότητα της διαίρεσης εφόσον βρεθεί αρχικά μια ακέραια ρίζα.
    
  • Γραφική επίλυση : βασίζεται στην εύρεση των τετμημένων των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης με τον άξονα χ'χ.

Πρόσημο πολυωνύμου - πολυωνυμικές ανισώσεις

• Αν P(x) = α_νx^ν+α_ν-1x^ν-1+...+α₁x+α_ο ένα πολυώνυμο τότε ανισώσεις τηε μορφής P(x) >0 ή  P(x)<0 ονομάζονται πολυωνυμικές.
• Η λύση μια πολυωνυμικής ανίσωσης θα προκύψει από το πρόσημο του πολυωνύμου.
• Για να βρεθεί το πρόσημο του πολυωνύμου πρέπει αρχικά να παραγοντοποιηθεί και στη συνέχεια αφού προσδιορισθεί το πρόσημο κάθε παράγοντα να βρεθούν τα διαστήματα στα όποια το Ρ(x) είναι θετικό ή αρνητικό.
• Η λύση της ανίσωσης P(x) > 0 "μεταφράζεται" γραφικά στην εύρεση των διαστημάτων στα οποία η γρ. παράσταση που P(x) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ'χ. ενώ η λύση της P(x)<0  στα διαστήματα που η γρ. παράσταση βρίσκεται κάτω από τον χ'χ.
• Σελ.147 Ασκ.4,  Ασκ.6ι, 6iv Ασκ.8
• Ρητές Ανισώσεις

Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

• Κλασματικές εξισώσεις
• Άρρητες Α
• Άρρητες Β