Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας που έχει επαναληπτικό χαρακτήρα είναι να θυμηθούμε τους ορισμούς και τις βασικές ιδιότητες στις πράξεις, τις δυνάμεις και τις ρίζες των πραγματικών αριθμών.

Προσδοκώμενα Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της παραγράφου οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των πράξεων σε υπολογιστικές ασκήσεις
• αναγνωρίζουν τα ουδέτερα στοιχεία των πράξεων και τον ρόλο τους στις παραστάσεις
• εξηγούν τον ορισμό της δύναμης και να αναγνωρίζουν τη χρησιμότητα των ιδιοτήτων στην επίλυση σύνθετων αλγεβρικών παραστάσεων
• συνδέουν τον συμβολισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού με έναν πραγματικό αριθμό (ρητοί, άρρητοι) και να προσδιορίζουν τη θέση του στον άξονα
• Να  χρησιμοποιούν τις  τετραγωνικές ρίζες και τις ιδιότητές τους στην απλοποίηση παραστάσεων και την
  επίλυση προβλημάτων.
• αναγνωρίζουν και ακολουθούν την προτεραιότητα των πράξεων σε μια αλγεβρική παράσταση

Περίληψη της ενότητας

• Οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνονται με ένα σημείο σε άξονα. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόστασή του από την αρχή του άξονα.
• Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ακολουθούν συγκεκριμένους κανόνες ανάλογα με τα πρόσημα των αριθμών.
• Ισχύουν ιδιότητες όπως η αντιμεταθετική, προσεταιριστική, ουδέτερο στοιχείο και επιμεριστική. Η αφαίρεση και η διαίρεση ορίζονται μέσω της πρόσθεσης του αντίθετου και του πολλαπλασιασμού με τον αντίστροφο, αντίστοιχα.
• Δυνάμεις ορίζονται για πραγματικούς αριθμούς με φυσικούς, μηδέν ή αρνητικούς εκθέτες, με ειδικούς κανόνες για α≠0.
• Οι ιδιότητες των δυνάμεων περιλαμβάνουν κανόνες για τον πολλαπλασιασμό, τη διαίρεση, τη δύναμη γινομένου, πηλίκου και δύναμης.
• Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x, $\sqrt{x}$, είναι ο θετικός αριθμός που υψωμένος στο τετράγωνο δίνει x.
• Γενικά, για κάθε πραγματικό αριθμό x, ισχύει $\sqrt{x^2} = |x|$, ενώ δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού.

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου 1.1 από το βιβλίο σελ. 12-24

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (Χρόνος: 10min)

Μελετήστε το αρχείο 01α που μπορείτε να βρείτε από τα έγγραφα (ή στο τέλος της παρούσας ενότητας)

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η (Χρόνος: 5min),  Άσκηση αυτοαξιολόγησης 

Ελέγξτε τώρα την κατανόηση της προηγούμενης ενότητας απατώντας στις ερωτήσεις στο επόμενο αρχείο. Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η (Χρόνος: 10min)

Μελετήστε το αρχείο 01β που μπορείτε να βρείτε από τα έγγραφα (ή στο τέλος της παρούσας ενότητας)

Δραστηριότητα 4η (skills4life) (10min)

Για να κάνετε την δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5η (Χρόνος: 5min)

Μελετήστε το αρχείο 01γ που μπορείτε να βρείτε από τα έγγραφα (ή στο τέλος της παρούσας ενότητας)

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6η (Χρόνος 10 min), Ομαδοσυνεργατική στην τάξη

Η Μαρία υπολόγισε το γινόμενο √3·√75 και το βρήκε 15. Ο Γιάννης ισχυρίστηκε ότι δεν μπορεί το αποτέλεσμα να είναι ακέραιος. Πώς νομίζετε ότι οδηγήθηκε ο Γιάννης σε αυτό συμπέρασμα; Συμφωνείτε με το Γιάννη ή με τη Μαρία και γιατί;

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο αρχείο 01δ που θα βρείτε στα Εγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας), υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων για να κάνετε εξάσκηση (κατεβάστε το αρχείο pdf και αποθηκεύστε το στον υπολογιστή σας).

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7η (20min), Άσκηση αυτοαξιολόγησης 1

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι να γνωρίσουν οι μαθητές την έννοια του μονωνύμου, καθώς και να εξοικειωθούν με τις πράξεις που μπορούμε να κάνουμε με τα μονώνυμα.

Προσδοκώμενα Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την ολοκλήρωση της ενότητας οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• υπολογίζουν την αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης
• αναγνωρίζουν αν μία αλγεβρική παράσταση είναι μονώνυμο
• εντοπίζουν τα μέρη ενός μονωνύμου, καθώς και το βαθμό του ως προς μία μεταβλητή
• συγκρίνουν μονώνυμα ( π.χ.όμοια, ίσα, αντίθετα)
• εφαρμόζουν τους κανόνες που αναφέρονται στις πράξεις μονωνύμων, ώστε να υπολογίζουν παραστάσεις

Περίληψη της ενότητας

Οι αλγεβρικές παραστάσεις είναι εκφράσεις που περιέχουν αριθμούς και μεταβλητές, και η αριθμητική τους τιμή προκύπτει με αντικατάσταση των μεταβλητών με αριθμούς. Ένα μονώνυμο είναι μια ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία μεταξύ του συντελεστή (αριθμητικού παράγοντα) και του κύριου μέρους (γινόμενο μεταβλητών) σημειώνεται μόνο πολλαπλασιασμός. Ο βαθμός ενός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του είναι το άθροισμα των εκθετών τους. Οι αριθμοί αποτελούν σταθερά μονώνυμα μηδενικού βαθμού, εκτός του 0. Όμοια μονώνυμα έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Η πρόσθεση και η αφαίρεση γίνεται μόνο σε όμοια μονώνυμα, όπου αθροίζονται ή αφαιρούνται οι συντελεστές τους. Ο πολλαπλασιασμός μονωνύμων έχει ως συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών και ως κύριο μέρος το γινόμενο των μεταβλητών με άθροισμα των εκθετών τους. Η διαίρεση μονωνύμων εκτελείται όπως και στους αριθμούς, αν και το πηλίκο δεν είναι πάντα μονώνυμο.

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου Α 1.2 από το βιβλίο σελ. 25-32

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (Χρόνος: 5min)

Απαντήστε τις επόμενες ερωτήσεις για να ελέγξετε τις γνώσεις σας μετά την μελέτη των βασικών εννοιών σε ένα μονώνυμο (σελ. 25-26). Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η (Χρόνος: 5min) Πράξεις με μονώνυμα

Δείτε το επόμενο εμπλουτισμένο παράδειγμα 3 της σελ. 31 του βιβλίου (φωτόδενδρο) που θα βοηθήσει στην κατανόησή του. Ο τύπος για το όγκο ενός κυλίνδρου είναι: V=(Εμβαδόν βάσης) Χ (ύψος).  Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η (Χρόνος: 10min) Πράξεις με μονώνυμα

Δείτε το επόμενο αρχείο που αναφέρεται στην άσκηση 6 σελ. 32 (φωτόδενδρο).  Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο αρχείο 02α που θα βρείτε στα Εγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας), υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων για να κάνετε εξάσκηση (κατεβάστε το αρχείο pdf και αποθηκεύστε το στον υπολογιστή σας).

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι να γνωρίσουν οι μαθητές την έννοια του πολυωνύμου, καθώς και να εξοικειωθούν με τις πράξεις που μπορούμε να κάνουμε με τα πολυώνυμα.

Προσδοκώμενα Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την ολοκλήρωση της ενότητας οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• διακρίνουν αν μία αλγεβρική παράσταση είναι πολυώνυμο
• προσδιορίζουν το βαθμό του πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή
• αναγνωρίζουν πότε δύο πολυώνυμα είναι ίσα
• κάνουν πράξεις με πολυώνυμα
• υπολογίζουν την αριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου
• εφαρμόζουν τους κανόνες που αναφέρονται στις πράξεις πολυωνύμων, ώστε να υπολογίζουν σύνθετες παραστάσεις

Περίληψη της ενότητας

• Ένα πολυώνυμο είναι μια αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από το άθροισμα μονωνύμων, όπου κάθε μονώνυμο αποτελεί όρο του.
• Διώνυμα έχουν δύο όρους και τριώνυμα τρεις, όταν δεν έχουν όμοιους όρους.
• Κάθε μονώνυμο θεωρείται πολυώνυμο, ενώ οι αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα μηδενικού βαθμού, εκτός του μηδενικού πολυωνύμου που δεν έχει βαθμό.
• Ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.
• Μπορούμε να γράψουμε ένα πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις μιας μεταβλητής του και να υπολογίσουμε την αριθμητική του τιμή.
• Δύο πολυώνυμα είναι ίσα όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα.
• Η αναγωγή ομοίων όρων είναι η αντικατάσταση όμοιων μονωνύμων σε ένα πολυώνυμο με το άθροισμά τους.
• Η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων γίνεται με απαλοιφή παρενθέσεων και αναγωγή των ομοίων όρων.
• Ο πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο γίνεται πολλαπλασιάζοντας το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου.
• Ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο γίνεται πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτοντας τα γινόμενα, το οποίο ονομάζεται ανάπτυγμα.

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου 1.3-1.4  από το βιβλίο σελ. 33-41

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (5min)

Απαντήστε στην επόμενη δραστηριότητα αυτοαξιολόγησης για να ελέγξετε τις γνώσεις σας στην πρόσθεση και αφαίρεση  πολυωνύμων. Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η (5min)

Απαντήστε στην επόμενη δραστηριότητα αυτοαξιολόγησης για να ελέγξετε τις γνώσεις σας ως προς τον βαθμό του αθροίσματος και της διαφοράς πολυωνύμων. Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η (5min)

Απαντήστε στην επόμενη δραστηριότητα αυτοαξιολόγησης για να ελέγξετε τις γνώσεις σας ως προς τον βαθμό του γινομένου πολυωνύμων. Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η (5min)

Δείτε το επόμενο αρχείο αναφέρεται σε μια ενδιαφέρουσα σύνδεση του πολλαπλασιασμού πολυωνύμων με τα εμβαδά. Πρόκειται για την ερώτηση 5 στη σελίδα 40 του σχολικού βιβλίου. Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο αρχείο 03α που θα βρείτε στα Εγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας), υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων για να κάνετε εξάσκηση (κατεβάστε το αρχείο pdf και αποθηκεύστε το στον υπολογιστή σας).

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν πότε μία ισότητα είναι ταυτότητα, καθώς και να χρησιμοποιούν τις ταυτότητες στην επίλυση ασκήσεων/προβλημάτων.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• αναγνωρίζουν αν μία ισότητα είναι ταυτότητα
• περιγράφουν με λόγια τις ταυτότητες τις ενότητας
• αποδεικνύουν τις ταυτότητες της ενότητας
• χρησιμοποιούν τις ταυτότητες για να λύνουν ασκήσεις/προβλήματα

Περίληψη της ενότητας

• Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της.
• Αυτό τις διαφοροποιεί από άλλες ισότητες που αληθεύουν μόνο για ορισμένες τιμές.
• Υπάρχουν πολλές, αλλά κάποιες είναι αξιοσημείωτες λόγω της συχνής τους χρήσης.
• Το τετράγωνο αθροίσματος είναι (α + β)² = α² + 2αβ + β², με γεωμετρική ερμηνεία για θετικούς α, β.
• Το τετράγωνο διαφοράς είναι (α – β)² = α² – 2αβ + β².
• Ο κύβος αθροίσματος είναι (α + β)³ = α³ + 3α²β + 3αβ² + β³.
• Ο κύβος διαφοράς είναι (α – β)³ = α³ – 3α²β + 3αβ² – β³.
• Το γινόμενο αθροίσματος επί διαφοράς είναι (α + β)(α – β) = α² – β², χρησιμοποιούμενο για γρήγορους υπολογισμούς.

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου 1.5 από το βιβλίο σελ. 42-44

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (25min), Άσκηση αυτοαξιολόγησης 5

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να μετατρέπουν μία αλγεβρική παράσταση σε γινόμενο, όταν αυτό είναι εφικτό.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• μετασχηματίζουν μία αλγεβρική παράσταση σε γινόμενο χρησιμοποιώντας κάποια από τις μεθόδους παραγοντοποίησης
• αναγνωρίζουν την χρησιμότητα της παραγοντοποίησης στην επίλυση απλών προβλημάτων
• διαπιστώνουν την χρησιμότητα της παραγοντοποίησης στον υπολογισμό της αριθμητικής τιμής μιας παράστασης

Περίληψη της ενότητας

• Παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία μετατροπής μιας αλγεβρικής παράστασης από άθροισμα σε γινόμενο παραγόντων.
• Είναι χρήσιμη για την επίλυση προβλημάτων, εξισώσεων, ανισώσεων ή την απλοποίηση κλασμάτων.
• Στόχος είναι η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, δηλαδή παραγόντων που δεν μπορούν να αναλυθούν περαιτέρω.
• Μία από τις μεθόδους είναι η εξαγωγή κοινού παράγοντα, εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα.
• Μπορεί επίσης να γίνει ομαδοποίηση όρων για να προκύψει κοινός παράγοντας.
• Άλλη μέθοδος είναι η διαφορά τετραγώνων, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα α² – β² = (α + β)(α – β).
• Η παραγοντοποίηση μπορεί να γίνει και μέσω του αναπτύγματος τετραγώνου (τέλειο τετράγωνο), δηλαδή α² ± 2αβ + β² = (α ± β)².
• Τέλος, ένα τριώνυμο της μορφής x² + (α + β)x + αβ παραγοντοποιείται σε (x + α)(x + β), αναζητώντας αριθμούς με συγκεκριμένο γινόμενο και άθροισμα.
• Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να χρειαστεί διάσπαση όρων ή εξαγωγή κοινού παράγοντα πριν την εφαρμογή άλλης μεθόδου.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (25min), Άσκηση αυτοαξιολόγησης 6

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν τις ρητές αλγεβρικές παραστάσεις, πότε ορίζονται καθώς και να τις απλοποιούν.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• επεξηγούν πότε μία παράσταση είναι ρητή
• διακρίνουν πότε η ρητή παράσταση ορίζεται
• απλοποιούν (όταν αυτό είναι δυνατό) μια ρητή παράσταση

Περίληψη της ενότητας

Οι ρητές αλγεβρικές παραστάσεις είναι κλάσματα όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα. Για να ορίζονται, οι μεταβλητές τους δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή.

Για την απλοποίηση μιας ρητής παράστασης, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι γινόμενα, τότε διαιρούμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα. Αν δεν είναι γινόμενα, τότε παραγοντοποιούμε και τους δύο όρους της παράστασης και κατόπιν διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες. Παραδείγματα περιλαμβάνουν την εύρεση των τιμών για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις (π.χ., x ≠ 0 ή x ≠ -2) και την εφαρμογή των μεθόδων παραγοντοποίησης για απλοποίηση.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (15min), Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να χρησιμοποιούν τους κανόνες για να κάνουν πράξεις με ρητές παραστάσεις.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• εφαρμόζουν τους κανόνες για τον πολλαλπλασιασμό ρητών παραστάσεων
• εφαρμόζουν τους κανόνες για την διαίρεση ρητών παραστάσεων
• μετατρέπουν σύνθετα κλάσματα σε απλά
• εφαρμόζουν τους κανόνες για την πρόσθεση/αφαίρεση ρητών παραστάσεων

Περίληψη της ενότητας

Για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση ρητών παραστάσεων, εφαρμόζονται ανάλογοι κανόνες με αυτούς των αριθμητικών κλασμάτων. Συγκεκριμένα, για τον πολλαπλασιασμό, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές μεταξύ τους και τους παρονομαστές μεταξύ τους (π.χ., α/β * γ/δ = αγ/βδ), ενώ μετά τις πράξεις εκτελούμε και τις δυνατές απλοποιήσεις. Για τη διαίρεση δύο ρητών παραστάσεων, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με τον αντίστροφο της δεύτερης (π.χ., α/β : γ/δ = α/β * δ/γ = αδ/βγ), ακολουθώντας επίσης απλοποιήσεις. Τα σύνθετα κλάσματα εκφράζουν διαίρεση και αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο.

Όσον αφορά την πρόσθεση και αφαίρεση ρητών παραστάσεων, αν έχουν τον ίδιο παρονομαστή (είναι ομώνυμες), τότε προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές και διατηρούμε τον κοινό παρονομαστή (π.χ., α/β ± γ/β = (α ± γ)/β). Στη συνέχεια, γίνεται απλοποίηση του αποτελέσματος. Αν οι ρητές παραστάσεις δεν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, τότε αρχικά παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές, βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) αυτών, μετατρέπουμε τις παραστάσεις σε ομώνυμες και τέλος εκτελούμε τις πράξεις και τις δυνατές απλοποιήσεις.

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να χρησιμοποιούν τη διακρίνουσα ως τρόπο επίλυσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και να μετατρέπουν ένα τριώνυμο σε γινόμενο παραγόντων.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• χρησιμοποιούν τη διακρίνουσα για να επιλύουν μια εξίσωση δευτέρου βαθμού
• συσχετίζουν το πρόσημο της διακρίνουσας με το πλήθος των λύσεων
• μετατρέπουν ένα τριώνυμο σε γινόμενο παραγόντων
• επιλέγουν με ποιό (σύντομο) τρόπο θα λύσουν μια δευτεροβάθμια ανάλογα με τη μορφή της

Περίληψη της ενότητας

Οι εξισώσεις δευτέρου βαθμού έχουν τη γενική μορφή αx² + βx + γ = 0, με α ≠ 0, όπου α, β, γ είναι οι συντελεστές. Κάθε αριθμός που την επαληθεύει λέγεται λύση ή ρίζα.

Η επίλυσή τους μπορεί να γίνει με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων για ειδικές μορφές, όπως αx² + βx = 0 (με λύσεις x = 0 ή x = 3 σε παράδειγμα) ή αx² + γ = 0 (με λύσεις x = ±3 σε παράδειγμα). Εξισώσεις της μορφής x² = α είναι αδύνατες αν α < 0 (π.χ. x² = -16), έχουν δύο λύσεις αν α > 0, και μία διπλή λύση (x = 0) αν α = 0.

Για τη γενική μορφή, χρησιμοποιείται η μέθοδος της συμπλήρωσης τετραγώνου. Ωστόσο, η πιο συνηθισμένη μέθοδος είναι μέσω της διακρίνουσας Δ, η οποία ορίζεται ως Δ = β² – 4αγ.

Η τιμή της Διακρίνουσας καθορίζει το πλήθος των λύσεων:

• Αν Δ > 0, η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις, τις x = (-β ± √Δ) / 2α.
• Αν Δ = 0, η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, την x = -β / 2α.
• Αν Δ < 0, η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει λύση).

Τέλος, ένα τριώνυμο αx² + βx + γ μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων χρησιμοποιώντας τις ρίζες του ρ1, ρ2 ως α(x – ρ1)(x – ρ2).

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να περιγράφουν τη διάταξη μεταξύ αριθμών και να επαληθεύουν τις εικασίες τους.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• ανακαλούν πως ορίζεται η διάταξη αριθμών
• χρησιμοποιούν τις ιδιότητες της διάταξης
• αποδεικνύουν μια σχέση ανισότητας χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες 
• επιλύουν ένα σύστημα ανισώσεων
• χρησιμοποιούν τις ανισώσεις στην επιλυση απλών προβλημάτων

Περίληψη της ενότητας

Η διάταξη μεταξύ πραγματικών αριθμών ορίζεται από τη σχετική τους θέση σε έναν άξονα ή από το πρόσημο της διαφοράς τους (π.χ., α > β αν α – β > 0). Οι ιδιότητες της διάταξης ορίζουν ότι η φορά μιας ανισότητας διατηρείται αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό. Επίσης, η φορά διατηρείται αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με έναν θετικό αριθμό. Ωστόσο, η φορά αντιστρέφεται αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με έναν αρνητικό αριθμό. Αυτές οι ιδιότητες είναι θεμελιώδεις για την επίλυση ανισώσεων πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο.

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να επιλύουν γραφικά ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και να διακρίνουν πότε έχει λύση και πότε δεν έχει. 

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• σχεδιάζουν τις ευθείες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις ενός 2χ2 συστήματος
• ερμηνεύουν και να εξάγουν συμπεράσματα από τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος
• επιλύουν γραφικά ένα γραμμικό σύστημα
• συσχετίζουν τις γεωμετρικές με τις αλγεβρικές πτυχές ενός συστήματος 2χ2

Περίληψη της ενότητας

Ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x, y αναζητά το ζεύγος (x, y) που τις επαληθεύει ταυτόχρονα. Η γραφική επίλυση περιλαμβάνει τη σχεδίαση των ευθειών που αντιστοιχούν σε κάθε εξίσωση στο ίδιο σύστημα αξόνων.

Το ζεύγος των συντεταγμένων του σημείου τομής των ευθειών αποτελεί τη μοναδική λύση του συστήματος. Ωστόσο, αν οι ευθείες είναι παράλληλες, το σύστημα είναι αδύνατο (χωρίς λύση). Ενώ, αν οι ευθείες συμπίπτουν (ταυτίζονται), το σύστημα είναι αόριστο (με άπειρες λύσεις).

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να επιλύουν αλγεβρικά ένα γραμμικό σύστημα 2χ2. 

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• χρησιμοποιούν τις αλγεβρικές μεθόδους επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος 2χ2
• επιλύουν προβλήματα με τη βοήθεια συστημάτων
• διακρίνουν τον αριθμό των λύσεων από τη διαδικασία επίλυσης

Περίληψη της ενότητας

Για την αλγεβρική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, υπάρχουν δύο βασικές μέθοδοι. Η μέθοδος της αντικατάστασης περιλαμβάνει την επίλυση μιας εξίσωσης ως προς έναν άγνωστο και την αντικατάσταση της παράστασης στην άλλη εξίσωση. Η μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών απαιτεί την πρόσθεση των εξισώσεων κατά μέλη, αφού πρώτα εξασφαλιστεί ότι οι συντελεστές ενός αγνώστου είναι αντίθετοι (πιθανόν πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς). Στόχος και των δύο μεθόδων είναι η απαλοιφή ενός αγνώστου για να προκύψει εξίσωση με έναν άγνωστο. Οι αλγεβρικές μέθοδοι οδηγούν σε ακριβή προσδιορισμό της λύσης του συστήματος.

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να περιγράφουν με διάφορους τρόπους ένα σύνολο και να διακρίνουν τα στοιχεία του. 

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• επεξηγούν την έννοια του συνόλου
• κατασκευάζουν με διάφορους τρόπους σύνολα
• διακρίνουν σχέσεις ισότητας μεταξύ συνόλων
• κατασκευάζουν νέα σύνολα από την τομή ή την ένωση άλλων συνόλων

Περίληψη της ενότητας

Ένα σύνολο είναι μια σαφώς καθορισμένη συλλογή αντικειμένων, που ονομάζονται στοιχεία. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα και παριστάνεται με αναγραφή στοιχείων, περιγραφή τους ή διάγραμμα Venn. Δύο σύνολα είναι ίσα αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία, ενώ ένα υποσύνολο ενός άλλου σημαίνει ότι όλα τα στοιχεία του περιέχονται στο δεύτερο. Οι βασικές πράξεις είναι η ένωση (κοινά και μη κοινά στοιχεία), η τομή (μόνο τα κοινά στοιχεία) και το συμπλήρωμα (τα στοιχεία του βασικού συνόλου που δεν ανήκουν στο δοσμένο σύνολο). Το κενό σύνολο είναι αυτό που δεν περιέχει κανένα στοιχείο.

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης και να χρησιμοποιούν την έννοια του ενδεχομένου ενός πειράματος τύχης.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• διακρίνουν ένα πείραμα τύχης
• κατασκευάζουν τον δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης
• διακρίνουν την έννοια του ενδεχομένου ενός πειράματος τύχης
• επεξηγούν πότε ένα ενδεχόμενο είναι βέβαιο, αδύνατο 
• επεξηγούν πότε δύο ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα

Περίληψη της ενότητας

Το πείραμα τύχης έχει απρόβλεπτο αποτέλεσμα με βεβαιότητα, και ο δειγματικός χώρος (Ω) είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του. Ενδεχόμενο ονομάζεται κάθε υποσύνολο του Ω, το οποίο μπορεί να είναι βέβαιο (το Ω) ή αδύνατο (το κενό σύνολο). Οι πράξεις μεταξύ ενδεχομένων (ένωση, τομή, συμπλήρωμα) εκτελούνται όπως και στις πράξεις συνόλων. Δύο ενδεχόμενα χαρακτηρίζονται ασυμβίβαστα όταν δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, δηλαδή η τομή τους είναι το κενό σύνολο (Α  Β = ). Η κατανόηση αυτών των εννοιών είναι κρίσιμη για την ανάλυση των πιθανών εκβάσεων και των σχέσεων μεταξύ τους σε τυχαία πειράματα.

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου με τον κλασικό ορισμό (ισοπίθανα ενδεχόμενα)

Περίληψη της ενότητας

Ο κλασικός ορισμός πιθανότητας αναφέρεται σε πειράματα με ισοπίθανα αποτελέσματα, υπολογιζόμενη ως ο λόγος των ευνοϊκών περιπτώσεων προς τις δυνατές (N(A)/N(Ω)). Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Α κυμαίνεται από 0 έως 1, με την πιθανότητα του βέβαιου ενδεχομένου Ω να είναι 1 και του αδύνατου ∅ να είναι 0. Για συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α', ισχύει ο κανόνας P(A) + P(A') = 1. Επίσης, για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β, ισχύει ο τύπος P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B). Αυτοί οι βασικοί κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό τους.

Δραστηριότητα 1η (skills4life) (10min)

Για να κάνετε την δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

Δραστηριότητα 2η (skills4life) (10min)

Για να κάνετε την δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι να μάθουν οι μαθητές πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα και να αναγνωρίζουν δευτερεύουσες σχέσεις που προκύπτουν από την ισότητα δύο τριγώνων.

Προσδοκώμενα Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την ολοκλήρωση της ενότητας οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• γνωρίζουν τα είδη των τριγώνων, καθώς και τα κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τους
• γνωρίζουν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και να τα χρησιμοποιούν σωστά όταν συγκρίνουν τρίγωνα
• αποδεικνύουν την ισότητα τμημάτων και γωνιών μέσα από τη σύγκριση τριγώνων

Περίληψη της ενότητας

Το κείμενο περιγράφει τα κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία των τριγώνων, όπως πλευρές, γωνίες, διαμέσους, διχοτόμους και ύψη, καθώς και την ταξινόμησή τους σε οξυγώνια, αμβλυγώνια, ορθογώνια, σκαληνά, ισοσκελή και ισόπλευρα. Ορίζει πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα, υπογραμμίζοντας ότι αυτό συμβαίνει όταν ταυτίζονται μετά από κατάλληλη μετατόπιση και έχουν όλες τις αντίστοιχες πλευρές και γωνίες τους ίσες.

Για την απόδειξη της ισότητας, παρουσιάζονται τρία βασικά κριτήρια ισότητας: το κριτήριο Πλευρά-Γωνία-Πλευρά (Π-Γ-Π), το κριτήριο Γωνία-Πλευρά-Γωνία (Γ-Π-Γ) και το κριτήριο Πλευρά-Πλευρά-Πλευρά (Π-Π-Π). Αυτά τα κριτήρια επιτρέπουν τη διαπίστωση της ισότητας με λιγότερα στοιχεία από ό,τι απαιτεί ο ορισμός, επιβεβαιώνοντας ότι σε ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και το αντίστροφο.

Τέλος, το κείμενο αναφέρεται στα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα οποία απλοποιούνται. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία, ή μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση.

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου Β 1.1 από το βιβλίο σελ. 186-193

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (Χρόνος: 15min)

Δείτε το αρχείο 19α που παρουσιάζει συνοπτικά τα κυριότερα σημεία που αναφέρονται στην παράγραφο. (Το αρχείο δεν υποκαθιστά το σχολικό μας βιβλίο που είναι η βασική πηγή για τη μελέτη μας).

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο τέλος της ενότητας υπάρχει το pdf αρχείο 19β που περιέχει μια συλλογή ασκήσεων για εξάσκηση. Κατεβάστε το αρχείο στον υπολογιστή σας και αποθηκεύστε το για μελλοντική χρήση.

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν και να εφαρμόζουν το θεώρημα Θαλή.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• διατυπώνουν το θεώρημα Θαλή και να γράφουν τις αντίστοιχες αναλογίες
• χρησιμοποιούν το θεώρημα Θαλή για τον υπολογισμό του μήκους ενός ευθυγράμμου τμήματος

Περίληψη της ενότητας

Το κείμενο εισάγει το Θεώρημα του Θαλή, το οποίο περιγράφει τη σχέση μεταξύ τριών ή περισσότερων παράλληλων ευθειών που τέμνουν δύο άλλες ευθείες. Συγκεκριμένα, τα τμήματα που ορίζονται στην μία ευθεία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη. Αυτό το θεώρημα είναι χρήσιμο για τον υπολογισμό του μήκους ευθυγράμμων τμημάτων και των λόγων τους.

Επιπλέον, το κείμενο επεκτείνει την εφαρμογή του Θεωρήματος του Θαλή σε τρίγωνα: αν μία ευθεία είναι παράλληλη προς μία πλευρά ενός τριγώνου, τότε χωρίζει τις άλλες δύο πλευρές σε ανάλογα τμήματα. Αντίστροφα, αν τα τμήματα που ορίζονται στις δύο πλευρές είναι ανάλογα, τότε η ευθεία που τα ενώνει είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά. Παρέχονται παραδείγματα για τον υπολογισμό μηκών τμημάτων.

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να υπολογίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας μεταξύ 0 και 180 μοιρών.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• ορίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας ή αμβλείας γωνίας
• χρησιμοποιούν ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων για τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών

Περίληψη της ενότητας

Το κείμενο ορίζει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη) μιας οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο και επεκτείνει τον ορισμό τους για γωνίες από 0° έως 180°. Ο υπολογισμός τους γίνεται με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων, βασιζόμενος στις συντεταγμένες (x, y) ενός σημείου στην τελική πλευρά της γωνίας και την απόσταση ρ από την αρχή Ο.

Διευκρινίζεται ότι το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών εξαρτάται από το αν η γωνία είναι οξεία (όπου x>0, y>0) ή αμβλεία (όπου x<0, y>0). Παρέχονται επίσης οι ειδικές τιμές για τις γωνίες 0°, 90° και 180°. Τέλος, το κείμενο περιλαμβάνει παραδείγματα για τον υπολογισμό αυτών των αριθμών σε διάφορες περιπτώσεις.

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να υπολογίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραπληρωματικών γωνιών.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• υπολογίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραλπηρωματικών γωνιών
• να προσδιορίζουν γωνίες αν γνωρίζουν τους τριγωνομετρικούς τους αριθμούς
• να λύνουν ασκήσεις με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Περίληψη της ενότητας

Το κείμενο εξετάζει τις σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών παραπληρωματικών γωνιών, δηλαδή γωνιών που το άθροισμά τους είναι 180°. Διαπιστώνεται ότι αυτές οι γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο, ενώ το συνημίτονο και η εφαπτομένη τους είναι αντίθετα.

Οι βασικοί τύποι που προκύπτουν είναι ημ(180° – ω) = ημω, συν(180° – ω) = –συνω και εφ(180° – ω) = –εφω. Αυτοί οι τύποι επιτρέπουν τον υπολογισμό τριγωνομετρικών αριθμών, όπως για παράδειγμα, ημ150° = ημ30°.

Τέλος, τονίζεται ότι αν δύο γωνίες, στο διάστημα από 0° έως 180°, έχουν το ίδιο ημίτονο, τότε είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές.