Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Στην παρουσίαση που ακολουθεί, θα δούμε συνοπτικά τις ιδιότητες των ρητών αριθμών. Η ενότητα είναι επαναληπτική και συμπληρώνει την ύλη της Α΄ Γυμνασίου. Την παρουσίαση έχει επιμεληθεί η μαθηματικός Μπίζου Αλεξάνδρα.

Θα ακολουθήσουν σε επόμενες ενότητες οι βασικές έννοιες, οι πράξεις και οι δυνάμεις στους ρητούς αριθμούς.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (Χρόνος: 20 min)

Ανοίξτε το αρχείο 01α που ακολουθεί και μελετήστε τις ενότητες μέχρι το σημείο που έχετε διδαχθεί στην Α΄Γυμνασίου.

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας που ακολουθεί είναι η επανάληψη βασικών τμημάτων της ύλης που έχει διδαχθεί στην Α΄ Γυμνασίου. Επίσης η συμπλήρωση των γνώσεων αυτών και η κάλυψη πιθανών κενών.

Ανοίξτε το αρχείο 02α Επανάληψη βασικών εννοιών της  Α΄ Γυμνασίου που θα βρείτε στα έγγραφα στην αριστερή στήλη της οθόνης σας (ή στο τέλος της ενότητας) και μελετήστε το.

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι να θυμηθούμε τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης στους ρητούς αριθμούς.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την ολοκλήρωση της ενότητας οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

•  αναγνωρίζουν τη θέση ενός αριθμού πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών
•  επιλύουν μια παράσταση που περιέχει τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης
•  αναγνωρίζουν βασικές έννοιες όπως ομόσημοι, ετερόσημοι αντίθετοι αριθμοί κ.λ.π.
•  υπολογίζουν την απόλυτη τιμή ενός αριθμού

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (Χρόνος: 20min)

Μελετήστε το αρχείο 03α που μπορείτε να βρείτε από τα έγγραφα (ή στο τέλος της παρούσας ενότητας)

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η (Χρόνος: 10min)

Στο επόμενο αρχείο μπορείτε να εξασκηθείτε βρίσκοντας τα αποτελέσματα των πράξεων μεταξύ θετικών και αρνητικών αριθμών. Για να δείτε τα αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο αρχείο 03β που θα βρείτε στα Εγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας), υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων για να κάνετε εξάσκηση (κατεβάστε το αρχείο pdf και αποθηκεύστε το στον υπολογιστή σας).

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι να θυμηθούμε τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης στους ρητούς αριθμούς.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την ολοκλήρωση της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• εφαρμόζουν τους κανόνες των προσήμων στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση
• επιλύουν μια παράσταση που περιέχει τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διάιρεσης
• υπολογίζουν το πρόσημο του αποτελέσματος μιας παράστασης με πολλούς όρους

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (Χρόνος: 20min)

Μελετήστε το αρχείο 04α που μπορείτε να βρείτε από τα έγγραφα (ή στο τέλος της παρούσας ενότητας)

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο αρχείο 04β που θα βρείτε στα Εγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας), υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων για να κάνετε εξάσκηση (κατεβάστε το αρχείο pdf και αποθηκεύστε το στον υπολογιστή σας).

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι να ερμηνευτεί η έννοια της μεταβλητής και η παρουσία της στις αλγεβρικές παραστάσεις.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την ολοκλήρωση της ενότητας οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

•  χρησιμοποιούν τις μεταβλητές για να εκφράσουν ένα πρόβλημα της καθημερινής ζωής
•  κάνουν πράξεις στις αλγεβρικές παραστάσεις
•  απαλείφουν παρενθέσεις σε μια αλγεβρική παράσταση
•  κάνουν αναγωγές ομοίων όρων με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας

Περίληψη της ενότητας

• Η ενότητα εξηγεί την έννοια της μεταβλητής ως ένα γράμμα (π.χ. x, y) που χρησιμοποιείται για να παραστήσει οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου, όπως η διάρκεια ενός τηλεφωνήματος.
• Διακρίνει τις αριθμητικές παραστάσεις (που περιέχουν μόνο αριθμούς και πράξεις) από τις αλγεβρικές παραστάσεις, οι οποίες περιέχουν και μεταβλητές, με τους προσθετέους να ονομάζονται όροι.
• Για να γίνουν πράξεις σε αλγεβρικές παραστάσεις και να απλοποιηθούν, χρησιμοποιείται η επιμεριστική ιδιότητα ((α + β) γ = α γ + β γ).
• Η διαδικασία απλοποίησης των αλγεβρικών παραστάσεων με τη χρήση αυτής της ιδιότητας ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων.
• Σημειώνεται επίσης ότι το σύμβολο του πολλαπλασιασμού (.) παραλείπεται συνήθως μεταξύ αριθμών και μεταβλητών ή μεταξύ μεταβλητών σε αλγεβρικές παραστάσεις (π.χ. 3xy αντί 3.x.y).

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου 1.1 από το βιβλίο σελ. 11-13

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο αρχείο 06α που θα βρείτε στα Εγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας), υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων για να κάνετε εξάσκηση (κατεβάστε το αρχείο pdf και αποθηκεύστε το στον υπολογιστή σας).

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας που ακολουθεί, είναι οι μαθητές να μυηθούν στην επίλυση πρωτοβάθμιων εξισώσεων.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Αφού ολοκληρώσουμε την μελέτη της παρούσας ενότητας, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• μετατρέπουν τις πληροφορίες ενός προβλήματος σε εξίσωση (μοντελοποίηση)
• επεξηγούν την έννοια της εξίσωσης και της σχετικής ορολογίας
• ανακαλούν και εφαρμόζουν τα βήματα επίλυσης μιας εξίσωσης α΄βαθμού με έναν άγνωστο
• διακρίνουν πότε μια εξίσωση έχει μοναδική λύση, είναι αδύνατη ή ταυτότητα
• επαληθεύουν τη λύση που έχουν βρεί

Περίληψη της ενότητας

• Μια σχέση ισότητας παρομοιάζεται με μια ζυγαριά που ισορροπεί, ενώ οι ανισότητες δείχνουν κλίση.
• Για να διατηρηθεί η ισορροπία σε μια ισότητα, μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη.
• Επίσης, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.
• Μια εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθμό, συνήθως συμβολιζόμενο με x.
• Ο στόχος της επίλυσης μιας εξίσωσης είναι η απομόνωση του αγνώστου σε ένα μέλος της.
• Αυτό μπορεί να γίνει εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των πράξεων, αφαιρώντας ή προσθέτοντας τους ίδιους αριθμούς.
• Ένας πρακτικός κανόνας είναι η μεταφορά όρων από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημό τους.
• Για την επίλυση, χρησιμοποιείται η επιμεριστική ιδιότητα, η αναγωγή ομοίων όρων και ο διαχωρισμός γνωστών από αγνώστους.
• Σε εξισώσεις με παρονομαστές, γίνεται απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών.
• Εξισώσεις που καταλήγουν σε 0x = (μη μηδενικός αριθμός) είναι αδύνατες (χωρίς λύση), ενώ αυτές που καταλήγουν σε 0x = 0 είναι ταυτότητες (κάθε αριθμός είναι λύση).

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου 1.2 από το βιβλίο σελ. 16-17

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η  (Χρόνος: 5min)

Μπορείτε να...    ( για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ )

α) βρείτε το βάρος που έχει ο κύβος με το μυαλό (χωρίς χαρτί και μολύβι);

β) σχηματίσετε την εξίσωση που αντιστοιχεί κάθε φορά στο αρχείο που βλέπετε;

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η  (Χρόνος: 5 min)

Πηγαίνετε τώρα στο τέλος της ενότητας και μελετήστε την ΑΣΚΗΣΗ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου 1.2 από το βιβλίο σελ. 18-19

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η (Χρόνος 5 min)

Πηγαίνετε τώρα στο τέλος της ενότητας και μελετήστε την ΑΣΚΗΣΗ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 2

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η (Χρόνος: 10 min)

Για να δείτε λυμένα παραδείγματα πηγαίνεται στα Έγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας) και παρακολουθήστε την παρουσίαση στο αρχείο 07α.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5η (Χρόνος: 15 min)

Μπορείται να εξασκηθείτε στην επίλυση εξισώσεων λύνοντας παραδείγματα από την εφαρμογή που ακολουθεί.

Πατήστε στο βελάκι για να ξεκινήσει, μετά στο τετραγωνάκι "λύσε την", στη συνέχεια με αστεράκια είναι το επίπεδο δυσκολίας. Επιλέξτε όποιο θέλετε με κλικ πάνω στην εικόνα. Για να δείτε την εφαρμογή πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6η  (Χρόνος: 5 min)

Δοκιμάστε να λύσετε το επόμενο σταυρόλεξο. Οι λέξεις είναι με μικρά γράμματα και χρειάζονται τόνο. Καλή επιτυχία!

https://crosswordlabs.com/embed/2024-02-17-57

Δραστηριότητα 7η (skills4life) (10min)

Για να κάνετε τη δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο αρχείο 07β που θα βρείτε στα Εγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας), υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων για να κάνετε εξάσκηση (κατεβάστε το αρχείο pdf και αποθηκεύστε το στον υπολογιστή σας).

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας που ακολουθεί, είναι οι μαθητές να μυηθούν στην επίλυση προβλημάτων με την βοήθεια των εξισώσεων.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Αφού ολοκληρώσουμε την μελέτη της παρούσας ενότητας, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• αναγνωρίζουν τα δεδομένα από τα ζητούμενα ενός προβλήματος
• ορίζουν τον άγνωστο (ή τους άγνωστους) του προβλήματος με την εισαγωγή μιας μεταβλητής (του χ)
• κατασκευάζουν την εξίσωση που θα επιλύσουν (μετατροπή των λεκτικών αναφορών σε μαθηματική γλώσσα)
• επιλύουν την εξίσωση που έχουν κατασκευάσει και να ελέγχουν αν η απάντηση είναι συμβατή με το πρόβλημα

Περίληψη της ενότητας

• Η επίλυση προβλημάτων στην καθημερινή ζωή μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά με τη χρήση μεταβλητών και εξισώσεων.
• Η διαδικασία περιλαμβάνει τον ορισμό ενός αγνώστου (συνήθως x) και την έκφραση άλλων μεγεθών του προβλήματος μέσω αυτού.
• Στη συνέχεια, σχηματίζεται η εξίσωση με βάση τα δεδομένα που παρέχονται στην εκφώνηση.
• Ακολουθεί η επίλυση της εξίσωσης για να προσδιοριστεί η τιμή του αγνώστου.
• Τέλος, είναι απαραίτητο να ελεγχθεί η λύση για να διαπιστωθεί αν ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος.

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου 1.4 από το βιβλίο σελ. 26

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η (5min)

Σύγκριση Περιμέτρου και Εμβαδού ενός ορθογωνίου με ένα τρίγωνο. Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν την έννοια της τετραγωνικής ρίζας και να τη χρησιμοποιούν σε αριθμητικούς υπολογισμούς. 

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Αφού ολοκληρώσουμε την μελέτη της παρούσας ενότητας, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• επεξηγούν την έννοιαν της τετραγωνικής ρίζας
• συνδυάζουν την τετραγωνική ρίζα με τους μη αρνητικούς αριθμούς
• υπολογίζουν τετραγωνικές ρίζες θετικών αριθμών
• χρησιμοποιούν την τετραγωνική ρίζα σε πράξεις που συναντούν σε προβλήματα και ασκήσεις

Περίληψη της ενότητας

• Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α (συμβολίζεται √α) είναι ο θετικός αριθμός x, του οποίου το τετράγωνο (x²) ισούται με α.
• Για παράδειγμα, √289 = 17, καθώς 17² = 289, και ορίζεται √0 = 0.
• Είναι σημαντικό ότι δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, καθώς κανένας αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο δεν δίνει αρνητικό αποτέλεσμα.
• Από τον ορισμό προκύπτει ότι, για α ≥ 0, ισχύει η ιδιότητα (√α)² = α.
• Οι άρρητοι αριθμοί είναι αυτοί που δεν μπορούν να εκφραστούν ως πηλίκο δύο ακεραίων (μ/ν), όπως ο √2.
• Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούν να γραφούν ούτε ως δεκαδικός ούτε ως περιοδικός δεκαδικός αριθμός.
• Οι άρρητοι αριθμοί, όπως ο √2 ή ο π, μπορούν να προσεγγιστούν με ρητές τιμές με αυξανόμενη ακρίβεια.
• Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν το σύνολο που περιλαμβάνει τόσο τους ρητούς όσο και τους άρρητους αριθμούς.
• Αυτό το σύνολο καλύπτει πλήρως την αριθμογραμμή, όπου κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό.
• Οι φυσικοί, ακέραιοι και ρητοί αριθμοί είναι υποσύνολα των πραγματικών αριθμών, με τους άρρητους να συμπληρώνουν την ευθεία.

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι οι μαθητές να συσχετίζουν δύο μεγέθη, εκφράζοντας το ένα από αυτά ως συνάρτηση του άλλου.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Αφού ολοκληρώσουμε την μελέτη της παρούσας ενότητας, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• εκφράζουν ένα μέγεθος ως συνάρτηση ενός άλλου (όταν αυτό είναι δυνατόν)
• συμπληρώνουν τον πίνακα τιμών μιας συνάρτησης 

Περίληψη της ενότητας

• Η συνάρτηση ορίζεται ως μια μαθηματική σχέση όπου κάθε τιμή μιας μεταβλητής x (π.χ., παλιός μισθός) αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή μιας μεταβλητής y (π.χ., αύξηση).
• Μια συνάρτηση εκφράζεται συνήθως με έναν τύπο, όπως y = 0,03x, όπου το y είναι συνάρτηση του x.
• Η αντιστοιχία των τιμών μεταξύ των μεταβλητών x και y μπορεί να απεικονιστεί με τη χρήση ενός πίνακα τιμών.
• Οι συναρτήσεις εφαρμόζονται σε πρακτικά προβλήματα, όπως ο υπολογισμός αυξήσεων μισθών ή η παραγωγή λαδιού από ελιές.
• Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση για να υπολογίσουμε την τιμή της y για δοσμένη τιμή του x, ή να επιλύσουμε για το x αν γνωρίζουμε το y.

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν τη θέση ενός σημείου του επιπέδου σε συνδυασμό με τις συντεταγμένες του σε ένα ορθοκανονικό σύστημα. 

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Αφού ολοκληρώσουμε την μελέτη της παρούσας ενότητας, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• υπολογίζουν τις συντεταγμένες ενός σημείου
• βρίσκουν ένα σημείο όταν είναι γνωστές οι συντεταγμένες του
• βρίσκουν τις συντεταγμένες του συμμετρικού ενός σημείου, ως προς τους άξονες και την αρχή των αξόνων
• υπολογίζουν την απόσταση δύο σημείων όταν είναι γνωστές οι συντεταγμένες τους (δύο τρόποι)
• σχεδιάζουν τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης από τον αντίστοιχο πίνακα τιμών
• βρίσκουν κατά προσέγγιση τις συντεταγμένες ενός σημείου της γραφικής παράστασης 
• ελέγχουν αν ένα σημείο ανήκει (ή όχι) στην γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

Περίληψη της ενότητας

• Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων επιτρέπει τον προσδιορισμό της ακριβούς θέσης οποιουδήποτε σημείου στο επίπεδο χρησιμοποιώντας δύο κάθετους άξονες.
• Κάθε σημείο αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό ζεύγος συντεταγμένων (x, y), όπου το x είναι η τετμημένη και το y η τεταγμένη του σημείου.
• Αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου.
• Αυτό το σύστημα χρησιμοποιείται για την γραφική παράσταση συναρτήσεων, όπου τα ζεύγη τιμών (x, y) από έναν πίνακα απεικονίζονται ως σημεία που σχηματίζουν μια γραμμή ή καμπύλη.
• Η γραφική παράσταση παρέχει μια «εποπτική» εικόνα της συνάρτησης, προσφέροντας χρήσιμες πληροφορίες για τη σχέση των μεταβλητών.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ^2. Κάντε κλίκ ΕΔΩ

Η γραφική παράστασηντης συνάρτησης ψ=α/χ. Κάντε κλίκ ΕΔΩ

Η γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης ψ=αχ. Κάντε κλικ ΕΔΩ

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι οι μαθητές να προσδιορίζουν τη σχέση που συνδέει δύο ανάλογα ποσά καθώς και βασικές ιδιότητες της συνάρτησης που ορίζουν.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Αφού ολοκληρώσουμε την μελέτη της παρούσας ενότητας, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• επεξηγούν πότε δύο ποσά είναι ανάλογα
• προσδιορίζουν τη σχέση που συνδέει τις τιμές δύο ανάλογων ποσών
• σχεδιάζουν την γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αx
• επεξηγούν βασικές ιδιότητες της συνάρτησης ψ=αx
• χρησιμοποιούν την συνάρτηση ψ=αx στην επίλυση απλών προβλημάτων 

Περίληψη της ενότητας

• Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν ο λόγος τους είναι σταθερός, εκφραζόμενα από τη συνάρτηση y = αx.
• Σε αυτή τη σχέση, το α αντιπροσωπεύει τη σταθερά αναλογίας, η οποία ονομάζεται κλίση της ευθείας.
• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι πάντα μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων (Ο).
• Η κλίση (α) καθορίζει τη διεύθυνση και την "απότομη" φύση της ευθείας.
• Αυτές οι σχέσεις βρίσκουν εφαρμογή σε διάφορα προβλήματα, όπως οι υπολογισμοί περιμέτρου ή οι εκπτώσεις στις τιμές προϊόντων.

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι οι μαθητές να μελετήσουν τη συνάρτηση ψ=αx+β εκκινώντας απο τη σχέση που έχει με την ψ=αx.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Αφού ολοκληρώσουμε την μελέτη της παρούσας ενότητας, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• αναγνωρίζουν τη συνάρτηση ψ=αx+β ως παράλληλη μετατόπιση της ψ=αx
• διακρίνουν ότι κάθε εξίσωση της μορφής ψ=αx+β (όπου α και β διάφορα του μηδενός) παριστάνει ευθεία
• προσδιορίζουν τα σημεία τομής της συνάρτησης ψ=αx+β με τους άξονες
• υπολογίζουν την εξίσωση μιας ευθείας από στοιχεία της γραφικής της παράστασης 

Περίληψη της ενότητας

• Η συνάρτηση y = αx + β παριστάνει μια ευθεία γραμμή στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
• Αυτή η ευθεία είναι παράλληλη προς την ευθεία y = αx, αλλά μετατοπισμένη κατά β μονάδες στον άξονα y (προς τα πάνω).
• Το α αναφέρεται ως η κλίση της ευθείας, ενώ η ευθεία τέμνει τον άξονα y στο σημείο (0, β).
• Εξισώσεις της μορφής αx + βy = γ επίσης αναπαριστούν ευθείες, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που είναι παράλληλες στους άξονες (x=κ ή y=κ).
• Για να βρεθούν τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες, θέτουμε y=0 για τον άξονα x και x=0 για τον άξονα y.

Δραστηριότητα 1 (skills4life) (10min)

Για να κάνετε την δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

Δραστηριότητα 2 (skills4life) (10min)

Για να κάνετε την δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν και να περιγράφουν τις βασικές εισαγωγικές έννοιες στη Στατιστική.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την ολοκλήρωση της ενότητας οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

•  περιγράφουν τις έννοιες του πληθυσμού και του δείγματος
• υπολογίζουν τα ποσοστά ενός μερικού συνόλου ως προς το γενικό σύνολο
• αναγνωρίζουν τη σπουδαιότητα του αντιπροσωπευτικού δείγματος

Περίληψη της ενότητας

• Στη Στατιστική, ο πληθυσμός είναι το σύνολο των στοιχείων που μελετάμε ως προς κάποιο χαρακτηριστικό.
• Επειδή η μελέτη όλου του πληθυσμού είναι συχνά ανέφικτη, λαμβάνεται ένα δείγμα, δηλαδή ένα μέρος του πληθυσμού.
• Για να είναι τα αποτελέσματα αξιόπιστα και να μπορούν να γενικευθούν, το δείγμα πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού.
• Η συγκέντρωση στατιστικών δεδομένων γίνεται είτε με απογραφή (όλα τα άτομα) είτε κυρίως με δειγματοληψία (μέρος του πληθυσμού).
• Η δειγματοληψία προσφέρει μικρότερο κόστος και ταχύτητα, αλλά απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή στον σχεδιασμό για να οδηγήσει σε σωστά συμπεράσματα.

Δραστηριότητα 1 (skills4life) (10min)

Για να κάνετε τη δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ότι το εμβαδόν ενός  επίπεδου σχήματος εξαρτάται από την μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούν και να συνδυάζουν/χρησιμοποιούν τους τύπους των εμβαδών στην επίλυση προβλημάτων.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την ολοκλήρωση της ενότητας οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να:

•  αναγνωρίζουν ότι το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούν
• υπολογίζουν τα εμβαδά βασικών επίπεδων σχημάτων (τετράγωνο, παραλληλόγραμμο, τρίγωνο, τραπέζιο, κ.λ.π.)
•  χρησιμοποιούν τους τύπους των εμβαδών στην επίλυση προβλημάτων
•  επινοούν συνδυασμούς γνωστών εμβαδών για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός σύνθετου σχήματος

Περίληψη της ενότητας

• Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει στο επίπεδο, και η τιμή του εξαρτάται άμεσα από τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται.
• Διαφορετικά σχήματα, όπως ορθογώνια, τραπέζια και τρίγωνα, μπορούν να καταλαμβάνουν την ίδια έκταση αν αποτελούνται από τα ίδια βασικά στοιχεία.
• Η μέτρηση του εμβαδού γίνεται μετρώντας τα τετραγωνάκια ή άλλα μονάδια σχήματα, και το εμβαδόν ενός σχήματος μπορεί να είναι το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους σχημάτων που το αποτελούν.
• Οι βασικές μονάδες μέτρησης εμβαδών περιλαμβάνουν το τετραγωνικό μέτρο (1 m²), το τετραγωνικό δεκατόμετρο (1 dm²), το τετραγωνικό εκατοστόμετρο (1 cm²) και το τετραγωνικό χιλιοστόμετρο (1 mm²).
• Σημαντικές μετατροπές είναι 1 m² = 100 dm² = 10.000 cm² και 1 cm² = 100 mm².
• Για μεγάλες εκτάσεις χρησιμοποιούνται το τετραγωνικό χιλιόμετρο (1 km² = 1.000.000 m²) και το στρέμμα (1 στρέμμα = 1000 m²).
• Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α είναι α².
• Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές α και β (μήκος επί πλάτος) είναι α ⋅ β.
• Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι το γινόμενο μιας βάσης επί το αντίστοιχο ύψος (β ⋅ υ), ενώ το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι το μισό αυτού (1/2 β ⋅ υ).
• Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του [(β + Β)υ / 2].

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου Β 1.3 από το βιβλίο σελ. 119-120

Δραστηριότητα 1 Εμβαδόν ορθογωνίου(skills4life) (10min)

Για να κάνετε τη δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας που ακολουθεί είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν το π.θ. και τις διάφορες μορφές του, καθώς και να το χρησιμοποιούν στην επίλυση προβλημάτων.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Οι μαθητές μετά την μελέτη της ενότητας θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• αναγνωρίζουν τον τύπο του π.θ. σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (και το αντίστροφο)
• συσχετίζουν το π.θ. με τα ορθογώνια τρίγωνα
• κρίνουν αν ένα τρίγωνο με δεδομένες πλευρές είναι ορθογώνιο ή όχι
• συνδυάζουν το π.θ. με προγενέστερες γνώσεις ώστε να οδηγούνται σε επίλυση προβλημάτων

Περίληψη της ενότητας

• Το Πυθαγόρειο θεώρημα ορίζει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας (δηλαδή β² + γ² = α²).
• Η σχέση αυτή μπορεί να αποδειχθεί γεωμετρικά με τη διάταξη τετραγώνων και ορθογωνίων τριγώνων πλευράς (β + γ).
• Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος δηλώνει ότι αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο, τότε η γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.
• Αυτή η αρχή χρησιμοποιήθηκε από τους Αρχαίους Αιγύπτιους (π.χ., με κόμπους σε σκοινί) για την κατασκευή ορθών γωνιών, και επαληθεύτηκε από τους Έλληνες.
• Πολλά παραδείγματα δείχνουν την εφαρμογή τόσο του Πυθαγορείου θεωρήματος όσο και του αντιστρόφου του για την επαλήθευση ή την απόδειξη του αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Μελέτη της θεωρίας της παραγράφου 1.4 από το βιβλίο σελ. 127-128

Παρακολουθείστε το επόμενο βίντεο που αναφέρεται στο π.θ. Το νερό στα τετράγωνα προσομοιάζει το εμβαδόν κάθε τετραγώνου. Για να δείτε το βίντεο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η  (Χρόνος: 1min)

Παρακολουθήστε το επόμενο βίντεο που αναφέρεται στην απόδειξη του π. θ. Πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η  (Χρόνος: 5min)

Μπορείτε να βοηθήσετε στην επίλυση του προβλήματος που αναφέρεται στο επόμενο αρχειο; Πως θα δικαιολογούσατε την απάντησή σας; (μετακινήστε το βελάκι που βρίσκεται κάτω αριστερά για να αλλάζετε τη γωνία Α) Για να δείτε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η  (Χρόνος: 15min)

Παρακολουθήστε την παρουσίαση από το αρχείο 23α που θα βρείτε αριστερα στην οθόνη στην ενότητα Έγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας) . Το αρχείο αναφέρεται στο π.θ. συνοψίζοντας την διατύπωσή του και μερικές χαρακτηριστικές εφαρμογές του.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η  (Χρόνος: 20min)

Συμπληρώστε το φύλλο εργασίας που θα βρείτε στο αρχείο 23β στα έγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας).

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5η  (Χρόνος: 15min)

Μπορείτε τώρα να παρακαλουθήσετε την επόμενη παρουσίαση που αφορά τις πυθαγόρειες τριάδες. Το αρχείο βρίσκετε στα έγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας) και είναι το 23γ Παρουσίαση στις Πυθαγόρειες τριάδες.

Δραστηριότητα 6η (skills4life) (10min)

Για να κάνετε τη δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο αρχείο 23δ που θα βρείτε στα Εγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας), υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων για να κάνετε εξάσκηση (κατεβάστε το αρχείο pdf και αποθηκεύστε το στον υπολογιστή σας).

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας που ακολουθεί, είναι οι μαθητές να γνωρίσουν τις έννοιες των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οξείας γωνίας (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη) και στη συνέχεια να τους χρησιμοποιούν για τον υπολογισμό των στοιχείων ενός τριγώνου, καθώς και στην επίλυση προβλημάτων.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Οι μαθητές μετά την μελέτη της ενότητας θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• περιγράφουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας
• υπολογίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας
• συνδέουν τις πλευρές με τις γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου μέσω των τριγωνομετρικών αριθμών
• επιλέγουν τον κατάλληλο τριγωνομετρικό αριθμό για την επίλυση ενός προβλήματος
• συνδυάζουν προηγούμενες γνώσεις (π.χ. το πυθαγόρειο θεώρημα) με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας ώστε να υπολογίζουν τα ζητούμενα στοιχεία ενός τριγώνου

Περίληψη της ενότητας

• Η εφαπτομένη (εφω) ορίζεται ως ο σταθερός λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας ω.
• Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται για την περιγραφή της κλίσης ενός δρόμου ή μιας ευθείας με εξίσωση y = αx, όπου α είναι ίσο με εφω.
• Το ημίτονο (ημω) είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.
• Το συνημίτονο (συνω) είναι ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.
• Για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω, τόσο το ημίτονο όσο και το συνημίτονο έχουν τιμές μεταξύ 0 και 1.
• Επίσης, η εφαπτομένη μιας γωνίας μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο της ίδιας γωνίας (εφω = ημω/συνω).
• Ο υπολογισμός αυτών των τριγωνομετρικών αριθμών απαιτεί συχνά την εύρεση των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, συνήθως με τη χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
• Για τον υπολογισμό τους μπορούν να χρησιμοποιηθούν πίνακες τριγωνομετρικών αριθμών ή επιστημονικοί υπολογιστές τσέπης.

Μελέτη της θεωρίας των παραγράφων 2.1 και 2.2 από το βιβλίο σελ. 136-146

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η  (Χρόνος: 15min)

Παρακολουθήστε την παρουσίαση από το αρχείο 24α που θα βρείτε αριστερα στην οθόνη στην ενότητα Έγγραφα (ή στο τέλος της ενότητας). Το αρχείο αναφέρεται στους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οξείας γωνίας και περιέχει μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η  (Χρόνος: 10min)

Σκεφτείτε τώρα, πως θα μπορούσαμε να απαντήσουμε στις ερωτήσεις του προβλήματος, στο αρχείο που ακολουθεί. Έχετε κάποια ιδέα; Για να ανοίξετε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η  (Χρόνος: 15min)

Η δραστηριότητα αυτή μοιάζει με την δραστηριότητα 2. Κλικάροντας τα τετραγωνάκια εμφανίζονται τα ερωτήματα που καλούμαστε να βρούμε τη λύση, Για να ανοίξετε το αρχείο πατήστε ΕΔΩ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η  (Χρόνος: 5min)

Μπορείτε να παίξετε το επόμενο παιχνίδι με κάρτες ελέγχοντας ταυτόχρονα τους νέους ορισμούς που συναντήσαμε. Επιλέγοντας από αριστερά το Match πρέπει να ταιριάξετε τις κάρτες (κάνοντας κλικ πάνω τους).  Για να παίξετε πατήστε ΕΔΩ

Δραστηριότητα 5η (skills4life) (10min)

Για να κάνετε τη δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ

Δραστηριότητα 6η (Χρόνος 5min)

Μπορείτε τώρα να ελέγξετε την κατανόηση της ενότητας κάνοντας την επόμενη άσκηση αυτοαξιολόγησης. Για να κάνετε την άσκηση πατήστε ΕΔΩ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Στο αρχείο 24β που θα βρείτε στα Εγγραφα από την στήλη αριστερά στην οθόνη σας, (ή στο τέλος της ενότητας) υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων για να κάνετε εξάσκηση (κατεβάστε το αρχείο pdf και αποθηκεύστε το στον υπολογιστή σας).

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας που ακολουθεί, είναι οι μαθητές να επεξηγούν τις έννοιες της εγγεγραμμένης γωνίας, της επίκεντρης γωνίας, του αντίστοιχου τόξου τους καθώς και τη σχέση που έχουν μεταξύ τους όλα τα παραπάνω.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Οι μαθητές μετά την μελέτη της ενότητας θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• αναγνωρίζουν την έννοια της εγγεγραμμένης γωνίας και να την σχεδιάζουν
• αναγνωρίζουν την έννοια της επίκεντρης γωνίας και να τη σχεδιάζουν
•  συσχετίζουν την εγγεγραμμένη-επίκεντρη γωνία με το αντίστοιχο τόξο της
• διακρίνουν πότε δύο εγγεγραμμένες γωνίες είναι ίσες
• διαχειρίζονται τη σχέση μεταξύ εγγεγραμμένης-επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου τους. 

Περίληψη της ενότητας

• Εγγεγραμμένη γωνία ονομάζεται κάθε γωνία που έχει την κορυφή της πάνω στον κύκλο και οι πλευρές της τον τέμνουν, ενώ το τόξο που περιέχεται σε αυτήν ονομάζεται αντίστοιχο τόξο.
• Μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι πάντα ορθή (90°), κάτι που επιβεβαιώνεται και από το Πυθαγόρειο θεώρημα.
• Το μέτρο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του μέτρου της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας ή του αντίστοιχου τόξου της.
• Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες σε έναν κύκλο που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους ίσες.
• Οι ιδιότητες των εγγεγραμμένων γωνιών εφαρμόζονται για τον υπολογισμό γωνιών τριγώνων ή τόξων σε κύκλους, όπως σε περιπτώσεις με δοθέντα τόξα ή διαμέτρους.

Σκοπός

Σκοπός της ενότητας που ακολουθεί, είναι οι μαθητές να διακρίνουν τις έννοιες του μήκους ενός κύκλου και του εμβαδού ενός κυκλικού δίσκου και να χρησιμοποιούν τους τύπους για τον υπολογισμό τους. 

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Οι μαθητές μετά την μελέτη της ενότητας θα πρέπει να είναι σε θέση να:

• συνδέουν το μήκος ενός κύκλου με τον τύπο για τον υπολογισμό του
• αναγνωρίζουν τον αριθμό π και τον ρόλο του
• υπολογίζουν το μήκος ενός κύκλου
• υπολογίζουν το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου
• χρησιμοποιούν τους τύπους στην επίλυση απλών προβλημάτων

Περίληψη της ενότητας

• Το μήκος κύκλου συνδέεται με τη διάμετρό του (δ) μέσω ενός σταθερού λόγου, ο οποίος ονομάζεται «ο αριθμός π».
• Ο αριθμός π είναι άρρητος και έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία, με την προσεγγιστική τιμή 3,14 να χρησιμοποιείται στις εφαρμογές.
• Οι τύποι για το μήκος του κύκλου είναι L = πδ ή L = 2πρ, όπου ρ είναι η ακτίνα.
• Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου υπολογίζεται με τη μέθοδο της αναδιάταξης των τμημάτων του σε ένα σχήμα που προσεγγίζει ένα ορθογώνιο.
• Η «βάση» αυτού του ορθογωνίου είναι πρ και το «ύψος» είναι ρ.
• Επομένως, ο τύπος για το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ είναι Ε = πρ².
• Οι έννοιες αυτές εφαρμόζονται στην εύρεση της ακτίνας από το μήκος του κύκλου ή τον υπολογισμό του εμβαδού.

Δραστηριότητα 1 (skills4life) (10min)

Για να κάνετε τη δραστηριότητα πατήστε ΕΔΩ