Μάθημα : Β ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγεβρα - B Lyceum Algebra - الصف الثاني ثانوي – الجبر

Είναι ισοδύναμες οι εξισώσεις;

Στους παρακάτω συνδέσμους, μπορείτε να δείτε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

Στον σύνδεσμο 1 των y=x και y=\(\sqrt{x+α}\).

Στον σύνδεσμο 2 των y=\(x^2\) και y=x+α, όπου α\(\geq\)0.

Από προεπιλογή έχει τεθεί α=0, αλλά μπορείτε να μετακινείτε τον δρομέα για να αλλάζετε τις τιμές του α.

Οι τετμημένες x των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων του συνδέσμου 1 είναι οι λύσεις της εξίσωσης x=\(\sqrt{x+α}\), ενώ αυτές των κοινών σημείων του συνδέσμου 2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης \(x^2\)=x+α.

Προσπαθήστε να μετακινήσετε τους δρομείς στους δύο συνδέσμους για να βρίσκετε τις λύσεις των δύο εξισώσεων για τις διάφορες τιμές του α, και απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις:

1. Είναι οι δύο εξισώσεις ισοδύναμες για α=0; Πόσες και ποιες λύσεις έχει η καθεμία από αυτές;

2. Πόσα κοινά σημεία έχουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=x και y=\(\sqrt{x+2}\) ; Ποιες είναι οι τετμημένες x των κοινών σημείων;

3. Πόσα κοινά σημεία έχουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=\(x^2\) και y=x+2; Ποιες είναι οι τετμημένες x των κοινών σημείων;

4. Ποια από τις εξισώσεις x=\(\sqrt{x+2}\) και \(x^2\)=x+2 έχει τις περισσότερες λύσεις;

Τελικά, γιατί η πρώτη εξίσωση έχει μόνο μία λύση, ενώ η δεύτερη έχει δύο; Αφού η δεύτερη προκύπτει από την πρώτη αν υψώσουμε τα δύο μέλη στο τετράγωνο, δεν είναι οι δύο εξισώσεις ισοδύναμες;

Are the equations equivalent?

In the links below, you can see the graphs of the functions:

In Link 1: the graphs of y = x and y = \(\sqrt{x+α}\).

In Link 2: the graphs of y = x² and y = x + α, where α ≥ 0.

By default, α = 0, but you can move the slider to change the value of α.

The x-coordinates of the intersection points of the graphs in Link 1 are the solutions of the equation x = \(\sqrt{x+α}\),
while the x-coordinates of the intersection points in Link 2 are the solutions of the equation x² = x + α.

Move the sliders in both links to find the solutions of the two equations for different values of α, and answer the following questions:

1. Are the two equations equivalent when α = 0? How many solutions does each equation have, and what are they?

2. How many intersection points do the graphs of the functions y = x and y = \(\sqrt{x+2}\) have? What are the x-coordinates of the intersection points?

3. How many intersection points do the graphs of the functions y = x² and y = x + 2 have? What are the x-coordinates of the intersection points?

4. Which of the equations x = \(\sqrt{x+2}\) and x² = x + 2 has more solutions?

Finally, why does the first equation have only one solution, while the second has two? Since the second equation is obtained from the first by squaring both sides, aren’t the two equations equivalent?

هل المعادلتان متكافئتان؟

في الروابط التالية يمكنكم مشاهدة التمثيلات البيانية للدوال:

في الرابط 1: تمثيلا الدالتين
 y = x و y = \(\sqrt{x+α}\)

في الرابط 2: تمثيلا الدالتين
 y = x² و y = x + α، حيث α ≥ 0

 α = 0 بشكل افتراضي تم اختيار α ويمكنكم تحريك شريط التمرير لتغيير قيمة

إن الإحداثيات السينية لنقاط التقاطع في الرابط 1 هي حلول المعادلة
x = \(\sqrt{x+α}\)،
أما الإحداثيات السينية لنقاط التقاطع في الرابط 2 فهي حلول المعادلة
x² = x + α.

  ثم أجيبوا عن الأسئلة الآتية ،α حاولوا تحريك أشرطة التمرير في الرابطين لإيجاد حلول المعادلتين لقيم مختلفة لـ:

1.  ؟α=0  هل المعادلتان متكافئتان عندما
   كم حلاً تملك كل معادلة؟ وما هي هذه الحلول؟
2.  ؟ y =\(\sqrt{x+2}\) و y=x كم عدد نقاط التقاطع بين التمثيلين البيانيين للدالتين
   ما هي الإحداثيات السينية لنقاط التقاطع؟
3.   ؟y = x + 2  و y=x² كم عدد نقاط التقاطع بين التمثيلين البيانيين للدالتين
   ما هي الإحداثيات السينية لنقاط التقاطع؟
4.  لها عدد أكبر من الحلول؟ x = \(\sqrt{x+2}\) و x² = x + 2  أي المعادلتين 

في النهاية، لماذا تملك المعادلة الأولى حلاً واحدًا فقط، بينما تملك الثانية حلين؟
بما أن المعادلة الثانية تنتج عن الأولى عند تربيع طرفيها، أفلا تكون المعادلتان متكافئتين؟