Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Σκοπός

Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι οι μαθητές να χρησιμοποιούν τη διακρίνουσα ως τρόπο επίλυσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και να μετατρέπουν ένα τριώνυμο σε γινόμενο παραγόντων.

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την μελέτη της ενότητας οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση να:

• χρησιμοποιούν τη διακρίνουσα για να επιλύουν μια εξίσωση δευτέρου βαθμού
• συσχετίζουν το πρόσημο της διακρίνουσας με το πλήθος των λύσεων
• μετατρέπουν ένα τριώνυμο σε γινόμενο παραγόντων
• επιλέγουν με ποιό (σύντομο) τρόπο θα λύσουν μια δευτεροβάθμια ανάλογα με τη μορφή της

Περίληψη της ενότητας

Οι εξισώσεις δευτέρου βαθμού έχουν τη γενική μορφή αx² + βx + γ = 0, με α ≠ 0, όπου α, β, γ είναι οι συντελεστές. Κάθε αριθμός που την επαληθεύει λέγεται λύση ή ρίζα.

Η επίλυσή τους μπορεί να γίνει με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων για ειδικές μορφές, όπως αx² + βx = 0 (με λύσεις x = 0 ή x = 3 σε παράδειγμα) ή αx² + γ = 0 (με λύσεις x = ±3 σε παράδειγμα). Εξισώσεις της μορφής x² = α είναι αδύνατες αν α < 0 (π.χ. x² = -16), έχουν δύο λύσεις αν α > 0, και μία διπλή λύση (x = 0) αν α = 0.

Για τη γενική μορφή, χρησιμοποιείται η μέθοδος της συμπλήρωσης τετραγώνου. Ωστόσο, η πιο συνηθισμένη μέθοδος είναι μέσω της διακρίνουσας Δ, η οποία ορίζεται ως Δ = β² – 4αγ.

Η τιμή της Διακρίνουσας καθορίζει το πλήθος των λύσεων:

• Αν Δ > 0, η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις, τις x = (-β ± √Δ) / 2α.
• Αν Δ = 0, η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, την x = -β / 2α.
• Αν Δ < 0, η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει λύση).

Τέλος, ένα τριώνυμο αx² + βx + γ μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων χρησιμοποιώντας τις ρίζες του ρ1, ρ2 ως α(x – ρ1)(x – ρ2).