Στο σχήμα η ομογενής ράβδος ΑΓ έχει μήκος ΑΓ = ℓ μάζα Μ = 4 Kg και συνδέεται με άρθρωση σε τοίχο με το άκρο της Α. Στο σημείο Δ, με ΑΔ = ℓ/4 υπάρχει υποστήριγμα και στο άκρο Γ είναι στερεωμένο το πάνω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν/m, στο κάτω άκρο του οποίου έχει συνδεθεί σφαιρίδιο (Σ) μάζας m = 1 Kg. Η ράβδος και το σφαιρίδιο ισορροπούν και η ράβδος είναι οριζόντια.
Α. Υπολογίστε τα μέτρα των δυνάμεων που ενεργούν στη ράβδο.
Β. Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο κατακόρυφα προς τα πάνω κατά d = 0,2 m και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο τη χρονική στιγμή t0 = 0 οπότε αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
Β1. Υπολογίστε την ενέργεια της ταλάντωσης
Β2. Γράψτε την εξίσωση απομάκρυνσης – χρόνου x(t)
Β3. Γράψτε την εξίσωση της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σφαιρίδιο (Σ), σε συνάρτηση με το χρόνο.
Β4. Γράψτε την εξίσωση της δύναμης που ασκείται στη ράβδο στο σημείο της άρθρωσης, Α , σε συνάρτηση με την απομάκρυνση της α.α.τ. και παραστήστε την γραφικά.
Γ. Ποιο το μέγιστο πλάτος των ταλαντώσεων του συστήματος ελατήριο – σφαιρίδιο (Σ) με τη ράβδο να παραμένει ακίνητη;
Δίνεται g = 10m/s2
(Α) ισορροπία σφαίρας : mg = Fελατ => 10 Ν = 100 Ν/m x0 => x0 = 0,1 m επιμήκυνση ελατηρίου κατά την ισορροπία της σφαίρας
η ράβδος δέχεται στο άκρο της Γ από το ελατήριο δύναμη F'ελατ = - Fελατ = - 10 Ν
ισορροπία ράβδου ΑΓ : ροπές ως προς Α : - Mg l/2 + F'ελατ l + FΔ l/4 = 0 =>
=> - 40 l/2 - 10 l + FΔ l/4 = 0 => FΔ = 120 Ν κατακόρυφη προς τα επάνω
ΣFy = 0 => FΔ + Mg + F'ελατ + FΑ = 0 => + 120 - 40 - 10 + FΑ = 0 => FΑ = - 70 N
ροπές ως προς Δ : - Mg l/4 + F'ελατ 3l/4 + FΑ (- l/4) = 0 =>
=> - 40 l/4 - 10 3l/4 - FΑ l/4 = 0 =>
=> - 40 - 30 - FΑ => FΑ = - 70 Ν κατακόρυφη προς τα κάτω
(Β) στην ισορροπία η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι x0 = 0,1 m
ω2 = k / m = 100 / 1 => ω = 10 rad/s f = ω / 2π = 5/π Hz T = 1/f = π/5 s
E = ½ k d2 = ½ 100 0,22 = 2 Joule ενέργεια της ταλάντωσης της σφαίρας
x(t) = 0,2 ημ(10t +π/2) x(0) = + 0,2 m
v(t) = 2 συν(10t +π/2) α(t) = - 20 ημ(10t +π/2)
ΣF = mα => mg + Fελατ = mα => - 10 + Fελατ = - 20 ημ(10t +π/2) =>
=> Fελατ = 10 - 20 ημ(10t +π/2) = 10 - 100x = - 100 (x - 0,1) - 0,2 m £ x £ + 0,2 m
άρα F'ελατ = - 10 + 20 ημ(10t +π/2) = - 10 + 100x - 0,2 m £ x £ + 0,2 m
ροπές ως προς Α : - Mg l/2 + F'ελατ l + FΔ l/4 = 0 =>
=> - 40 l/2 + {- 10 + 20 ημ(10t +π/2)} l + FΔ l/4 = 0 =>
=> - 80 + 4 (- 10 + 20 ημ(10t +π/2) ) + FΔ = 0 =>
=> FΔ(t) = 120 - 80 ημ(10t +π/2) κατακόρυφη
FΔ = 120 - 400 x - 0,2 m £ x £ + 0,2 m
ΣFy = 0 => FΔ + Mg + F'ελατ + FΑ = 0 =>
=> 120 - 400 x - 40 - 10 + 100x + FΑ = 0 => FΑ = - 70 + 300x
άλλος τρόπος :
ροπές ως προς Δ : - Mg l/4 + F'ελατ 3l/4 + FΑ (- l/4) = 0 =>
=> - 40 l/4 + (- 10 + 20 ημ(10t +π/2) ) 3l/4 - FΑ l/4 = 0 =>
=> - 40 - 30 + 60 ημ(10t +π/2) - FΑ =>
=> FΑ(t) = - 70 + 60 ημ(10t +π/2) κατακόρυφη
FΑ = - 70 + 300 x - 0,2 m £ x £ + 0,2 m
δυναμική ενέργεια της σφαίρας κατά την ταλάντωση :
U = ½ k x2 = ½ 100 [ 0,2 ημ(10t + π/2) ]2 => U(t) =2 ημ2(10t + π/2) U(0) = 2 J
κινητική ενέργεια της σφαίρας κατά την ταλάντωση :
Κ = ½ m v2 = ½ 1 [ 2 συν(10t + π/2) ]2 => Κ(t) = 2 συν2(10t + π/2) K(0) = 0
ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της σφαίρας κατά την ταλάντωση :
dU/dt = k x dx/dt = k x v = 100 0,2 ημ(10t +π/2) 2 συν(10t +π/2) =
= 40 ημ(10t + π/2) συν(10t + π/2) =>
=> dU(t)/dt = 20 ημ(20t + π) = - 20 ημ20t
ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας κατά την ταλάντωση :
dΚ/dt = m v dv/dt = m v a = 1 2 συν(10t +π/2) [ -20 ημ(10t +π/2) ] =
= - 40 συν(10t + π/2) ημ(10t + π/2) =>
=> dΚ(t)/dt = - 20 ημ(20t + π) = 20 ημ20t
δυναμική ενέργεια του ελατηρίου κατά την ταλάντωση σε σχέση με την απομάκρυνση του σώματος από την θέση ισορροπίας του :
Fελατ = - k (x + x0) = - 100 (x - 0,1) - 0,2 m £ x £ + 0,2 m
Uελατ = ½ k (x + x0)2 => Uελατ(x) = 50 (x - 0,1)2 - 0,2m £ x £ + 0,2m
Uελατ(- 0,2m) = 50 (- 0,2 - 0,1)2 = 4,5 J Uελατ(- 0,1m) = 50 (- 0,1 - 0,1)2 = 2 J Uελατ(0) = 50 (- 0,1)2 = 0,5 J
Uελατ(+ 0,1m) = 50 (+ 0,1 - 0,1)2 = 0 J Uελατ(+ 0,2m) = 50 (+ 0,2 - 0,1)2 = 0,5 J
δυναμική ενέργεια του ελατηρίου κατά την ταλάντωση σε σχέση με τον χρόνο :
Uελατ = ½ k (x + x0)2 = ½ 100 [ 0,2 ημ(10t + π/2) - 0,1 ]2
=> Uελατ(t) = 50 [ 0,2 ημ(10t + π/2) - 0,1 ]2
Uελατ(0) = 50 [ 0,2 ημ(π/2) - 0,1 ]2 = 50 ( 0,2 - 0,1 )2 = 0,5 J = Uελατ(+ 0,2m) άνω άκρο ταλάντωσης σφαίρας
Uελατ(π/20) = 50 [ 0,2 ημ(10 π/20 + π/2) - 0,1 ]2 = 50 [ 0,2 ημ(π) - 0,1 ]2 =
= 50 ( - 0,1 )2 = 0,5 J = Uελατ(0m) θέση ισορροπίας σφαίρας
Uελατ(π/10) = 50 [ 0,2 ημ(10 π/10 + π/2) - 0,1 ]2 = 50 [ 0,2 ημ(3π/2) - 0,1 ]2 =
= 50 (- 0,2 - 0,1)2 = 4,5 J = Uελατ(-0,2m) κάτω άκρο ταλάντωσης σφαίρας
Uελατ(3π/20) = 50 [ 0,2 ημ(10 3π/20 + π/2) - 0,1 ]2 = 50 [ 0,2 ημ(2π) - 0,1 ]2 =
= 50 (- 0,1)2 = 0,5 J = Uελατ(0m) θέση ισορροπίας σφαίρας
Uελατ(π/5) = 50 [ 0,2 ημ(10 π/5 + π/2) - 0,1 ]2 = 50 [ 0,2 ημ(π/2) - 0,1 ]2 =
= 50 ( 0,2 - 0,1 )2 = 0,5 J = Uελατ(+0,2m) άνω άκρο ταλάντωσης σφαίρας
(Γ) FΔ = 0 => 120 - 400 x = 0 => x = 120 / 400 = 0,3 m μέγιστο πλάτος ταλάντωσης
η ράβδος χάνει την επαφή της με το στήριγμα στο σημείο Δ όταν FΔ = 0
Στ(Α) = 0 => - Mg l/2 + F'ελατ l + FΔ l/4 = 0 => - 40 l/2 + (-10 + 100x) l = 0 =>
=> - 20 - 10 + 100x = 0 => x = 0,3 m
την στιγμή όπου x = + 0,3 m η σφαίρα είναι στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής της τότε το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά 0,2 m και έχει δυναμική ενέργεια Uελατ = ½ k (x + x0)2 = ½ 100 (+0,3 - 0,1)2 = 2 J οπότε η ράβδος δέχεται δύναμη από το ελατήριο : F'ελατ = - 10 + 100x = - 10 + 100 (+0,3) = + 20 Ν κατακόρυφη προς τα πάνω και στην άρθρωση στο σημείο Α η ράβδος δέχεται δύναμη : FΑ = - 70 + 300 x = - 70 + 300 (+0,3) = + 20 Ν κατακόρυφη προς τα πάνω
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
